2025屆廣東省汕頭市潮陽(yáng)啟聲高中數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆廣東省汕頭市潮陽(yáng)啟聲高中數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，P是橢圓第一象限上一點(diǎn)，A，B，C是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A作AN平行于直線(xiàn)BP交y軸于N，直線(xiàn)CP交x軸于M，直線(xiàn)BP交x軸于E.現(xiàn)有下列三個(gè)式子：①；②；③.其中為定值的所有編號(hào)是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓C相交P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.3．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長(zhǎng)分別是（）A.；5 B.；C.； D.；5．4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種6．有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱，甲箱中有3張無(wú)獎(jiǎng)票3張有獎(jiǎng)票，乙箱中有4張無(wú)獎(jiǎng)票2張有獎(jiǎng)票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再?gòu)囊蚁渲腥我獬槌鲆粡?，則最后抽到有獎(jiǎng)票的概率是（）A. B.C. D.7．直線(xiàn)分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.228．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.9．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若．則（）A. B.C. D.10．若在直線(xiàn)上，則直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.11．函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為()A. B.C. D.12．在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.43 B.44C.45 D.46二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，則__________.14．已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____.15．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)________16．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F為，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)A，與該拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：18．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.19．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，都有．若存在，求出r的值，并求此時(shí)△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值22．（10分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用斜率公式得到之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】設(shè)，由橢圓的定義及，結(jié)合勾股定理求參數(shù)m，進(jìn)而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設(shè)，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.3、C【解析】取的中點(diǎn)，連接，易證平面，進(jìn)一步得到線(xiàn)面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點(diǎn)，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C4、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B5、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有種.故選：D6、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎(jiǎng)票.所以，，于是.故選：B.7、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)椋匀切蜲AB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以?xún)?nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.8、D【解析】根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.9、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.10、D【解析】由題意可得首先求出直線(xiàn)上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線(xiàn)上，∴直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量故選：D11、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線(xiàn)方程﹒【詳解】，，，，在處的切線(xiàn)為：，即﹒故選：C﹒12、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，滿(mǎn)足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用直線(xiàn)所過(guò)點(diǎn)求得直線(xiàn)的斜率，從而求得.【詳解】由圖象可知直線(xiàn)過(guò)，所以直線(xiàn)的斜率為，所以.故答案為：14、4【解析】利用“1”的妙用，運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】∵，即，∴又∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為4.故答案為：.15、【解析】因?yàn)?，所以，即，?6、【解析】作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義得到答案.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，∴.∵，∴，由拋物線(xiàn)的定義得，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)詳解（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)得，，分類(lèi)討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，聯(lián)立整理得，構(gòu)造得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而得證.小問(wèn)1詳解】由，，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得，此時(shí)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點(diǎn)為，則不妨設(shè).設(shè)，，則則，即，整理得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.18、（1）（2）【解析】（1）由題意可得數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，再由可求出，從而可求出通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用分組求和可求出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，因?yàn)椋?，得，所以【小?wèn)2詳解】由（1）可得，所以19、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過(guò)點(diǎn)列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線(xiàn)斜率存在和不存在分類(lèi)討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達(dá)出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求出△AOB面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C：的離心率，且過(guò)點(diǎn)所以解得所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿(mǎn)足題意，①切線(xiàn)方程l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設(shè)，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以因?yàn)?，所以，即化?jiǎn)得，且，O到直線(xiàn)l的距離所以，又，此時(shí)，所以滿(mǎn)足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因?yàn)楫?dāng)k≠0時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)又因?yàn)?，所以，所以?dāng)k＝0時(shí)，②斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)或兩點(diǎn)易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線(xiàn)相關(guān)的三角形或四邊形面積取值范圍問(wèn)題，需要先設(shè)出變量，表達(dá)出面積，利用基本不等式或者配方，導(dǎo)函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線(xiàn)斜率存在和不存在的情況，需要分類(lèi)討論.20、（1）（2）【解析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)方程的斜率，進(jìn)而求出切線(xiàn)方程；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求出其最小值，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，所以總存在一個(gè)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，所以，即.21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”探求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求出，即可作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，則當(dāng)時(shí)，，于是得：，即，而當(dāng)時(shí)，，即有，因此，，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，從而有，所以.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點(diǎn)A作原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，