上海市浦東新區(qū)2025屆高二上數(shù)學期末考試模擬試題含解析

上海市浦東新區(qū)2025屆高二上數(shù)學期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.2．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．3．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.4．已知命題p：?x＞2，x2＞2x，命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，則下列命題是真命題的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q5．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.6．經(jīng)過點且圓心是兩直線與的交點的圓的方程為（）A. B.C. D.7．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.8．拋物線的焦點坐標A. B.C. D.9．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.210．若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.11．甲、乙同時參加某次數(shù)學檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.12．設圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的前2021項和為___________.14．如圖，在棱長都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個頂點，使得經(jīng)過這三個頂點的平面與直線垂直.這三個頂點可以是________15．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，下圖中第一行的稱為三角形數(shù)，第二行的稱為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第10項為__________，五邊形數(shù)的第項為__________.16．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大?。唬?）若，，且，求a.18．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的圓與直線相切.（1）求圓O的方程；（2）設圓O交x軸于A，B兩點，點P在圓O內(nèi)，且是、的等比中項，求的取值范圍.19．（12分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經(jīng)過點，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分20．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.22．（10分）設，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A2、D【解析】由題可知：，，，故選；D3、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設是的中點，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.設正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.4、B【解析】取x＝4，得出命題p是假命題，由對數(shù)的運算得出命題q是假命題，再判斷選項.【詳解】命題p：?x＞2，x2＞2x，是假命題，例如取x＝4，則42＝24；命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命題，∵?x∈R，ln（x2+1）≥0.則下列命題是真命題的是.故選：B.5、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B6、B【解析】求出圓心坐標和半徑后，直接寫出圓的標準方程.【詳解】由得，即所求圓的圓心坐標為.由該圓過點，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.7、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D8、B【解析】由拋物線方程知焦點在x軸正半軸，且p=4，所以焦點坐標為，所以選B9、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.10、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.11、D【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數(shù)學檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：D12、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設，因為圓：①和圓：②交于A，B兩點所以由①-②得：,即，故坐標滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意求出，代入中，再利用裂項相消即可求出答案.【詳解】由是等差數(shù)列且，可知：，故.，數(shù)列的前2021項和為.故答案為：.14、①.②.點或點（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點或點15、①.②.【解析】對于三角形數(shù)，根據(jù)圖形尋找前后之間的關系，從而歸納出規(guī)律利用求和公式即得，對于五邊形數(shù)根據(jù)圖形尋找前后之間的關系，然后利用累加法可得通項公式.【詳解】由題可知三角形數(shù)的第1項為1，第2項為3=1+2，第3項為6=1+2+3，第4項為10=1+2+3+4，，因此，第10項為；五邊形數(shù)的第1項為，第2項為，第3項為，第4項為，…，因此，，所以當時，,當時也適合，故，即五邊形數(shù)的第項為.故答案為：55；.16、1【解析】由題意，可得，設，，，根據(jù)是線段的中點，求出的坐標，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設，，，，是線段的中點，則，，，當且僅當時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，運用余弦定理化簡可求出；（2）由可求出，利用誘導公式和兩角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小問1詳解】）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設出圓方程，結(jié)合該圓與直線相切，求得半徑，則問題得解；（2）設出點的坐標為，根據(jù)題意，求得的等量關系，再構(gòu)造關于的函數(shù)關系，求得函數(shù)值域即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，設的方程為，又該圓與直線相切，故可得，則圓的方程為.【小問2詳解】對圓：，令，則，不妨設，則，設點，因為點在圓內(nèi)，故；因為是、的等比中項，故可得：，則，整理得；由可得，解得，則.故答案為：.19、（1）圓心為，半徑為；（2）答案見解析.【解析】（1）寫出圓標準方程即得解；（2）選擇條件①：直線應過圓心即直線過點和，即得解；選擇條件②：直線應與垂直，求出直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.【小問1詳解】解：由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.小問2詳解】選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應過圓心即直線過點和，所以直線的斜率為，則直線的方程為.選擇條件②：若直線過點被圓所截得的弦長最短，則直線應與垂直.又，所以.故直線方程為.選擇條件③：經(jīng)過點的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線.20、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角21、（1）在、上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為【解析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）可知，函數(shù)在，、上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，求出端點值和極值，比較即可求出最值【小問1詳解】根據(jù)題意，由于，，得到，，在、上是增函數(shù)，當時，在上是減函數(shù)；【小問2詳解】由（1）可知，函數(shù)在，，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，（1），，，在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為22、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設可設為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達定理求，，，，再由