查補(bǔ)培優(yōu)沖刺01 三角形與四邊形綜合壓軸（原卷版）

查補(bǔ)培優(yōu)沖刺01.三角形與四邊形綜合壓軸三角形與四邊形是幾何圖形中的基本圖形，在中考數(shù)學(xué)的考查中怎能讓這兩個(gè)大內(nèi)容缺席。在江蘇地區(qū)中考試題中，對(duì)這兩個(gè)大內(nèi)容的考查形式不盡相同，有以選擇題或填空題單獨(dú)考查的，有將兩個(gè)內(nèi)容放在一個(gè)解答題中綜合考查的，也有一些地方將三角形與四邊形壓軸題目考查的。題型一：三角形綜合壓軸（選填題）題型二：四邊形綜合壓軸（選填題）題型三：三角形與四邊形綜合（傳統(tǒng)解答證明壓軸）題型四：三角形與四邊形綜合（動(dòng)態(tài)幾何壓軸）題型五：三角形與四邊形綜合（存在性、探究性壓軸）題型一：三角形綜合壓軸（選填題）此類題型主要以三角形為背景結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定、翻折與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)一起考查，添加輔助線構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解答的關(guān)鍵。例1．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，中，，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，線段與線段相交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為．變式1．（2024·江蘇連云港·一模）正方形的邊長(zhǎng)是6，點(diǎn)E是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．變式2．（2023·浙江金華·三模）如圖，在中，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，連接，若為的中點(diǎn)，則．題型二：四邊形綜合壓軸（選填題）此類題型主要以四邊形為背景結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定、翻折與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)一起考查，添加輔助線構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解答的關(guān)鍵。例1．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長(zhǎng)為．變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是正方形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰（點(diǎn)A，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），則長(zhǎng)的最小值為（）A． B．1 C． D．2變式2．（2023·浙江紹興·三模）矩形中，，，連接，，分別在邊，上，連接，分別交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為．題型三：三角形與四邊形綜合（傳統(tǒng)解答證明壓軸）常見考點(diǎn)：直角、等腰、全等、相似三角形的性質(zhì)與判定；特殊的四邊形的性質(zhì)與判定；勾股定理與逆定理；銳角三角形函數(shù)；線段的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)等。常見切入點(diǎn)：（1）尋找相關(guān)的基本模型或基本圖形；（2）緊扣不變量，并善于使用前面問題中所用的方法、結(jié)論；（3）不會(huì)做，找相似（全等）；有相似（全等），用相似（全等）；（4）在題目中尋找更多的信息，并加以運(yùn)用。例1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知是等腰直角三角形，，．(1)當(dāng)時(shí)，①將一個(gè)直角的頂點(diǎn)放至的中點(diǎn)處（如圖①，兩條直角邊分別交、于點(diǎn)、，請(qǐng)說明為等腰直角三角形；②將直角頂點(diǎn)放至邊的某處（如圖②，與另兩邊的交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，若為等腰直角三角形，且面積為4，求的長(zhǎng)．(2)若等腰三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰的三邊上，等腰的直角邊長(zhǎng)為1時(shí)，求等腰的直角邊長(zhǎng)的最大值．變式1．（2024·江蘇蘇州·一模）（1）問題解決：如圖1，點(diǎn)在一條直線上，，求證：；（2）問題探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：；（3）拓展運(yùn)用：如圖2，在中，，點(diǎn)是的內(nèi)心，若，求的長(zhǎng)．變式2．（2024·江蘇常州·一模）已知中，，，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)如圖1，若，則__________；(2)如圖2，連接，若，求的長(zhǎng)；(3)過點(diǎn)C作射線的垂線，垂足為H，射線與射線交于點(diǎn)Q，若是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)．

例2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，已知正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在上，滿足，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)______；(2)連接．①當(dāng)時(shí)，求的值；②如果是以為腰的等腰三角形，求的正切值．變式1．（2023·江蘇鹽城·一模）（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，若，過C作交于點(diǎn)F，①求證：；②若時(shí)，則．（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．（3）如圖3，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)E在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）已知矩形中，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖，若，求的值；(2)如圖，連接交于點(diǎn)，若，求的值；(3)如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，過作交于，設(shè)的面積為，的面積為，則的值為．題型四：三角形與四邊形綜合（動(dòng)態(tài)幾何壓軸）從歷年中考來看，動(dòng)態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。例1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，，點(diǎn)A、B分別在、上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合)，是的平分線，的反向延長(zhǎng)線交的平分線于點(diǎn)D．(1)隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由．(2)如圖1，若與相交于點(diǎn)E，連接，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)及的長(zhǎng)度．(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在上固定不動(dòng)，且長(zhǎng)度為6，點(diǎn)F為上一定點(diǎn)，，若點(diǎn)G為過三點(diǎn)A、B、D的圓的圓心，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．變式1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合）平移至終止位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是．變式2．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形的邊，點(diǎn)是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交矩形的邊于點(diǎn)，其中點(diǎn)在邊AB或BC上，點(diǎn)在邊CD或DA上．

(1)如圖時(shí)，求的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求能取到的值或取值范圍；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程長(zhǎng)為多少？題型五：三角形與四邊形綜合（存在性、探究性問題）中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。對(duì)于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的。例1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(4)求的最大值．

變式1．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上且；②點(diǎn)在線段上且．(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段長(zhǎng)度的最小值．例2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在菱形中，點(diǎn)P是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接和，在射線上取點(diǎn)E，使得，射線交射線于點(diǎn)Q，設(shè)．(1)如圖2，若，連接，交于點(diǎn)O，求證：；(2)【探究】如圖3，若，，請(qǐng)畫出圖形，并求的值；【歸納】若，的值為______．（用含k、α的表達(dá)式表示）變式2．（2024·成都·一模）如圖，在矩形中，平分交于點(diǎn)E．連接，點(diǎn)F是上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作CE交于點(diǎn)G．將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖1，連接，求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，若，求的值；(3)如圖3，連接，當(dāng)與交于點(diǎn)F時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．課后訓(xùn)練1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則m的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，點(diǎn)G在對(duì)角線上（不與點(diǎn)B，D重合），連接使得，作，，分別交、于點(diǎn)E、點(diǎn)F，，，則線段的長(zhǎng)為．3．（2023·浙江紹興·三模）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時(shí)，連接．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，且，則t的值是．

4．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)D，E分別是上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)P．連接，若時(shí)，則；設(shè)的面積為，四邊形的面積為，則．5．（2019年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(B點(diǎn)除外)，以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為.6．（2023·浙江紹興·一模）如圖.在中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若使點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)恰好有三個(gè)，且，則的值是.7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊中，，D是上一點(diǎn)，（n為正整數(shù)），E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是射線上一點(diǎn)，，連接，設(shè)中點(diǎn)為M，點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（用含n的代數(shù)式表示）．8．（2024·四川廣元·二模）如圖，在正方形中，E，H分別為邊，上的點(diǎn)，連接，，，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，連接，是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則下列結(jié)論:；；；當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是.9．（2024·山西臨汾·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6cm，E為的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，則MN的長(zhǎng)為10．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）如圖．在四邊形中，，、為對(duì)角線，，，若，，則的長(zhǎng)為．11．（2023·遼寧沈陽(yáng)·一模）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)H在線段上，連接交于M，，，，的長(zhǎng)為．12．（2024·湖北武漢·一模）三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國(guó)軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若任意內(nèi)一點(diǎn)D滿足，則點(diǎn)D叫做的布洛卡點(diǎn)．如圖2，在等腰中，，點(diǎn)D為的布洛卡點(diǎn)，，，則的值為．13．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，若四邊形的面積是64，則的長(zhǎng)為．14．（2024·貴州·一模）在中，，點(diǎn)P是的內(nèi)心，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．15．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知，，與的面積和為10，則的長(zhǎng)為．16．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．17．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）【感知】（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的一個(gè)三等分點(diǎn)，且．連結(jié)，交于點(diǎn)G，求值．小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作的平行線或過E作的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案．請(qǐng)你根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在中，D為上一點(diǎn)，，連結(jié)，若，交于點(diǎn)E、F．若，，，則的長(zhǎng)為．【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)G、M，若，若的面積為2，則的面積為．18．（2023·江蘇連云港·二模）如圖1，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作，并與矩形的外角的平分線交于點(diǎn)．(1)求的值（用含的代數(shù)式表示）；(2)連接交于點(diǎn)，連接，若，求的值．(3)如圖2，當(dāng)與題（2）取相同值時(shí)，為邊上一點(diǎn)，連接，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．19．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連結(jié)，①當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②在中，設(shè)邊上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過的中點(diǎn)且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫出y與m的關(guān)系式．20.（20