數(shù)學(xué)自我小測(cè)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精自我小測(cè)1．在下面函數(shù)y＝f(x)圖象中，既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是最大值點(diǎn)的是()A．x1 B．x2 C．x3 D．x42．函數(shù)y＝f(x）的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b），導(dǎo)函數(shù)y′＝f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．函數(shù)f(x）＝x3－3x＋1在閉區(qū)間［－3,0]上的最大值、最小值分別是()A．1,－1 B．1，－17 C．3，－17D．9，－194．若函數(shù)f(x)＝x3－3x－a在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為M，N，則M－N的值為(）A．2 B．4 C．18 D．205．已知函數(shù)f（x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于（1，0)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極值是()A．極大值為eq\f(4，27)，極小值為0 B．極大值為0，極小值為eq\f（4，27）C．極大值為0，極小值為－eq\f(4,27) D．極大值為－eq\f(4,27)，極小值為06．關(guān)于函數(shù)f（x）＝x3－3x2，給出下列四個(gè)命題：（1)f（x）是增函數(shù)，無(wú)極值；（2)f（x）是減函數(shù)，無(wú)極值;(3）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0）和（2,＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是(0，2)；（4)f（x)在x＝0處取得極大值0,在x＝2處取得極小值－4。其中正確命題是________．（填序號(hào))7．已知函數(shù)f(x）＝2x3＋3(a＋2）x2＋3ax的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x2＝2，則a＝__________.8．已知函數(shù)f（x)＝ax3＋bx2＋cx，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,0），如下圖所示，則下列說(shuō)法中不正確的是__________．①當(dāng)x＝eq\f(3，2）時(shí)函數(shù)取得極小值；②f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn);③當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)取得極小值；④當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)取得極大值．9．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g（x)＝f（x)－f′（x）是奇函數(shù)．(1）求b,c的值．(2)求g（x)的單調(diào)區(qū)間與極值．10．已知f（x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)取得極值，且f（1)＝－1.（1)試求常數(shù)a，b，c的值．(2)試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．11．已知a為實(shí)數(shù)，f（x)＝(x2－4）（x－a）．(1）求f（x)的導(dǎo)數(shù)f′(x）；(2）若f′(－1）＝0,求f(x）在[－2，2]上的最大值和最小值；(3)若f(x）在（－∞,－2]和［2，＋∞）上都是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．

參考答案1.答案：C2.解析:由y′＝f′(x）的圖象可知，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a,b)內(nèi)，先增，再減，再增,最后再減，故函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)．答案：A3。解析：f′（x）＝3x2－3＝3(x－1）（x＋1）．令f′(x)＝0,得x1＝－1或x2＝1，f（－3)＝－17，f(0)＝1，f（－1)＝3,f(1）＝－1,所以f（x)在區(qū)間［－3,0]上的最大值為3,最小值為－17.答案:C4。解析：令f′(x）＝3x2－3＝3（x2－1）＝0，得x＝±1.又x∈[0,3],所以x＝1。則x∈(0,1）時(shí),f′(x)＜0;x∈（1，3）時(shí)，f′(x）＞0.又f（0)＝－a，f(1)＝－2－a，f（3）＝18－a,所以M＝18－a，N＝－2－a,所以M－N＝20.答案：D5.解析：由題意，得f（1)＝0，所以p＋q＝1。①f′(1)＝3－2p－q＝0，所以2p＋q＝3.②由①②得p＝2，q＝－1.所以f(x）＝x3－2x2＋x，f′（x）＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．令f′(x）＝0，得x＝eq\f(1,3）或x＝1，feq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（\f(1，3）))＝eq\f(4,27)，f(1）＝0。答案:A6。答案：(3）(4）7。解析：f′(x)＝6x2＋6(a＋2）x＋3a。因?yàn)閤1，x2是f(x）的兩個(gè)極值點(diǎn),所以f′(x1）＝f′（x2）＝0，即x1,x2是6x2＋6（a＋2)x＋3a＝0的兩個(gè)根，從而x1x2＝eq\f（3a，6)＝2，所以a＝4。答案:48。解析:從圖象可以看出，當(dāng)x∈（－∞，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，2)時(shí),f′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，所以f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2,且當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)取得極小值，當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)取得極大值,只有①說(shuō)法不正確．答案：①9。解:（1)f′（x）＝3x2＋2bx＋c，所以g(x)＝f（x）－f′(x）＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c）＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c。又g（x）是奇函數(shù)，所以g（0)＝－c＝0。由g（－x)＝－g(x)得b－3＝0，所以b＝3，c＝0。（2）由（1)知,g(x)＝x3－6x，所以g′(x）＝3x2－6.令g′（x）＝0，得x＝±eq\r（2）；令g′（x)＞0，得x＜－eq\r（2)或x＞eq\r(2)；令g′（x)＜0,得－eq\r(2)＜x＜eq\r(2）。所以（－∞，－eq\r（2)），(eq\r(2），＋∞）是函數(shù)g（x)的遞增區(qū)間，(－eq\r（2），eq\r(2))是函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間，函數(shù)g（x)在x＝－eq\r（2）處取得極大值為eq4\r(2）；在x＝eq\r（2）處取得極小值為－eq4\r(2)。10.解:(1）f′(x)＝3ax2＋2bx＋c。因?yàn)閤＝±1是函數(shù)f(x）的極值點(diǎn)，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f（1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③由①，②，③解得a＝eq\f（1，2)，b＝0,c＝－eq\f（3，2)。（2)f（x)＝eq\f（1，2）x3－eq\f(3，2)x，所以f′(x）＝eq\f(3，2)x2－eq\f(3，2)＝eq\f（3,2）（x－1)(x＋1）．當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0;當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0。所以函數(shù)f（x)在（－∞，－1）和(1，＋∞)上是增函數(shù),在（－1,1)上是減函數(shù)．所以當(dāng)x＝－1時(shí),函數(shù)取得極大值f（－1）＝1,當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1)＝－1。11。解：(1)由原式，得f（x）＝x3－ax2－4x＋4a,所以f′（x）＝3x2－2ax－4。（2）由f′(－1)＝0,得a＝eq\f（1,2），此時(shí)有f(x)＝(x2－4）·eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(x－\f(1，2））），f′(x）＝3x2－x－4.由f′（x)＝0，得x＝eq\f（4,3),或x＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(4，3）))＝－eq\f（50，27）,f(－1）＝eq