浙江省“七彩陽(yáng)光”2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

浙江省“七彩陽(yáng)光”2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個(gè)紅燈的概率為（）A. B.C. D.2．已知是等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列3．甲、乙同時(shí)參加某次數(shù)學(xué)檢測(cè)，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測(cè)成績(jī)互不影響，則兩人的檢測(cè)成績(jī)都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.4．設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B.C. D.5．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.407．已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．隨著城市生活節(jié)奏的加快，網(wǎng)上訂餐成為很多上班族的選擇，下表是某外賣騎手某時(shí)間段訂餐數(shù)量與送餐里程的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：訂餐數(shù)/份122331送餐里程/里153045現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程中的值為1.5，則據(jù)此回歸模型可以預(yù)測(cè)，訂餐100份外賣騎手所行駛的路程約為（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里11．函數(shù)直線與的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.12．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，已知，則________14．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為___________.15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.16．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線AD1與B1D所成角的余弦值為__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的短軸長(zhǎng)和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的距離.18．（12分）內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是銳角三角形，求c的值19．（12分）已知點(diǎn)F是拋物線和橢圓的公共焦點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點(diǎn)，與橢圓交于，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.求的最大值及相應(yīng)的.20．（12分）已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值21．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項(xiàng)；（2）若第4項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)比為，求：①二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；②二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和22．（10分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【詳解】由各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：故選：B2、B【解析】取，可判斷AC選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則、無意義，A錯(cuò)C錯(cuò)；設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，（常數(shù)），故數(shù)列是等比數(shù)列，B對(duì)；取，則，數(shù)列為等比數(shù)列，因?yàn)椋?，且，所以，?shù)列不是等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：B.3、D【解析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時(shí)參加某次數(shù)學(xué)檢測(cè)，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測(cè)成績(jī)互不影響，則兩人的檢測(cè)成績(jī)都為優(yōu)秀的概率為.故選：D4、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.5、D【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程即可計(jì)算得解.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D6、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A7、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A8、A【解析】根據(jù)條件可知四邊形為正方形，從而根據(jù)邊長(zhǎng)相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則，根據(jù)題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：A.9、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A10、C【解析】由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)樣本中心在回歸直線上求得，即可得回歸方程，進(jìn)而估計(jì)時(shí)的y值即可.【詳解】由題意：，，則，可得，故，當(dāng)時(shí)，.故選：C11、C【解析】先求出AB坐標(biāo)，表示出，規(guī)定函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】聯(lián)立解得可得點(diǎn)．聯(lián)立解得可得點(diǎn)．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數(shù)單調(diào)遞減；．因此，的最小值為故選：C【點(diǎn)睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數(shù)法：表示出距離，利用函數(shù)求最值.12、B【解析】由可得拋物線標(biāo)椎方程為：，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)基本量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得：故答案為：214、【解析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：815、【解析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚裕怨蚀鸢笧椋?6、【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立如圖的坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），短軸長(zhǎng)為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長(zhǎng)軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故18、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理邊化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后檢驗(yàn)可得.【小問1詳解】，即或【小問2詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以因?yàn)樗杂捎嘞叶ɡ淼茫杭矗獾没蛉?，則，所以，不滿足題意；若，因?yàn)椋?，所以，此時(shí)是銳角三角形.所以.19、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計(jì)算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計(jì)算，然后計(jì)算點(diǎn)到的距離，計(jì)算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點(diǎn)到的距離為..令，則，.此時(shí)，即【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對(duì)問題分析能力以及計(jì)算能力，屬難題.20、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．21、（1）60（2）①1024；②1【解析】（