2025屆三湘名校教育聯(lián)盟高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2025屆三湘名校教育聯(lián)盟高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從某個角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.2．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.243．已知橢圓=1的離心率為，則k的值為（）A.4 B.C.4或 D.4或4．已知雙曲線，過點作直線l，若l與該雙曲線只有一個公共點，這樣的直線條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.45．已知圓的方程為，則圓心的坐標為（）A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列中的、是函數(shù)的兩個不同的極值點，則的值為（）A. B.1C.2 D.37．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.229．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點E為中點，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.10．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.5211．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.12．設F是雙曲線的左焦點，，P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A.5 B.C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圍棋是一種策略性兩人棋類游戲．已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率為，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，則2粒恰好都是白子的概率是______14．如圖，把正方形紙片沿對角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.15．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.16．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列，前項和為，首項為，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）設，記，求.18．（12分）已知橢圓：（）的焦點坐標為，長軸長是短軸長的2倍（1）求橢圓的方程；（2）已知直線不過點且與橢圓交于兩點，從下面①②中選取一個作為條件，證明另一個成立.①直線的斜率分別為，則；②直線過定點.19．（12分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點滿足（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓相交于、兩點，若坐標原點總在以為直徑的圓外時，求的取值范圍.20．（12分）已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.21．（12分）在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若與相交于A、兩點，設，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設出雙曲線方程，把雙曲線上的點的坐標表示出來并代入到方程中，找到的關系即可求解.【詳解】以O為原點，AD所在直線為x軸建系，不妨設，則該雙曲線過點且，將點代入方程，故離心率為，故選：B【點睛】本題考查已知點在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎題目2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式相關計算求出公差，進而求出首項.【詳解】設公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B3、C【解析】根據(jù)焦點所在坐標軸進行分類討論，由此求得的值.【詳解】當焦點在軸上時，，且.當焦點在軸上時，且.故選：C4、D【解析】先確定雙曲線的右頂點，再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論，當與軸不垂直時，可設直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種情況討論，即可得解【詳解】解：根據(jù)雙曲線方程可知右頂點為，使與有且只有一個公共點情況為：①當垂直軸時，此時過點的直線方程為，與雙曲線只有一個公共點，②當與軸不垂直時，可設直線方程為聯(lián)立方程可得當即時，方程只有一個根，此時直線與雙曲線只有一個公共點，當時，，整理可得即故選：D5、A【解析】將圓的方程配成標準方程，可求得圓心坐標.【詳解】圓的標準方程為，圓心的坐標為.故選：A.6、C【解析】對求導，由題設及根與系數(shù)關系可得，再根據(jù)等差中項的性質求，最后應用對數(shù)運算求值即可.【詳解】由題設，，由、是的兩個不同的極值點，所以，又是等差數(shù)列，所以，即，故.故選：C7、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.8、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.9、D【解析】由題意可證平面，取BD的中點F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積【詳解】如圖，∵，點為的中點，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：10、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項和及等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項之和為，故選：A11、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可判斷D.【詳解】解：因為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.12、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設雙曲線的由焦點為，且點A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當且僅當三點共線時，取得等號.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)互斥事件與對立事件概率公式求解即可【詳解】設“2粒都是黑子”為事件，“2粒都是白子”為事件，“2粒恰好是同一色”為事件，“2粒不同色”為事件，則事件與事件是對立事件，所以因為2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件與互斥，所以，所以故答案為：14、##30°【解析】過點E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進而（或其補角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過點E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設所求角為，于是.設原正方形ABCD邊長為2，取AC的中點O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點F，則，所以，即，于是.故答案為：.15、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝416、【解析】計算點漸近線的距離，從而得，由勾股定理計算，由雙曲線定義列式，從而計算得，即可計算出離心率.【詳解】設雙曲線右焦點為，因為的中點在雙曲線的漸近線上，由可知，，因為為中點，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意解得等差數(shù)列的公差，代入公式即可求得和；（2）把n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，分別去數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，由題有，即，解之得或0，又，所以，所以.【小問2詳解】，當為正奇數(shù)，，當為正偶數(shù)，，所以18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）選①證②，當直線的斜率存在時，設：，，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得，，然后由可算出，即可證明，選②證①，設：，，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得，，然后可算出.【小問1詳解】由條件可得，解得所以橢圓方程為【小問2詳解】選①證②：當直線的斜率存在時，設：，由得，則，由得即，即所以代入所以所以解得：（舍去），所以直線過定點當直線斜率不存在時，設：所以，由得所以，即，解得所以直線（不符合題意，舍去）綜上：直線過定點選②證①：由題意直線的斜率存在，設：由得則，所以.19、（1）（2）或【解析】（1）由已知計算可得即可得出方程.（2）由已知可得聯(lián)立方程，結合韋達定理計算即可得出結果.【小問1詳解】依題得解得：橢圓的方程為.【小問2詳解】由已知動直線與橢圓相交于、，設聯(lián)立得：解得：，即：或（*）坐標原點總在以為直徑的圓外則：,即將（*）代入此式，解得：，即或或20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯(lián)立方程組求出交點坐標，即可得到弦長.【小問1詳解】由題：拋物線上一點到其焦點F的距離為2，即，所以拋物線方程：【小問2詳解】聯(lián)立直線和得，解得，，21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當且僅當，取“=”，所以面積的最