2015年福建省莆田市中考真題數(shù)學(xué)試題（解析版）

初中學(xué)業(yè)水平考試試題PAGEPAGE12015年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)真題一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（4分）﹣2的相反數(shù)是（）A． B．2 C．﹣ D．﹣22．（4分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a2）3=a5 B．a(chǎn)2+a4=a6 C．a(chǎn)3÷a3=1 D．（a3﹣a）÷a=a23．（4分）右邊幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正五邊形5．（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列選項(xiàng)中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC7．（4分）在一次定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，五位同學(xué)投中的個(gè)數(shù)分別為3，4，4，6，8，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法不正確的是（）A．平均數(shù)是5 B．中位數(shù)是6 C．眾數(shù)是4 D．方差是3.28．（4分）如圖，在⊙O中，=，∠AOB=50°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．25°9．（4分）命題“關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有實(shí)數(shù)解．”是假命題．則在下列選項(xiàng)中，可以作為反例的是（）A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=210．（4分）數(shù)學(xué)興趣小組開展以下折紙活動：（1）對折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；（2）再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN．觀察，探究可以得到∠ABM的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．36° D．45°二、細(xì)心填一填（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）要了解一批炮彈的殺傷力情況，適宜采取（選填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）．12．（4分）八邊形的外角和是．13．（4分）中國的陸地面積約為9600000km2，把9600000用科學(xué)記數(shù)法表示為．14．（4分）用一根長為32cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，則圍成矩形面積的最大值是cm2．15．（4分）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，OA=2，∠BAO=60°，弦BC∥OA，則的長為（結(jié)果保留π）．16．（4分）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基制作出來的：把一個(gè)正三角形分成全等的4個(gè)小正三角形，挖去中間的一個(gè)小三角形；對剩下的3個(gè)小正三角形再分別重復(fù)以上做法…將這種做法繼續(xù)進(jìn)行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是．三、耐心做一做（共10小題，滿分86分）17．（7分）計(jì)算：|2﹣|﹣+（﹣1）0．18．（7分）解分式方程：=．19．（8分）先化簡，再求值：﹣，其中a=1+，b=﹣1+．20．（10分）為建設(shè)”書香校園“，某校開展讀書月活動，現(xiàn)隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生的日人均閱讀時(shí)間x（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果分為四個(gè)等級，分別記為A，B，C，D，其中：A：0≤x＜0.5，B：0.5≤x＜1，C：1≤x＜1.5，D：1.5≤x＜2，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如圖兩個(gè)尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）本次統(tǒng)計(jì)共隨機(jī)抽取了名學(xué)生；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級B所占的圓心角是；（3）從參加統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中，隨機(jī)抽取一個(gè)人，則抽到“日人均閱讀時(shí)間大于或等于1小時(shí)”的學(xué)生的概率是；（4）若該校有1200名學(xué)生，請估計(jì)“日人均閱讀時(shí)間大于或等于0.5小時(shí)”的學(xué)生共有人．21．（8分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)．（1）請判斷△OEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB=13，AC=10，請求出線段EF的長．22．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)O在線段AE上，⊙O過B，D兩點(diǎn)，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求證：CB是⊙O的切線．23．（8分）某動車站在原有的普通售票窗口外新增了無人售票窗口，普通售票窗口從上午8點(diǎn)開放，而無人售票窗口從上午7點(diǎn)開放，某日從上午7點(diǎn)到10點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口售出的車票數(shù)y1（張）與售票時(shí)間x（小時(shí)）的變化趨勢如圖1，每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù)y2（張）與售票時(shí)間x（小時(shí)）的變化趨勢是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，如圖2，若該日截至上午9點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口與每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù)恰好相同．（1）求圖2中所確定拋物線的解析式；（2）若該日共開放5個(gè)無人售票窗口，截至上午10點(diǎn)，兩種窗口共售出的車票數(shù)不少于900張，則至少需要開放多少個(gè)普通售票窗口？24．（8分）如圖，矩形OABC，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸正半軸上，直線y=﹣x+6交邊BC于點(diǎn)M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面積相等的兩部分，過點(diǎn)M的雙曲線y=（x＞0）交邊AB于點(diǎn)N．若△OAN的面積是4，求△OMN的面積．25．（10分）拋物線y=ax2+bx+c，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線y=ax2+bx+c為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線y=ax2+bx+c必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A；（2）已知“恒定”拋物線y=x2﹣的頂點(diǎn)為P，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為B，是否存在以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．26．（12分）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC，PE．特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）．問題探究：把圖1中的△AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）記=k，當(dāng)k為何值時(shí)，△CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必說明理由）

——★參*考*答*案★——一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1．B『解析』﹣2的相反數(shù)是2，故選：B．2．C『解析』A.（a2）3=a6，故錯(cuò)誤；B.a2+a4不能進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)槎卟皇峭愴?xiàng)；C.a3÷a3=1，正確；D.（a3﹣a）÷a=a2﹣1，故錯(cuò)誤，故選C．3．A『解析』從上往下看，易得三個(gè)并排的長方形．故選A．4．C『解析』A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯(cuò)誤；B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯(cuò)誤；C.是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確；D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯(cuò)誤．故選C．5．A『解析』解不等式x+2＞1得：x＞﹣1；解不等式x≤1得：x≤2，所以次不等式的解集為：﹣1＜x≤2．故選A．6．A『解析』∵AE∥FD，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=BD，在△AEC和△DFB中，，∴△EAC≌△FDB（SAS），故選：A．7．B『解析』A.平均數(shù)==5，此選項(xiàng)正確；B.3，4，4，6，8中位數(shù)是4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.3，4，4，6，8眾數(shù)是4，此選項(xiàng)正確；D.方差S2==3.2，此選項(xiàng)正確；故選B．8．D『解析』∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故選D．9．C『解析』∵方程x2+bx+1=0，必有實(shí)數(shù)解，∴△=b2﹣4≥0，解得：b≤﹣2或b≥2，則命題“關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有實(shí)數(shù)解．”是假命題．則在下列選項(xiàng)中，可以作為反例的是b=﹣1，故選C10．B『解析』連接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，由折疊知AB=BN，∴AN=AB=BN，∴△ABN為等邊三角形，∴∠ABN=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°．故選B．二、細(xì)心填一填（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．抽樣調(diào)查『解析』要了解一批炮彈的殺傷力情況，適宜采取抽樣調(diào)查．故答案為：抽樣調(diào)查12．360°『解析』八邊形的外角和是360度．故答案為：360°．13．9.6×106『解析』將9600000用科學(xué)記數(shù)法表示為9.6×106．故答案為9.6×106．14．64『解析』設(shè)矩形的一邊長是xcm，則鄰邊的長是（16﹣x）cm．則矩形的面積S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x，當(dāng)x=﹣=﹣=8時(shí)，S有最大值是：64．故答案是：64．15．2π『解析』連接OB，OC，∵AB為圓O的切線，∴OB⊥AB，在△AOB中，OA=2，∠BAO=60°，∴∠AOB=30°，即AB=，根據(jù)勾股定理得：OB=3，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，則的長l==2π，故答案為：2π16．『解析』圖2陰影部分面積=1﹣=，圖3陰影部分面積=×=（）2，圖4陰影部分面積=×（）2=（）3，圖5陰影部分面積=×（）3=（）4=．故答案為：．三、耐心做一做（共10小題，滿分86分）17．解：|2﹣|﹣+（﹣1）0．=2﹣﹣3+1=﹣．18．解：方程兩邊都乘以x（x+2）得：2（x+2）=3x，解得：x=4，檢驗(yàn)：把x=4代入x（x+2）≠0，所以x=4是原方程的解，即原方程的解為x=4．19．解：原式===a﹣b，當(dāng)a=1+，b=﹣1+時(shí)，原式=2．20．解：（1）由C組的人數(shù)為40，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中占40%，故本次統(tǒng)計(jì)共隨機(jī)抽取了：40÷40%=100（名），故答案為：100；（2）由題意可得：20×100×360°=72°．故答案為：72°；（3）∵D組所占比例為：30%，C組所占比例為：40%，∴“日人均閱讀時(shí)間大于或等于1小時(shí)”的學(xué)生的所占比例為：70%，∴抽到“日人均閱讀時(shí)間大于或等于1小時(shí)”的學(xué)生的概率是：0.7；故答案為：0.7；（4）∵樣本中日人均閱讀時(shí)間小于0.5小時(shí)的有10人，所占樣本數(shù)據(jù)的×100%=10%，∴該校有1200名學(xué)生，“日人均閱讀時(shí)間大于或等于0.5小時(shí)”的學(xué)生共有：1200×（1﹣10%）=1080（人）．故答案為：1080．21．解：（1）△OEF是等腰三角形，理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴EO=AB，OF=AD，∴EO=FO，∴△OEF是等腰三角形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=10，∴AO=5，∠AOB=90°，∴BO===12，∴BD=24，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴EFBD，∴EF=12．22．證明：連接OD，可得OB=OD，∵AB=AD，∴AE垂直平分BD，在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，∴OE=，根據(jù)勾股定理得：BE==，CE=OC﹣OE=，在Rt△CEB中，BC==4，∵OB=3，BC=4，OC=5，∴OB2+BC2=OC2，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，則BC為圓O的切線．23．解：（1）設(shè)，當(dāng)x=2時(shí)，y1=y2=40，把（2，40）代入，4a=40，解得：a=10，∴．（2）設(shè)y1=kx+b（1≤x≤3），把（1，0），（2，40）分別代入y1=kx+b得：解得：，∴y1=40x﹣40，當(dāng)x=3時(shí)，y1=80，y2=90，設(shè)需要開放m個(gè)普通售票窗口，∴80m+90×5≥900，∴m≥5，∴m取整數(shù)，∴m≥6．答：至少需要開放6個(gè)普通售票窗口．24．解：∵點(diǎn)M、N在雙曲線y=（x＞0）上，∴S△OCM=S△OAN=4，∴mn=4，∴mn=8，∵點(diǎn)M（m，n）在直線y=﹣x+6上，∴﹣m+6=n，∴解得：或（舍去）∵直線y=﹣x+6分矩形OABC面積成相等的兩部分，∴直線y=﹣x+6過矩形OABC的中心，設(shè)B（a，4）∴E（，2）∴﹣+6=2∴a=8，∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，∴S△OMN=S矩形OABC﹣S△OCM﹣S△BMN﹣S△OAN=32﹣4﹣9﹣4=15．25．（1）證明：由“恒定”拋物線y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線y=ax2+bx+c，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=0，∴“恒定”拋物線y=ax2+bx+c必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A（﹣1，0）；（2）解：存在；理由如下：∵“恒定”拋物線y=x2﹣，當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣=0，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時(shí)，y=﹣，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點(diǎn)A和點(diǎn)C是拋物線上的對稱點(diǎn)，∴AM=MC=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，﹣），設(shè)以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為y=a（x+2）2﹣，把點(diǎn)A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：y=（x+2）2﹣，即y=x2+4x+3；②如圖2所示：頂點(diǎn)Q在y軸上，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），設(shè)以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為y=ax2+，把點(diǎn)C（1，0）代入