專題1.4 基本不等式及其應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題1.4基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1基本不等式及其應(yīng)用】 2【題型2直接法求最值】 3【題型3配湊法求最值】 4【題型4常數(shù)代換法求最值】 4【題型5消元法求最值】 4【題型6齊次化求最值】 5【題型7多次使用基本不等式求最值】 5【題型8利用基本不等式解決實際問題】 5【題型9與其他知識交匯的最值問題】 81、基本不等式及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用2020年天津卷：第14題，5分2021年乙卷：第8題，5分2022年I卷：第12題，5分2023年新高考I卷：第22題，12分基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運用.【知識點1基本不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．3．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.4．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1基本不等式及其應(yīng)用】【例1】（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,b,c滿足a<b<c且abc<0，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)b<acC．bc+c【變式1-1】（2023·湖南長沙·一模）已知2m=3n=6，則m，A．m+n>4 B．mn>4C．m2+n【變式1-2】（2024·山東棗莊·一模）已知a>0,b>0，則“a+b>2”是“a2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a，BD=b，用該圖形能證明的不等式為（

）．A．a(chǎn)+b2≥abC．a(chǎn)+b2≤a【題型2直接法求最值】【例2】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當(dāng)x<0時，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3?22 D．最小值【變式2-1】（2023·北京東城·一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（A．－2 B．0 C．1 D．2【變式2-2】（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【變式2-3】（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）函數(shù)y=3?4x?x（x>0A．?1 B．1 C．?5 D．5【題型3配湊法求最值】【例3】（2023·山西忻州·模擬預(yù)測）已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【變式3-1】（2024·遼寧·一模）已知m>2n>0，則mm?2n+mA．3+22 B．3?22 C．2+32【變式3-2】（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若?5<x<?1，則函數(shù)fx=xA．最小值1 B．最大值1 C．最小值?1 D．最大值?1【變式3-3】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知a>0,b>0，則a+2b+4a+2b+1的最小值為（A．6 B．5 C．4 D．3【題型4常數(shù)代換法求最值】【例4】（2024·江蘇南通·二模）設(shè)x>0，y>0，1x+2y=2，則A．32 B．22 C．3【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數(shù)x，y滿足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【變式4-2】（2024·廣東湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1A．8?227 B．223 C．【變式4-3】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=xy，則2xy?2x?y的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【題型5消元法求最值】【例5】（2024·陜西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為．【變式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知實數(shù)a、b滿足ab=?6，則a2+b【變式5-2】（2024·天津河?xùn)|·一模）若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b【變式5-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是【題型6齊次化求最值】【例6】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3【變式6-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知x，y為正實數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（

A．24 B．25 C．6+42 D．【變式6-2】（23-24高二上·安徽六安·階段練習(xí)）設(shè)a+b=1,b>0，則1|a|+9|a|A．7 B．6 C．5 D．4【變式6-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實數(shù)，y為非負(fù)實數(shù)，且x+2y=2，則x2+1xA．34 B．94 C．32【題型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b，c均為正實數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，則1a+2A．92 B．2 C．6 D．【變式7-3】（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實數(shù)，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【題型8利用基本不等式解決實際問題】【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為xm(1)用含有x的代數(shù)式表示a；(2)當(dāng)x的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？【變式8-1】（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎(chǔ)、制冷技術(shù)為手段，使冷鏈物品從生產(chǎn)、流通、銷售到消費者的各個環(huán)節(jié)始終處于規(guī)定的溫度環(huán)境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消費需求的增加，冷鏈物流市場規(guī)模也在穩(wěn)步擴大.某冷鏈物流企業(yè)準(zhǔn)備擴大規(guī)模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經(jīng)預(yù)測，每年初投資的x百萬元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年產(chǎn)生的利潤（單位：百萬元）Gm=mx(1)比較f42與(2)求兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和的最大值.【變式8-2】（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為1的空白.記紙張的面積為S，排版矩形的長和寬分別為x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小?并求最小面積.【變式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流l（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)A,B（忽略社區(qū)的大?。珹社區(qū)距離l上最近的點A0的距離是2km,B社區(qū)距離l上最近的點B0的距離是1km，且A0B現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：工程1：在點P處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形AA0P地塊全部修建為面積至少1工程3：將直角三角形BB0P記這三項工程的總造價為W億元.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)問點P在何處時，W最小，并求出該最小值.【題型9與其他知識交匯的最值問題】【例9】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知ΔABC內(nèi)接于單位圓，且1+tan（1）求角C（2）求△ABC面積的最大值．【變式9-1】（23-24高三上·山東青島·期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵ABC?A1B(1)求證:四棱錐B?A(2)若C1C=BC=2,當(dāng)鱉膈C1【變式9-2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎狝、B、C是ΔABC的內(nèi)角，a、b、c分別是其對邊長，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大?。唬?）若a=2，求ΔABC面積的最大值.【變式9-3】（2024·黑龍江大慶·一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過點1,32（1）求橢圓的方程；（2）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．一、單選題1．（2023·全國·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+12．（2024·甘肅定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．473．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，則（

）A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a(chǎn)2+b4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．225．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若a,b是正實數(shù)，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則1aB．若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則2C．y=x2D．若a>b>1，則ab+1<a+b7．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元(m≠n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為a1,aA．a(chǎn)1=a2 B．a(chǎn)1<a8．（2024·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)fx=x3?x，正實數(shù)a,b滿足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y，下列結(jié)論正確的是（

）A．若x+y=3，xy>0，則xB．若x>0，xy=1，則12xC．若x≠0且x≠?1，則yD．若x2?y210．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅a%，第二次漲幅b乙：第一次漲幅a+b2%，第二次漲幅丙：第一次漲幅ab%，第二次漲幅ab其中a>b>0，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（

）A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0且1a+4A．a(chǎn)b有最小值4 B．a(chǎn)+b有最小值9C．2ab+a有最小值25 D．16a三、填空題12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x>1，y>0，且x+2y=2，則113．（2024·上海奉賢·二模）某商品的成本C與產(chǎn)量q之間滿足關(guān)系式C=Cq，定義平均成本C