第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（講義）（原卷版）

第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長(zhǎng)題型06已知余弦值求邊長(zhǎng)題型07已知正切值求邊長(zhǎng)題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二解直角三角形題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形題型02網(wǎng)格中解直角三角形題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關(guān)計(jì)算題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用題型01仰角、俯角問(wèn)題類型一利用水平距離測(cè)量物體高度類型二測(cè)量底部可以到達(dá)的物體高度類型三測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度題型02方位角問(wèn)題題型03坡度坡比問(wèn)題題型04坡度坡比與仰角俯角問(wèn)題綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn),其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達(dá)式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sinA2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°2332313【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過(guò)來(lái)，若已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個(gè)大寫(xiě)英文字母或一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時(shí)習(xí)慣省略角的符號(hào)“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個(gè)大寫(xiě)英文字母或一個(gè)數(shù)字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時(shí),不能省略角的符號(hào)“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時(shí),一般寫(xiě)成tannA,它與tanAn3.銳角三角函數(shù)是針對(duì)直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數(shù)的定義可知,其本質(zhì)特征是兩條線段長(zhǎng)的比.因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值,沒(méi)有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).4.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于A．ADAB B．BDAD C．BDBC【變式11】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式12】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinAA．35 B．34 C．45【變式13】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，梯子（長(zhǎng)度不變）跟地面所成的銳角為∠α

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α【變式14】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式15】（2019·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【變式16】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，cA．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則A．45 B．35 C．34【變式21】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，則sin∠ADC的值為（A．21313 B．31313 C．【變式22】（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACBA．355 B．175 C．3題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BACA．55 B．105 C．25【變式31】（2022·吉林長(zhǎng)春·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6A．45 B．35 C．43【變式32】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格上，則cos∠BAC的值為【變式33】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．【變式41】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD=∠BAC，連接(1)求證：CD是⊙O(2)若CE=OA,【變式42】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長(zhǎng)．題型05已知正弦值求邊長(zhǎng)【例5】（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA．5003 B．5035 C．60 D【變式51】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測(cè)得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點(diǎn)AA．60sin50° B．60sin50° C．【變式52】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數(shù)y=A．10 B．24 C．48 D．50題型06已知余弦值求邊長(zhǎng)【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,cosAA．4 B．8 C．83 D．【變式61】（2016·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【變式62】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點(diǎn)E為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，將線段EA（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與AB相交于點(diǎn)G，求線段BG的長(zhǎng)；（3）求線段CF的長(zhǎng)度的最小值．題型07已知正切值求邊長(zhǎng)【例7】（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長(zhǎng)的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．2【變式71】（2023·山東日照·?？既＃┤鐖D，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長(zhǎng)是【變式72】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA=25，tanA=12，反比例函數(shù)y=(1)求k值；(2)求△OBD【變式73】（2021·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，已知，在△ABC中，O為AB上一點(diǎn)，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點(diǎn)B，交CO于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半徑．題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【例8】（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+【變式81】（2023·湖南株洲·校考一模）計(jì)算：12-1+【變式82】（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：12+【變式83】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：a+1-3題型09求特殊角的三角函數(shù)值【例9】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式91】（2023·廣東潮州·二模）計(jì)算|1-tan60°|的值為（A．1-3 B．0 C．3-1題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀【例10】（2022·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB-A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式101】（2021·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃┰凇鰽BC中，sinA=cos90°-A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【變式102】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰凇鰽BC中，若sinA-32+12-題型11用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值【例11】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算sin36°18＇，按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【變式111】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，某超市計(jì)劃將門前的部分樓梯改造成無(wú)障礙通道．已知樓梯共有五級(jí)均勻分布的臺(tái)階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小【例12】（2022·上?！ば？寄M預(yù)測(cè)）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<C．33<tan【變式121】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）比較大?。簊in81°tan47°(填“<”“=”或【變式122】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫(xiě)出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍【例13】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計(jì)在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【變式131】（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）若∠A是銳角，且sinA＝13，則（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【變式132】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【變式133】（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則α的范圍是(A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解【例14】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知∠α為銳角，且sinα=5【變式141】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知CF=4，sin∠EFC=

題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式【例15】（2021·北京·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，且AO（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分線DM交BC于點(diǎn)M，當(dāng)AB=3，tan∠【變式151】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt(2)根據(jù)（1）中所畫(huà)圖形證明該命題．【變式152】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角α，β，若α+β=90°(1)當(dāng)α=30°，β=60°時(shí)，驗(yàn)證(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對(duì)的邊為a，∠B所對(duì)的邊為(3)利用上面的證明方法，直接寫(xiě)出tanα與sinα，題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系【例16】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┗?jiǎn)sin28°-cos28°A．sin28°-cos28°C．cos28°-sin【變式161】（2023·四川成都·成都實(shí)外校考一模）已知sin42°≈23，則cosA．53 B．13 C．32【變式162】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin【變式163】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個(gè)結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論有.考點(diǎn)二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對(duì)的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對(duì)的邊鄰邊解直角三角形常見(jiàn)類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三).2.已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠A．32 B．35 C．37【變式11】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長(zhǎng)為（

A．2 B．52 C．5 D．【變式12】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)?？既＃┤鐖D，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．62【變式13】（2022·浙江杭州·?？家荒＃┰凇鰽BC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【變式14】（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）公交總站(點(diǎn)A)與B、C兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點(diǎn)離公交總站的距離即題型02網(wǎng)格中解直角三角形【例2】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎谟?0個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則tan【變式21】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則sin∠ADC2【變式22】（2022·四川廣元·校考一模）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．【變式23】（2021·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖所示，∠MON是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則tan∠MON題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形【例3】（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P1,2，那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα【變式31】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB=5，連結(jié)AB并延長(zhǎng)至C，連結(jié)OC，若滿足OC2=BC?A．-2,4 B．-43,23【變式32】（2021·山東棗莊·校聯(lián)考一模）如圖，⊙A經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)B(4，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D為第二象限內(nèi)圓上一點(diǎn)．則∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34【變式33】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,BC=b,∠A．a(chǎn)cosx+bsinx B．a(chǎn)題型04解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【例4】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為．【變式41】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圖1是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．(1)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大值時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)是

cm．(2)當(dāng)夾子的開(kāi)口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離為cm．【變式42】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則【變式43】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b=20mm，則邊長(zhǎng)a為mm．題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積【例5】（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個(gè)四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 D【變式51】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在?ABCD中，AB=BC=2,?∠ABC=60°，過(guò)點(diǎn)D作【變式52】（2021·江西贛州·統(tǒng)考一模）圖1是一種可折疊臺(tái)燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點(diǎn)B，E，D均為可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)測(cè)得AB=BE=ED=CD=14cm，經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)B，（1）求平穩(wěn)放置時(shí)燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；（2）為保護(hù)視力，寫(xiě)字時(shí)眼睛離桌面的距離應(yīng)保持在30cm，為防止臺(tái)燈刺眼，點(diǎn)A離桌面的距離應(yīng)不超過(guò)30cm，求臺(tái)燈平穩(wěn)放置時(shí)∠ABE的最大值．（結(jié)果精確到0.01°，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768【變式53】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，ΔBCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當(dāng)按壓柄ΔBCD按壓到底時(shí)，（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D'（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，【變式54】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，是放在水平桌面上的臺(tái)燈的幾何圖，已知臺(tái)燈底座高度為2cm，固定支點(diǎn)O到水平桌面的距離為7.5cm，當(dāng)支架OA、AB拉直時(shí)所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時(shí)測(cè)得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠OAB=115°，∠AOM=160°時(shí)，臺(tái)燈所投射的光線最適合寫(xiě)作業(yè)，測(cè)量得A到B的水平距離為10cm，求此時(shí)點(diǎn)B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語(yǔ)：1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：1）弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；4）得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．測(cè)量物體的高度的常見(jiàn)模型：1）利用水平距離測(cè)量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過(guò)這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過(guò)公共邊相等，列方程求解.2）測(cè)量底部可以到達(dá)的物體高度模型需測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系原理測(cè)量?jī)x高m，水平距離n，傾斜角αtanh=m+n?矩形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系水平距離n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h23）測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度題型01仰角、俯角問(wèn)題類型一利用水平距離測(cè)量物體高度【例1】（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB=16m，則這棵樹(shù)CD的高度是（A．8(3-3)m B．8(3+3)m【變式11】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即EF=15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則CD的長(zhǎng)用三角函數(shù)表示為（

A．15sin32° B．15tan64° C．【變式12】（2022·云南昆明·云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）某滑雪場(chǎng)用無(wú)人機(jī)測(cè)量雪道長(zhǎng)度．如圖，通過(guò)無(wú)人機(jī)的鏡頭C測(cè)一段水平雪道一端A處的俯角為50°，另一端B處的俯角為45°，若無(wú)人機(jī)鏡頭C處的高度CD為238米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則通道AB的長(zhǎng)度為米．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，【變式13】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB【變式14】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測(cè)量校園內(nèi)一棵樹(shù)的高度．如圖，測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹(shù)頂D的仰角為45°，C處測(cè)得樹(shù)頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測(cè)量?jī)x高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹(shù)BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

類型二測(cè)量底部可以到達(dá)的物體高度【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測(cè)得B到樹(shù)底部C的距離為10m，在B處放置1m高的測(cè)角儀BD，測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為60°，則樹(shù)高AC為m（結(jié)果保留根號(hào)）．【變式21】（2020·廣東梅州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某校教學(xué)樓AC與實(shí)驗(yàn)樓BD的水平間距CD=153米，在實(shí)驗(yàn)樓頂部B點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部A點(diǎn)的仰角是30°，底部C點(diǎn)的俯角是45°，則教學(xué)樓AC的高度是【變式22】（2023·廣東中山·中山市華僑中學(xué)?？家荒＃┲苣趵蠋煵贾昧艘豁?xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度．小希站在自家陽(yáng)臺(tái)上，看對(duì)面一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,【變式23】（2021·河北石家莊·校聯(lián)考一模）如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得大橋主架頂端A的仰角為30°，測(cè)得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14°，觀測(cè)點(diǎn)與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面．（點(diǎn)A,（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求大橋主架在水面以上的高度AB．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin14【變式24】（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）我們經(jīng)常會(huì)采用不同方法對(duì)某物體進(jìn)行測(cè)量，請(qǐng)測(cè)量下列燈桿AB的長(zhǎng)．(1)如圖1所示，將一個(gè)測(cè)角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測(cè)角儀高為b米，從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著B(niǎo)C方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度類型三測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物D點(diǎn)的俯角α為45°，C點(diǎn)的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53

【變式31】（2023·山東東營(yíng)·校聯(lián)考一模）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）【變式32】（2023·天津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某座山AB的項(xiàng)部有一座通訊塔BC，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，從地面P處測(cè)得塔頂C的仰角為42°，測(cè)得塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan【變式33】（2022·浙江紹興·校考一模）越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MBC=33°，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC=45°（點(diǎn)A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到【變式34】（2023·四川宜賓·?？家荒＃┠硵?shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下：(1)探究原理：制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A,B共線（如圖②），此目標(biāo)P的仰角(2)實(shí)地測(cè)量：如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為了測(cè)量樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米；求樹(shù)高PH．（(3)拓展探究：公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E,F（E,F,H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α,β，再測(cè)得E,F間的距離m，點(diǎn)O【變式35】（2022·湖南湘潭·?？寄M預(yù)測(cè)）開(kāi)鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到龍門石窟景區(qū)測(cè)量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測(cè)量點(diǎn)A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測(cè)得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37.5°≈0.61，cos題型02方位角問(wèn)題【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos【變式41】（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD=100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東(1)求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【變式42】（2023·湖南岳陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【變式43】（2022·重慶·重慶一中?？家荒＃?月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn)．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，7【變式44】（2023·重慶江北·?？家荒＃┤鐖D所示，在一次海上救援演習(xí)中，游艇A按計(jì)劃停泊在搜救艇B的南偏東30°方向上，同時(shí)，在搜救艇B的正南方向，與搜救艇B相距40海里處還設(shè)置了另一支搜救艇C，此時(shí)游艇A在搜救艇C的東北方向上，隨著演習(xí)正式開(kāi)始，游艇A按計(jì)劃向搜救艇