2019高三數(shù)學(xué)(人教A版理)一輪教師用書(shū)專題探究課4立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題_第1頁(yè)
2019高三數(shù)學(xué)(人教A版理)一輪教師用書(shū)專題探究課4立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題_第2頁(yè)
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四立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第124頁(yè))[命題解讀]立體幾何是高考的重要內(nèi)容,從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看,立體幾何每年必考一道解答題,難度中等,主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式,即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直,再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算,考查的熱點(diǎn)是平行與垂直的證明、二面角的計(jì)算,平面圖形的翻折,探索存在性問(wèn)題,突出三大能力:空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查.空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系空間線線、線面、面面平行、垂直關(guān)系常與平面圖形的有關(guān)性質(zhì)及體積的計(jì)算等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,一般以解答題的形式出現(xiàn),難度中等.用向量法證明平行、垂直、求空間角,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),實(shí)質(zhì)是把幾何問(wèn)題代數(shù)化,注意問(wèn)題:(1)恰當(dāng)建系,建系要直觀;坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求,在圖上標(biāo)出坐標(biāo)軸,特別注意有時(shí)要證明三條軸兩兩垂直(扣分點(diǎn)).(2)關(guān)鍵點(diǎn),向量的坐標(biāo)要求對(duì),把用到的點(diǎn)的坐標(biāo)一個(gè)一個(gè)寫(xiě)在步驟里.(3)計(jì)算要認(rèn)真細(xì)心,特別是|n|,n1、n2的運(yùn)算.(4)弄清各空間角與向量夾角的關(guān)系.如圖1所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點(diǎn).圖1(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求證:C1F∥平面ABE;(3)求三棱錐E-ABC的體積.[解](1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又AB?平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.①②(2)證明:法一:如圖①,取AB中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G.因?yàn)镚,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),所以FG∥AC,且FG=eq\f(1,2)AC.因?yàn)锳C∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1F∥平面ABE.法二:如圖②,取AC的中點(diǎn)H,連接C1H,F(xiàn)H.因?yàn)镠,F(xiàn)分別是AC,BC的中點(diǎn),所以HF∥AB.又因?yàn)镋,H分別是A1C1,AC的中點(diǎn),所以EC1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))AH,所以四邊形EAHC1為平行四邊形,所以C1H∥AE,又C1H∩HF=H,AE∩AB=A,所以平面ABE∥平面C1HF.又C1F?平面C1HF,所以C1F∥平面ABE.(3)因?yàn)锳A1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=eq\r(AC2-BC2)=eq\r(3).所以三棱錐E-ABC的體積V=eq\f(1,3)S△ABC·AA1=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2=eq\f(\r(3),3).[規(guī)律方法]1.1證明面面垂直,將“面面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問(wèn)題,再將“線面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問(wèn)題.2證明C1F∥平面ABE:①利用判定定理,關(guān)鍵是在平面ABE中找作出直線EG,且滿足C1F∥EG.②利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行,則先要確定一個(gè)平面C1HF滿足面面平行,實(shí)施線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化.2.計(jì)算幾何體的體積時(shí),能直接用公式時(shí),關(guān)鍵是確定幾何體的高,而不能直接用公式時(shí),注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.[跟蹤訓(xùn)練]如圖2所示,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別是PC,PD的中點(diǎn),PA=AB=1,BC=2.圖2(1)求證:EF∥平面PAB;(2)求證:平面PAD⊥平面PDC.【導(dǎo)學(xué)號(hào):97190261】[證明]以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1,\f(1,2))),F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,1,\f(1,2))),eq\o(EF,\s\up7(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,0)),eq\o(AP,\s\up7(→))=(0,0,1),eq\o(AD,\s\up7(→))=(0,2,0),eq\o(DC,\s\up7(→))=(1,0,0),eq\o(AB,\s\up7(→))=(1,0,0).(1)因?yàn)閑q\o(EF,\s\up7(→))=-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→)),所以eq\o(EF,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→)),即EF∥AB.又AB?平面PAB,EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)因?yàn)閑q\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))=(0,0,1)·(1,0,0)=0,eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))=(0,2,0)·(1,0,0)=0,所以eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(DC,\s\up7(→)),eq\o(AD,\s\up7(→))⊥eq\o(DC,\s\up7(→)),即AP⊥DC,AD⊥DC.又因?yàn)锳P∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD,所以DC⊥平面PAD.因?yàn)镈C?平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.立體幾何中的探索性問(wèn)題此類試題一般以解答題形式呈現(xiàn),常涉及線面平行與垂直位置關(guān)系的探索或空間角的計(jì)算問(wèn)題,是高考命題的熱點(diǎn),一般有兩種考查形式:(1)根據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證;(2)利用空間向量,先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在.(2016·北京高考)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=eq\r(5).圖3(1)求證:PD⊥平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PCD?若存在,求eq\f(AM,AP)的值;若不存在,說(shuō)明理由.[解](1)證明:因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD,所以PO⊥CO.因?yàn)锳C=CD,所以CO⊥AD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up7(→))=0,,n·\o(PC,\s\up7(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-y-z=0,,2x-z=0.))令z=2,則x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又eq\o(PB,\s\up7(→))=(1,1,-1),所以cos〈n,eq\o(PB,\s\up7(→))〉=eq\f(n·\o(PB,\s\up7(→)),|n||\o(PB,\s\up7(→))|)=-eq\f(\r(3),3).所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在λ∈[0,1]使得eq\o(AM,\s\up7(→))=λeq\o(AP,\s\up7(→)).因此點(diǎn)M(0,1-λ,λ),eq\o(BM,\s\up7(→))=(-1,-λ,λ).因?yàn)锽M?平面PCD,所以要使BM∥平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(BM,\s\up7(→))·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=eq\f(1,4).所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD,此時(shí)eq\f(AM,AP)=eq\f(1,4).[規(guī)律方法]解立體幾何中探索性問(wèn)題的方法1通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立,然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理;2若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說(shuō)明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;3若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在.易錯(cuò)警示:探索線段上是否存在點(diǎn)時(shí),注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用.[跟蹤訓(xùn)練](2017·湖南五市十校聯(lián)考)如圖4,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2eq\r(2),BC=4eq\r(2),PA=2.圖4(1)求證:AB⊥PC;(2)在線段PD上,是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-D的大小為45°,如果存在,求BM與平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.[解](1)證明:如圖,由已知得四邊形ABCD是直角梯形,由AD=CD=2eq\r(2),BC=4eq\r(2),可得△ABC是等腰直角三角形,即AB⊥AC,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥PC.(2)法一:(作圖法)過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AD交AD于點(diǎn)N,則MN∥PA,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以MN⊥平面ABCD.過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AC交AC于點(diǎn)G,連接NG,則∠MGN是二面角M-AC-D的平面角.若∠MGN=45°,則NG=MN,又AN=eq\r(2)NG=eq\r(2)MN,所以MN=1,所以MNeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)PA,所以M是PD的中點(diǎn).在三棱錐M-ABC中,可得VM-ABC=eq\f(1,3)S△ABC·MN,設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距離是h,則VB-MAC=eq\f(1,3)S△MAC·h,所以S△ABC·MN=S△MAC·h,解得h=2eq\r(2).在Rt△BMN中,可得BM=3eq\r(3).設(shè)BM與平面MAC所成的角為θ,則sinθ=eq\f(h,BM)=eq\f(2\r(6),9).法二:(向量法)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(2eq\r(2),2eq\r(2),0),D(0,2eq\r(2),0),P(0,0,2),B(2eq\r(2),-2eq\r(2),0),eq\o(PD,\s\up7(→))=(0,2eq\r(2),-2),eq\o(AC,\s\up7(→))=(2eq\r(2),2eq\r(2),0).設(shè)eq\o(PM,\s\up7(→))=teq\o(PD,\s\up7(→))(0<t<1),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2eq\r(2)t,2-2t),所以eq\o(AM,\s\up7(→))=(0,2eq\r(2)t,2-2t).設(shè)平面MAC的法向量是n=(x,y,z),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up7(→))=0,n·\o(AM,\s\up7(→))=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(2)x+2\r(2)y=0,2\r(2)ty+2-2tz=0)),則可取n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-1,\f(\r(2)t,1-t))).又m=(0,0,1)是平面ACD的一個(gè)法向量,所以|cos〈m,n〉|=eq\f(|m·n|,|m||n|)=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)t,t-1))),\r(2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)t,t-1)))eq\s\up12(2)))=cos45°=eq\f(\r(2),2),解得t=eq\f(1,2),即點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn).此時(shí)平面MAC的一個(gè)法向量可取n0=(1,-1,eq\r(2)),eq\o(BM,\s\up7(→))=(-2eq\r(2),3eq\r(2),1).設(shè)BM與平面MAC所成的角為θ,則sinθ=|cos〈n0,eq\o(BM,\s\up7(→))〉|=eq\f(2\r(6),9).平面圖形的翻折問(wèn)題(答題模板)將平面圖形折疊成空間幾何體,并以此為載體考查點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系及有關(guān)幾何量的計(jì)算是近年高考的熱點(diǎn),注重考查空間想象能力、知識(shí)遷移能力和轉(zhuǎn)化思想.試題以解答題為主要呈現(xiàn)形式,中檔難度.(本小題滿分12分)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖5,eq\o(菱形ABCD)①的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,eq\o(AE=CF)②=eq\f(5,4),EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=eq\r(10).圖5(1)證明:eq\o(D′H⊥平面ABCD)③;(2)求二面角B-D′A-C的正弦值.[審題指導(dǎo)]題眼挖掘關(guān)鍵信息①②由菱形ABCD及AE=CF,可知DH是等腰三角形DEF底邊上的高線,而DH⊥EF是翻折不變量,再逆用勾股定理可得D′H⊥OH,從而得出結(jié)論;③利用(1)的結(jié)果,可得相交于一點(diǎn)且兩兩垂直的三條直線,為建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的正弦值創(chuàng)造了條件.[規(guī)范解答](1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得eq\f(AE,AD)=eq\f(CF,CD),故AC∥EF.因?yàn)镋F⊥HD,從而EF⊥D′H. 2分由AB=5,AC=6得DO=BO=eq\r(AB2-AO2)=4.由EF∥AC得eq\f(OH,DO)=eq\f(AE,AD)=eq\f(1,4).所以O(shè)H=1,D′H=DH=3.于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD. 5分(2)如圖,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),eq\o(HF,\s\up7(→))的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D′(0,0,3),eq\o(AB,\s\up7(→))=(3,-4,0),eq\o(AC,\s\up7(→))=(6,0,0),eq\o(AD′,\s\up7(→))=(3,1,3).設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AB,\s\up7(→))=0,,m·\o(AD′,\s\up7(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1-4y1=0,,3x1+y1+3z1=0,))所以可取m=(4,3,-5). 8分設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up7(→))=0,,n·\o(AD′,\s\up7(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x2=0,,3x2+y2+3z2=0,))所以可取n=(0,-3,1).于是cos〈m,n〉=eq\f(m·n,|m||n|)=eq\f(-14,\r(50)×\r(10))=-eq\f(7\r(5),25).sin〈m,n〉=eq\f(2\r(95),25).因此二面角B-D′A-C的正弦值是eq\f(2\r(95),25). 12分[閱卷者說(shuō)]易錯(cuò)點(diǎn)防范措施弄不清翻折變量與不變量可動(dòng)手操作、加強(qiáng)訓(xùn)練、及時(shí)總結(jié),明確在同一平面內(nèi)的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化.[規(guī)律方法]對(duì)于翻折問(wèn)題,應(yīng)明確:在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化.解決這類問(wèn)題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值,這是解決翻折問(wèn)題的主要方法.[跟蹤訓(xùn)練](2018·合肥二檢)如圖6①所示,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,點(diǎn)E為AD中點(diǎn),沿BE將△ABE折起至△PBE,如圖6②所示,點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上.【導(dǎo)學(xué)號(hào):97190262】圖①圖②圖6(1)求證:BP⊥CE;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.[解](1)證明:∵點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上,∴PO⊥平面BCDE,∵CE?平面BCDE,∴PO⊥CE.易知BE⊥CE,BE∩PO=O,∴CE⊥平面PBE,而B(niǎo)P?平面PBE,∴BP⊥CE.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸,過(guò)點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸,PO所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-\f(1,2),0)),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(3,2),0)),Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(3,2),0)),Peq\b\lc\(\rc\)

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