126實(shí)數(shù)的運(yùn)算（分層練習(xí)）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)2

12.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值化簡(jiǎn)即可；【詳解】解：；故選擇：B【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，利用差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022春·上海·七年級(jí)期中）計(jì)算：＝_________．【答案】2【分析】先進(jìn)行平方運(yùn)算將根式中的括號(hào)去掉，在根據(jù)實(shí)數(shù)的減法法則進(jìn)行計(jì)算，最后將4開方即可求解．【詳解】原式＝＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及求解算術(shù)平方根的知識(shí)，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022春·上海閔行·七年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谀┰趯?shí)數(shù)﹣，﹣1，0，2中，最小的一個(gè)數(shù)是_____．【答案】【分析】先判斷的大小，從而可得答案．【詳解】解：最小的一個(gè)數(shù)是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，掌握“實(shí)數(shù)的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．4．（2022春·上海閔行·七年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)校考期中）比較大?。篲_______2．【答案】＜【分析】求出2＝，再根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則比較即可．【詳解】解：∵2＝，∴＜?2，故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較法則的應(yīng)用，注意：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，其絕對(duì)值大的反而?。?．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）比較大?。篲________4.（填“”、“”或“”）【答案】＜【分析】先把4變形為再與進(jìn)行比較，即可得出答案．【詳解】解：∵4=，，∴，故答案為：＜．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，要掌握實(shí)數(shù)大小比較的方法，關(guān)鍵是把有理數(shù)變形為帶根號(hào)的數(shù)．6．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）比較大?。篲________（填“”或“”或“”）．【答案】＞【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵==＜=3，∴＞3，故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，熟知負(fù)數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上?！て吣昙?jí)上海市建平中學(xué)西校?？计谥校┤舳xab＝a2b，計(jì)算:(3x)2=_______【答案】12x【分析】根據(jù)定義先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，將結(jié)果與2進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.【詳解】∵ab＝a2b∴(3x)2=(32x)2=32x2×2=12x故答案為12x.【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義，認(rèn)真審題理清題意是解決本題的關(guān)鍵.8．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）小于的最大整數(shù)是________．【答案】【分析】先根據(jù)無理數(shù)的估算求出的取值范圍，再求出的取值范圍，由此即可得．【詳解】解：，即，，則小于的最大整數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵．9．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）如果實(shí)數(shù)+2與﹣3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，那么AB的長(zhǎng)度為_____．【答案】5【分析】根據(jù)數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離，較大的數(shù)減較小的數(shù)，可得答案．【詳解】解：由題意，得（+2）﹣（﹣3）＝+2﹣+3＝5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用較大的數(shù)減較小的數(shù),是解題關(guān)鍵．10．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）計(jì)算：+＝________．【答案】2【分析】先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式＝2﹣+＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，則______．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式求得，將已知代數(shù)式的值代入即可求解．【詳解】解：∵，∴．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式，掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）請(qǐng)用符號(hào)“”將下面實(shí)數(shù)，，連接起來_______．【答案】<<【分析】先估算的值，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較．【詳解】解：∵，∴，∴<<，故答案為：<<．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。部疾榱藷o理數(shù)的估算．13．（2022春·上海·七年級(jí)開學(xué)考試）定義新運(yùn)算“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，如．若，則________．【答案】1【分析】直接利用新定義得出關(guān)于x的方程，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由，得，∴，即：，解得：x=1，故答案是：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義以及一元一次方程的解法，正確列出方程是解題關(guān)鍵．14．（2022秋·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．【答案】2．【分析】讀懂計(jì)算程序，把x=－3代入，按計(jì)算程序計(jì)算，直到結(jié)果是無理數(shù)即可．【詳解】當(dāng)輸入x，若＝2的結(jié)果是無理數(shù)，即為輸出的數(shù)，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，2＝2，不是無理數(shù)，因此，把x＝2再輸入得，2＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握計(jì)算法則是關(guān)鍵．三、解答題15．（2022春·上海徐匯·七年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可得．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．16．（2022春·上海松江·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】2【分析】原式第一項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算，第二項(xiàng)利用平方根定義化簡(jiǎn)，第三項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及立方根、算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】6【分析】利用乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、三次根式等知識(shí)即可得出答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、三次根式等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算．18．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，計(jì)算求值即可；【詳解】解：，＝4+2﹣3﹣1，＝2；【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算：先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．19．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算：．【答案】【分析】利用算術(shù)平方根和立方根的定義計(jì)算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】0【分析】利用方根的性質(zhì)，結(jié)合已知即可去掉根號(hào)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的計(jì)算．21．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）計(jì)算：.【答案】8【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式＝（+2+﹣2）（+2﹣+2）＝2×4＝8．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，平方差公式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·上?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)1；(2)．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；(1)解：原式＝．(2)解：原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)運(yùn)算，要求學(xué)生掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的順序，會(huì)求算術(shù)平方根和立方根，會(huì)去絕對(duì)值．23．（2022秋·上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：．【答案】7【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則．24．（2022春·上海靜安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（，結(jié)果精確到）【答案】1.2平方米【分析】根據(jù)題意，剩下的木料的面積等于正方形面積減去半圓面積?！驹斀狻拷猓河深}意得，正方形的邊長(zhǎng)為米，則半圓的半徑為米，則剩下的木料的面積，，，，（平方米）答：剩下的木料的面積約為平方米．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)際問題中的實(shí)數(shù)的運(yùn)算：正方形和圓形結(jié)合的陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形面積之間的關(guān)系．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知，，表示取三個(gè)數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)﹒例如：當(dāng)，，，=，，=81﹒當(dāng)，，=時(shí)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用最大值的定義分別代入計(jì)算得出符合題意的答案．【詳解】解：當(dāng)，，=時(shí)，若，解得：x=，此時(shí)，此時(shí)符合題意；若，解得：x=，此時(shí)，此時(shí)不符合題意；若x=，此時(shí)，此時(shí)不符合題意，綜上，x=，故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根及其最值問題，解決此題時(shí)，注意分類思想的運(yùn)用．2．（2022春·上?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）4、、15三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（

）A．4<15< B．<15<4C．4<<15 D．<4<15【答案】A【詳解】因?yàn)?,因?yàn)?5=,所以4<15<,故選A.3．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當(dāng)輸出值y為時(shí)，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為；③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯(cuò)誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯(cuò)誤；②輸入值x為16時(shí)，，故②說法正確；③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯(cuò)誤；④當(dāng)x=1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說法正確．其中錯(cuò)誤的是①③．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．二、填空題4．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）比較大小:_______________．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可進(jìn)行比較．【詳解】故故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)大小比較的問題，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·上?！て吣昙?jí)期末）在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡(jiǎn)便，我們記=1+2+3+…+(n1)+n，=(x+1)+(x+2)+(x+3)+…+(x+n)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是______________________.【答案】3x215x+20【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算規(guī)則即可得出式子，然后化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘法、新定義計(jì)算，找出規(guī)律列出代數(shù)式是關(guān)鍵.6．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算*如下：a*b=，如3*2==，那么12*（3*1）=______．【答案】【分析】先依據(jù)定義列出算式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵3*1====1，∴12*（3*1）=12*1==，故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確理解計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．7．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若，則（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．給出下列關(guān)于（x）的結(jié)論：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是9≤x<11；④當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有（m+2019x）=m+（2019x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正確的結(jié)論有__________（填寫所有正確的序號(hào)）．【答案】①③④【分析】根據(jù)題意，可以直接判斷①，②和⑤可以舉反例判斷，③和④可以根據(jù)題意利用不等式進(jìn)行判斷.【詳解】解：①（1.493）=1，故①正確；②（2x）≠2（x），當(dāng)x=0.3時(shí)，（2x）=1，2（x）=0，故②錯(cuò)誤；③若（x1）=4，則4≤x1＜4+，解得:9≤x＜11，故③正確；④m為整數(shù)，故（m+2019x）=m+（2019x），故④正確；⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4時(shí)，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的理解能力，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，看到所得值是個(gè)位數(shù)四舍五入的值.8．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為<x>，即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若，則（如），給出下列關(guān)于<x>的結(jié)論：①若<2x1>=3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為；②當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有<x+m>=m+<x>；③<x+y>=<x>+<y>；其中，正確的結(jié)論有_______（填寫所有正確的序號(hào)）【答案】①②【分析】根據(jù)定義即可判斷①；分別表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式，可判斷②；用舉反例法可判斷③.【詳解】解：由題意得：①∵<2x1>=3，則3≤2x1＜3+，解得：≤x＜，故正確；②設(shè)＜x＞=n，則n?≤x＜n+，n為非負(fù)整數(shù)；∴(n+m)?≤x+m＜(n+m)+，且n+m為非負(fù)整數(shù)，∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞；③舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用和理解題意的能力，關(guān)鍵是看到所得值是個(gè)位數(shù)四舍五入后的值，問題可得解．9．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為．例如n=123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666，，所以．（1）計(jì)算：=____．（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整數(shù))，規(guī)定：，當(dāng)時(shí)，求k的最小值是____．【答案】

10

．【分析】（1）根據(jù)“相異數(shù)”的定義列式計(jì)算即可；（2）由s=100x+32，t=150+y結(jié)合，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)“相異數(shù)”的定義結(jié)合的定義式，即可求出、的值，將其代入中，即可求出最小值．【詳解】解：（1）根據(jù)“相異數(shù)”的定了可得127的三個(gè)新三位數(shù)為：217，721，172，∴，故答案為：10；（2）∵s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y，∴，，∵，∴，∴，∵，，x，y都是正整數(shù)，∴或或或或或，∵s是“相異數(shù)”，∴且，∵t是“相異數(shù)”，∴且，∴或或，①當(dāng)時(shí)，，則，②當(dāng)時(shí)，，則，③當(dāng)時(shí)，，則，∴當(dāng)時(shí)，k取得最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算和二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列式計(jì)算和列出關(guān)于未知數(shù)的方程．三、解答題10．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)，，求．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式和實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．11．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足，，求的值．【答案】17【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，進(jìn)而求出x與y的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，，，，，，，

，，，，

．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是注意非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用．12．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)1；(3)3；【分析】（1）利用平方差公式計(jì)算求值；（2）利用冪的積等于積的冪計(jì)算求值；（3）根據(jù)冪的運(yùn)算法則、平方差公式計(jì)算求值；(1)解：原式=，=；(2)解：原式==；(3)解：原式=；【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．13．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【分析】（1）先算開方，再算絕對(duì)值最后加減即可；（2）先算乘方、開方再算加減；(1)解：原式=+；(2)解：原式=．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．14．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：，，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)25(2)【分析】（1）利用完全平方公式變形，再結(jié)合平方差公式求值即可；（2）將變換為，再由完全平方公式和平方差公式變形求值即可；(1)解：原式==3×1211×（32）=25；(2)解：原式====（）×（123）；【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．15．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）先閱讀下列材料，再解答后面的問題．一般地，若且，，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為（即．，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即．（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：，，．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，、、之間又滿足怎樣的關(guān)系式?（3）猜想一般性的結(jié)論：且，，．【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)材料敘述，結(jié)合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根據(jù)（1）的答案可得出log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式；（3）設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，則ab1＝M，ab2＝N，分別表示出MN及b1＋b2的值，即可得出猜想．【詳解】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）log24＋log216＝log264；（3）猜想logaM＋logaN＝loga（MN）．證明：設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，則ab1＝M，ab2＝N，故可得MN＝ab1?ab2＝ab1＋b2，b1＋b2＝loga（MN），即logaM＋logaN＝loga（MN）．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，題目出得比較新穎，解題思路以材料的形式給出，需要同學(xué)們仔細(xì)閱讀，理解并靈活運(yùn)用所給的信息．16．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知a、b為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算※，滿足，例如：．（1）求的值；（2）若，，且，求的值．【答案】（1）7；（2）41.【分析】一種新運(yùn)算※，滿足，只需將數(shù)值a，b帶入即可，按照定義的運(yùn)算算出數(shù)值.【詳解】解：（1）（2）因?yàn)椋宜?，【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，屬于創(chuàng)新題型，理解題意，要知道新運(yùn)算※的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.17．（2022秋·上海·七年級(jí)階段練習(xí)）我們規(guī)定一種運(yùn)算，如果ac＝b，則（a，b）＝c，例如若23＝8，則（2，8）＝3(1)根據(jù)上述規(guī)定填空（3，27）＝，（﹣2，）＝5(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下證明過程：解：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，所以（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4），請(qǐng)你用這種方法證明（3，4）＋（3，5）＝（3，20）．【答案】(1)3，﹣32(2)見解析【分析】對(duì)于（1），根據(jù)定義及可得到答案；對(duì)于（2），設(shè)（3，4）＝a，（3，5）＝b，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可得證．（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案為：3，﹣32；（2）證明：設(shè)（3，4）＝a，（3，5）＝b，則3a＝4，3b＝5，∴3a×3b＝20，∴3a+b＝20，∴（3，20）＝a+b，∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了定義新運(yùn)算解決乘方問題，理解新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）材料一：一個(gè)正整數(shù)x能寫成（a，b均為正整數(shù)，且），則稱x為“雪松數(shù)”，a，b為x的一個(gè)平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時(shí)．例如：，24為雪松數(shù)，7和5為24的一個(gè)平方差分解，，因?yàn)椋?和7為32的最佳平方差分解，．材料二：若一個(gè)四位正整數(shù)，它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，但四個(gè)數(shù)字不全相同，則稱這個(gè)四位數(shù)為“南麓數(shù)”，例如4334，5665均為“南麓數(shù)”．根據(jù)材料回答：（1）請(qǐng)直接寫出兩個(gè)雪松數(shù)，并分別寫出它們的一對(duì)平方差分解；（2）試說明10不是雪松數(shù)；（3）若一個(gè)數(shù)t既是“雪松數(shù)”又是“南麓數(shù)”，并且另一個(gè)“南麓數(shù)”的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是t的一個(gè)平方差分解，請(qǐng)求出所有滿足條件的數(shù)t．【答案】（1），；（2）見解析；（3）2772，5445【分析】（1）根據(jù)雪松數(shù)的特征即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，均為正整數(shù)，且，另一個(gè)“南麓數(shù)”為，均為正整數(shù)，且，根據(jù)“南麓數(shù)”的特征即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意可得：，；（2）若10是“雪松數(shù)”，則可設(shè)，均為正整數(shù)，且，則，又，，均為正整數(shù)，，，或，解得：或，與，均為正整數(shù)矛盾，故10不是雪松數(shù)；（3）設(shè)，均為正整數(shù)，且，另一個(gè)“南麓數(shù)”為，均為正整數(shù)，且，則，，整理得，，，，均為正整數(shù)，，經(jīng)探究，，符合題意，的值分別為：2772，5445．【點(diǎn)睛】本題主要考查分解因式的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解新定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）若一個(gè)四位數(shù)t的前兩位數(shù)字相同且各位數(shù)字均不為0，則稱這個(gè)數(shù)為“前介數(shù)”；若把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字放到前三位數(shù)字組成的數(shù)的前面組成一個(gè)新的四位數(shù)，則稱這個(gè)新的四位數(shù)為“中介數(shù)”；記一個(gè)“前介數(shù)”t與它的“中介數(shù)”的差為P（t）．例如，5536前兩位數(shù)字相同，所以5536為“前介數(shù)”；則6553就為它的“中介數(shù)”，P（5536）＝5536﹣6553＝1017．（1）P（2215）＝，P（6655）＝．（2）求證：任意一個(gè)“前介數(shù)”t，P（t）一定能被9整除．（3）若一個(gè)千位數(shù)字為2的“前介數(shù)”t能被6整除，它的“中介數(shù)”能被2整除，請(qǐng)求出滿足條件的P（t）的最大值．【答案】（1）3006，990；（2）見解析；（3）P（t）的最大值是P（2262）=36．【分析】（1）根據(jù)“前介數(shù)”t與它的“中介數(shù)”的差為P（t）的定義求解即可；（2）設(shè)“前介數(shù)”為且a、b、c均不為0的整數(shù)，即1a、b、c，根據(jù)定義得到P（t）=，則P（t）一定能被9整除；（3）設(shè)“前介數(shù)”為，根據(jù)題意得到能被3整除，且b只能取2，4，6，8中的其中一個(gè)數(shù)；對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是，得到a只能取2，4，6，8中的其中一個(gè)數(shù)，計(jì)算P（t），推出要求P（t）的最大值，即要盡量的大，要盡量的小，再分類討論即可求解．【詳解】（1）解：2215是“前介數(shù)”，其對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是5221，∴P（2215）=22155221=3006；6655是“前介數(shù)”，其對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是5665，∴P（6655）=66555665=990；故答案為：3006，990；（2）證明：設(shè)“前介數(shù)”為且a、b、c均為不為0的整數(shù)，即1a、b、c，∴，又對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是，∴P（t）=，∵a、b、c均不為0的整數(shù)，∴為整數(shù)，∴P（t）一定能被9整除；（3）證明：設(shè)“前介數(shù)”為且即1a、b，a、b均為不為0的整數(shù)，∴，∵能被6整除，∴能被2整除，也能被3整除，∴為偶數(shù)，且能被3整除，又1，∴b只能取2，4，6，8中的其中一個(gè)數(shù)，又對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是，且該“中介數(shù)”能被2整除，∴為偶數(shù)，又1，∴a只能取2，4，6，8中的其中一個(gè)數(shù)，∴P（t）=，要求P（t）的最大值，即要盡量的大，要盡量的小，①的最大值為8，的最小值為2，但此時(shí)，且14不能被3整除，不符合題意，舍去；②的最大值為6，的最小值仍為2，但此時(shí)，能被3整除，且P（t）=22622226=36；③的最大值仍為8，的最小值為4，但此時(shí)，且16不能被3整除，不符合題意，舍去；其他情況，減少，增大，則P（t）減少，∴滿足條件的P（t）的最大值是P（2262）=36．【點(diǎn)睛】本題考查用新定義解題，根據(jù)新定義，表示出“前介數(shù)”，與其對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是求解本題的關(guān)鍵．本題中運(yùn)用到的分類討論思想是重要一種數(shù)學(xué)解題思想方法．20．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）把一個(gè)各個(gè)數(shù)位的數(shù)值互不相等且均不為0的正整數(shù)重新排列各數(shù)位上的數(shù)字，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，用最大數(shù)減去最小數(shù)可得原數(shù)的極差數(shù)，記為P（t）．例如，254的極差數(shù)P（254）＝542﹣245＝297，3245的極差數(shù)P（3245）＝5432﹣2345＝3087（1）P（326）＝；P（6152）＝；（2）已知一個(gè)三位數(shù)（其中a＞b＞3）的極差數(shù)P＝495，且這個(gè)三位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和為6的倍數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)；（3）若一個(gè)兩位數(shù)m＝11a＋b，一個(gè)三位數(shù)n＝111a＋b＋200，（其中1≤a≤4，1≤a＋b≤9，a，b為正整數(shù)），交換三位數(shù)n的個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字得到新數(shù)n′，當(dāng)m的個(gè)位數(shù)字的3倍與n′的和能被13整除時(shí)，稱這樣的兩個(gè)數(shù)m和n為“組合數(shù)對(duì)”，求所有“組合數(shù)對(duì)”中P（n）的最大值．【答案】（1）396，5265；（2）837；（3）594【分析】（1）直接根據(jù)極差數(shù)的定義計(jì)算可得；（2）首先根據(jù)P＝495，列出99a297=495，求出a值，再根據(jù)三位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和為6的倍數(shù)，結(jié)合b的范圍得到b值，即可得到結(jié)果；（3）首先求出n′，得到3（a+b）+n′，根據(jù)整除的定義，變形得到為整數(shù)，結(jié)合a，b的范圍，求出，化簡(jiǎn)可得，求出該方程的整數(shù)解，分別驗(yàn)證，可得P（n）的最大值．【詳解】解：（1）由定義可得：P（326）=632236=396，P（6152）=65211256=5265；（2）∵P=495，則P=100a+10b+3（300+10b+a）=99a297=495，解得：a=8，∵這個(gè)三位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和為6的倍數(shù)，則a+3+b=11+b，又3＜b≤8，∴b=7，則該三位數(shù)為837；（3）∵m=11a+b=10a+（a+b），n=111a+b+200=100（a+2）+10a+a+b，∴n′=100（a+b）+10a+a+2，∵3（a+b）+n′能被13整除，∴===，∴為整數(shù)，∵=，1≤a≤4，1≤a＋b≤9，a，b為正整數(shù)，∴，∴，∴，∴，當(dāng)a=1時(shí)，b=12，不符合1≤a＋b≤9；當(dāng)a=2時(shí)，b=9，不符合1≤a＋b≤9；當(dāng)a=3時(shí)，b=6，符合1≤a＋b≤9，此時(shí)n=111a+b+200=539，則P（n）=953359=594；當(dāng)a=4時(shí)，b=3，符合1≤a＋b≤9，此時(shí)n=111a+b+200=647，則P（n）=764467=297；綜上：P（n）的最大值為594．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義運(yùn)算，能夠通過題意，利用代數(shù)式將P（n）進(jìn)行正確的表示是解題的關(guān)鍵．21．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）概念學(xué)習(xí)規(guī)定：求若干個(gè)相同的實(shí)數(shù)（均不為0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，類比實(shí)數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”，一般地，把個(gè)相除記作，讀作“的圈次方”初步探究計(jì)算：（1）；（2）．深入思考我們知道，實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，實(shí)數(shù)的除方也可以按照下面的方法轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算．例如：．參考上面的方法，完成下列各題：（3）計(jì)算：，；（4）已知：，求的值．【答案】（1）；（2）；（3），2；（4）【分析】（1）根據(jù)題目中的定義得道原式=，按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得到原式=，按照有理數(shù)除法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)深入思考部分要求，對(duì)原式進(jìn)行變形，然后按照乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)題意得到除方規(guī)律為，將改寫，然后根據(jù)同底數(shù)冪的性質(zhì)求解即可．【詳解】初步探究：（1）；故答案為；（2）；故答案為；深入思考：（3）故答案為；2．（4）由已知得，，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方運(yùn)算，和冪的乘方，屬于新定義題型，本類題目應(yīng)仔細(xì)閱讀題干，掌握新的運(yùn)算法則，嚴(yán)格按照題目要求進(jìn)行求解即可求解．22．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a,我們規(guī)定用{}表示不小于的最小整數(shù)，稱{a}為a的根整數(shù).如{}=4.(1)計(jì)算{}=？(2)若{m}=2,寫出滿足題意的m的整數(shù)值；(3)現(xiàn)對(duì)a進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為2為止．例如對(duì)12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一次{}=4,再進(jìn)行第二次求根整數(shù){}=2,表示對(duì)12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2.對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，次后結(jié)果為2.【答案】(1)3；(2)2，3，4(3)3【分析】（1）先計(jì)算出的大小，再根據(jù)新定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義可知1＜≤2，可得滿足題意的m的整數(shù)值；（3）根據(jù)定義對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為2.【詳解】解：（1）根據(jù)新定義可得，{}=3，故答案為3；（2）∵{m}