5.1 角的概念的推廣及其度量 教案（表格式2課時(shí)）

第五章三角函數(shù)5.1.1角的概念的推廣【教學(xué)目標(biāo)】1．理解正角、負(fù)角、終邊相同的角、第幾象限的角等概念，掌握角的加減運(yùn)算．2．通過觀察實(shí)例，使學(xué)生認(rèn)識(shí)角的概念推廣的可能性和必要性，樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，并由此深刻理解任意角的概念．3．通過教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．【教學(xué)重點(diǎn)】理解任意角（正角、負(fù)角、零角）、終邊相同的角、第幾象限的角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法．【教學(xué)難點(diǎn)】任意角和終邊相同的角的概念．【教學(xué)方法】本節(jié)采用教師引導(dǎo)下的討論法，結(jié)合多媒體課件，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)舊概念的不足之處，進(jìn)而探索新的概念．講課過程中，緊扣“旋轉(zhuǎn)”兩個(gè)字，讓學(xué)生在動(dòng)手畫圖的過程中深刻理解任意角的概念．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的角的定義．2．提出新問題：運(yùn)動(dòng)員擲鏈球時(shí)，旋轉(zhuǎn)方向可以是逆時(shí)針也可以是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)量也不止一個(gè)平角，那如何來(lái)度量角的大小呢？師：初中學(xué)過的角的定義是什么？生：在平面內(nèi)，角可以看作一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形．B師：如圖：∠AOB=∠BOA=120，BOAOA初中時(shí)的角不考慮旋轉(zhuǎn)方向，只考慮旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量而且角的范圍在0~360°．復(fù)習(xí)舊知，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)舊知識(shí)的局限性，激發(fā)學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣．新課新課新課1．任意角的概念．（1）射線的旋轉(zhuǎn)方向：逆時(shí)針方向——正角；順時(shí)針方向——負(fù)角；沒有旋轉(zhuǎn)——零角．畫圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量．旋轉(zhuǎn)生成的角，又常稱為轉(zhuǎn)角．例如，∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．120°120°AOB－120°（2）射線的旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)量可以超過一個(gè)周角，形成任意大小的角.角的度數(shù)表示旋轉(zhuǎn)量的大?。?50°，－630°．2．角的加減運(yùn)算．90°－30°＝90°＋（－30°）BAooBAoo60°90°C30°各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和．3．終邊相同的角．所有與α終邊相同的角構(gòu)成的集合可記為S＝{xx＝α＋k·360°，kZ}．例1（1）寫出與下列各角終邊相同的角的集合．(1)45°；(2)135°；(3)240°；(4)330°．解略．4．第幾象限的角．在直角坐標(biāo)系中討論角時(shí)，通常使角的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合.這樣角的大小和方向可確定終邊在坐標(biāo)系中的位置.這樣放置的角，我們說(shuō)它在坐標(biāo)系中處于標(biāo)準(zhǔn)位置．處于標(biāo)準(zhǔn)位置的角的終邊落在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角．如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．例1（2）指出下列各角分別是第幾象限的角．(1)45°；(2)135°；(3)240°；(4)330°．例2寫出終邊在y軸上的角的集合．解終邊在y軸正半軸上的一個(gè)角為90°，終邊在y軸負(fù)半軸上的一個(gè)角為－90°，因此，終邊在y軸正半軸和負(fù)半軸上的角的集合分別是S1＝{αα＝90°＋k·360°，kZ}S2＝{αα＝－90°＋k·360°，kZ}所以終邊在y軸上的角的集合為S1∪S2＝{αα＝90°＋k·360°，kZ}∪{αα＝－90°＋k·360°，kZ}＝{αα＝90°＋k·180°，kZ}．模仿練習(xí)：寫出終邊在x軸上的角的集合．例3在0～360°之間，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判定各是第幾象限的角？（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．例4寫出第一象限的角的集合．解在0～360°之間，第一象限的角的取值范圍是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是{αk·360°＜α＜90°＋k·360°，kZ}．教師畫圖說(shuō)明正角，負(fù)角，零角，以及角的始邊、終邊.教師小結(jié)：由旋轉(zhuǎn)方向的不同定義正負(fù)角，由旋轉(zhuǎn)量的不同得到任意范圍內(nèi)的角．1．教師畫圖，學(xué)生說(shuō)角的度數(shù)．2．學(xué)生練習(xí)：畫出下列各角：（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．學(xué)生練習(xí)：求和并作圖表示：30°＋45°，60°－180°．師：觀察我們剛畫過的角，（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．思考：始邊、終邊相同的兩個(gè)角的度數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生討論后回答：終邊相同的兩個(gè)角的度數(shù)相差360°的整數(shù)倍．師：與30°始邊、終邊都相同的角有哪些？有多少個(gè)？它們能不能統(tǒng)一用一個(gè)集合來(lái)表示？得出結(jié)論．例1（1）由學(xué)生口答，教師給出規(guī)范的書寫格式．例1（2）學(xué)生口答．講解例2時(shí)，教師結(jié)合教材圖示的平面直角坐標(biāo)系，帶領(lǐng)學(xué)生分析題意．師：角的終邊落在y軸上包含哪兩種情況？生：終邊落在y軸正半軸上或者落在y軸負(fù)半軸上．師：90°的角終邊落在y軸的正半軸上嗎？與它終邊相同的角的集合是什么？－90°的角終邊落在y軸的負(fù)半軸上嗎？與它終邊相同的角的集合是什么？這兩個(gè)集合的并集怎么求？例3引導(dǎo)學(xué)生畫圖解決，或者用計(jì)算器解答．教師結(jié)合平面直角坐標(biāo)系講解例4．學(xué)生分組練習(xí)：（1）寫出第二象限角的集合；（2）寫出第三象限角的集合；（3）寫出第四象限角的集合．可增加判斷題：使學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分0～90°的角，銳角，小于90°的角，第一象限角．學(xué)生通過自己練習(xí)畫圖，深刻體會(huì)“旋轉(zhuǎn)”兩個(gè)字的含義，加深對(duì)任意角的概念的理解．學(xué)生自己動(dòng)手畫圖求和，加深對(duì)旋轉(zhuǎn)變化的理解．將例1分解為兩個(gè)小題，邊講邊練，小步子，低臺(tái)階，學(xué)生容易消化吸收．例2難度較大，教師應(yīng)詳細(xì)講解兩個(gè)集合如何求并集．本模仿練習(xí)意在滲透B組練習(xí)的解題思路．小結(jié)1．任意角的概念．2．角的加減運(yùn)算．3．終邊相同的角的集合．4．象限角的概念．教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)圖．本節(jié)課概念眾多，通過梳理脈絡(luò)，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)．作業(yè)教材P127，練習(xí)A組第3、4題；練習(xí)B組第1、3題．鞏固拓展．

5.1.2弧度制【教學(xué)目標(biāo)】1.理解弧度制的概念以及弧長(zhǎng)公式，掌握角度制與弧度制的換算．2.理解角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．3.通過教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化與辯證統(tǒng)一的思想．【教學(xué)重點(diǎn)】理解弧度制的概念，掌握弧度制與角度制的換算．【教學(xué)難點(diǎn)】理解弧度制的概念．【教學(xué)方法】本節(jié)課采用類比教學(xué)法，在復(fù)習(xí)角度制的基礎(chǔ)上引入弧度制，深入探究它們之間的換算方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)它們之間相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的關(guān)系.通過弧度制與角度制的比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到弧度制的優(yōu)越性，逐步適應(yīng)用弧度制度量角．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)初中學(xué)過的角度制．師：初中學(xué)過角度制，1度角是怎么定義的？生：把一圓周360等分，則其中一份所對(duì)的圓心角是1度角．且1°＝60′，1′＝60″．師：在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中我們還經(jīng)常用到另一種度量角的單位制——弧度制．復(fù)習(xí)角度制．新課新課新課1.弧度制的度量單位——1弧度的角．(1)弧長(zhǎng)與半徑的比值EQ\F(l,r)等于一個(gè)常數(shù)，只與的大小有關(guān)，與半徑長(zhǎng)無(wú)關(guān)．ll'lOr'r（2）定義：等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；弧度記作rad．2．角度制與弧度制的換算公式．周角＝360°＝EQ\F(2πr,r)＝2πrad，即360°＝2πrad．平角＝180°＝πrad，即180°＝πrad．1°＝EQ\F(π,180)rad≈0.01745rad，1rad＝(EQ\F(180,π))≈57.30°＝5718．由此得到n°與rad的換算公式：＝EQ\F(nπ,180)或者n°＝·（EQ\F(180,π)）°特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)的互化，見教材P130對(duì)應(yīng)值表．例1把6730化成弧度．解6730＝（EQ\F(135,2)），6730＝EQ\F(π,180)rad×EQ\F(135,2)＝EQ\F(3π,8)rad．練習(xí)1教材P131，練習(xí)A組第2題．例2把EQ\F(3π,5)rad化成度．解EQ\F(3π,5)rad＝（EQ\F(180,π)）×EQ\F(3π,5)＝108°．練習(xí)2教材P131，練習(xí)A組第3、4題．例3使用函數(shù)型計(jì)算器，把下列度數(shù)化為弧度數(shù)或把弧度數(shù)化為度數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后4位數(shù)）：（1）67°，168°，－86°；（2）1.2rad，5.2rad．解略．由于角有正負(fù)，我們規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.這種用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制.無(wú)論是用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.3．弧長(zhǎng)公式．由弧度的定義，我們知道弧長(zhǎng)l與半徑r的比值等于所對(duì)圓心角α的弧度數(shù)(正值),即α＝EQ\F(l,r)，得到l＝α·r．這是弧度制下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式.例4如圖，EQ\O(⌒,AB)所對(duì)的圓心角為60°，半徑為5cm，求EQ\O(⌒,AB)的長(zhǎng)l(精確到0.1cm)．B6060OA解因?yàn)?0°＝EQ\F(π,3)，所以l＝αr＝EQ\F(π,3)×5≈5.2.即EQ\O(⌒,AB)的長(zhǎng)約為5.2cm.教師引導(dǎo)學(xué)生考察圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系：如圖，兩個(gè)大小不同的同心圓中圓心角為，設(shè)=n°，則l＝nEQ\F(2πr,360)，l'＝nEQ\F(2πr',360)，由此，EQ\F(l,r)＝EQ\F(l',r')＝nEQ\F(2π,360)．所以，對(duì)于任何一個(gè)圓心角，所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值是一個(gè)僅與角的大小有關(guān)的常數(shù)．這就啟示我們可以用圓的半徑作單位去度量弧，從而得到一種新的度量角的制度——弧度制．師舉例：若所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝2r，那么圓心角的弧度數(shù)就是2rad；若所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝3r，那么圓心角的弧度數(shù)是多少？生：3rad．若所對(duì)的弧長(zhǎng)就是l，那么圓心角的弧度數(shù)是多少？生：EQ\F(l,r)rad．師：圓的周長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是多少弧度？生：圓的周長(zhǎng)l＝2πr，周角＝360°＝EQ\F(2πr,r)＝2πrad，即360°＝2πrad．師：180°等于多少弧度？90°呢？60°，45°，30°呢？得到特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的換算．利用教材P130的對(duì)應(yīng)值表或者數(shù)軸來(lái)記憶特殊角的弧度數(shù)．例1和例2可由學(xué)生自己完成，教師只指導(dǎo)書寫格式．相應(yīng)的練習(xí)題的練習(xí)方式：（1）教師說(shuō)出特殊角的角度，學(xué)生說(shuō)弧度；（2）教師說(shuō)出特殊角的弧度數(shù)，學(xué)生說(shuō)角度數(shù)．通過說(shuō)明同心圓中弧長(zhǎng)與半徑的比值是一個(gè)僅與圓心角α的大小有關(guān)的常數(shù)，引入1弧度