2025屆河南省洛陽市偃師高中高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆河南省洛陽市偃師高中高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列說法正確的個數(shù)有（）（?。┟}“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個 B.2個C.3個 D.4個2．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.3．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.24．橢圓C：的焦點為，，點P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.245．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.6．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C.3 D.48．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（）A. B.2C. D.39．經(jīng)過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－311．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點，、分別為橢圓的上、下頂點，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.12．在長方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若是直線外一點，為線段的中點，，，則______14．已知拋物線C：，經(jīng)過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則______15．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點，則|的最小值是_________16．某校周五的課程表設(shè)計中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)、下午4節(jié)），分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物、政治、歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.18．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，點在橢圓上，過的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）記函數(shù)，當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在兩個不同的零點，證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）.20．（12分）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機抽取了一個容量為200的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機器一個月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達(dá)到9000元，則需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.21．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)特征可判斷（?。áぃ┑恼`，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據(jù)判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（ⅰ）錯誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當(dāng)時，，故有實根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯誤.故選：B2、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A,C.當(dāng)時，，排除選項D，故選：B3、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A4、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出，再判斷形狀計算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長半軸長，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D5、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為圓關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C.6、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因為，，所以，即，從而.故選：A.7、C【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再由，可求出的關(guān)系式，然后求【詳解】由，得，因為，所以，所以，故選：C8、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值.故選：D.【點睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問題的關(guān)鍵.9、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】根據(jù)已知條件，利用等比數(shù)列的基本量列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故可得；解得.故選：C.11、A【解析】設(shè)出點，的坐標(biāo)，并表示出兩個斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A12、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據(jù)長方體的對稱性可得體對角線過中心點，取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，求得的值，即可求解.【詳解】因為為線段的中點，所以，所以，又因為，所以，所以故答案為：.14、9【解析】過A、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，如圖，過點A作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.15、##【解析】由拋物線的定義可得，所以的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線y2＝2x焦點，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義可得，所以,因為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且在線段上時，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：16、2400種【解析】分三步，第一步：根據(jù)題意從第一個位置和最后一個位置選一個位置安排生物，第二步：將數(shù)學(xué)和英語捆綁排列，第三步：將剩下的5節(jié)課全排列，最后利用分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】分步排列，第一步：因為由題意知生物只能出現(xiàn)在第一節(jié)或最后一節(jié)，所以從第一個位置和最后一個位置選一個位置安排生物，有（種）編排方法；第二步：因為數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰，注意數(shù)學(xué)和英語之間還有一個排列，所以有（種）編排方法；第三步：剩下的5節(jié)課安排5科課程，有（種）編排方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有（種）編排方法故答案為：2400種三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時，直線，聯(lián)立，解得，即交點坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.18、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的離心率、點在橢圓上以及得到的方程組，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和三角形的面積公式得到三角形的面積，再利用基本不等式求其最值.【小問1詳解】解：由題可得，且，將點代入橢圓方程，得，解得，，即橢圓方程為；【小問2詳解】解：由（1）可得，，設(shè)：，聯(lián)立，消去，得，設(shè)，，則，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的面積的最大值為.19、（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，然后對導(dǎo)數(shù)化簡整理后再解不等式即可得單調(diào)性；（2）要證明，通過求函數(shù)的極值可證明，要證，根據(jù)有兩個不同的零點，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再通過換元從求函數(shù)的最值上證明.【小問1詳解】因為，所以，令，得或.所以時，或；時，.所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因為，所以.當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞減，此時不可能存在兩個不同的零點，不符合題意.當(dāng)時，.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時，，時，.所以要使存在兩個不同的零點，則，即，解得.因為存在兩個不同的零點，則，即.不妨設(shè)，則，則，要證，即證，即證，即，.即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以成立.綜上有.【關(guān)鍵點點睛】解決本題的第（1）問的關(guān)鍵是對導(dǎo)函數(shù)的分子因式分解；解決第（2）問的關(guān)鍵一是分步證明，二是研究函數(shù)的單調(diào)性，三是轉(zhuǎn)化思想的運用，四是換元思想的運用.20、（1）件；（2）需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.【解析】（1）根據(jù)評論分布直方圖面積之和為1列等式計算得，用200乘以內(nèi)頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計算等品件，不合格品有件，進(jìn)而得合格品有件，根據(jù)題意計算其利潤與9000比較判定需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.【詳解】解：（1）因為，解得，所以200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（件）.（2）由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有件，這批產(chǎn)品中不合格品有件，這批產(chǎn)品中合格品有件，元.所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個月所獲得的利潤為8960元，因為，所以需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.【點睛】頻率分布直方圖中的常見結(jié)論（1）眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)；（2）平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和；（3）中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.21、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及商的導(dǎo)數(shù)公式即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域為，；【小問2詳解】解：當(dāng)時，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對，都有成立，即，即，令，，則，對于函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)時，，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域為，因為存在，使成立，所以，，所以，綜上，【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的四則運算，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了計算能力及數(shù)據(jù)分析能力，對不等式恒成立合理變形轉(zhuǎn)化為求最值是解題關(guān)鍵.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2