高考沖刺：解答題的解題策略鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

_X2

1.（2015河南1角考）在直角坐標(biāo)系xo），中，曲線C:y=一與直線/:丁=辰+。（。＞0）交于

4

M,N兩點(diǎn)。

（I）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程.

（H）y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)上變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=NOPN?說(shuō)明理由。

2.（2015湖北高考）一種作圖工具如圖1所示.0是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿0N可繞0轉(zhuǎn)動(dòng)，

長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處錢(qián)鏈與0N連接，施V上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)

栓子D在滑槽4?內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí);帶動(dòng)N繞0轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆

尖畫(huà)出的曲線記為C.以0為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

（I）求曲線C的方程；

2

（II）設(shè)動(dòng)直線1與兩定直線L:x—2y=0和12：x+y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線1總

與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：AORQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該

最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

—33—XX71

3.已知向量a=（cos—x,sin—x）,/?=（cos—sin—）,fixe[0,-1.

22222

⑴求。，石及|Q+B|；

（2）若/（。）=￡%—24|￡+：|的最小值是一士,求一的值.

2

22

4.已知A為橢圓二+々=1（。＞匕＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)R、F2,

orb

當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有l(wèi)AFj:；AR|=3：1,如圖.

（1）求該橢圓的離心率；

（2）設(shè)麗=41反而=4卷，試判斷4+4是否為定值？若是定值，求出該

定值并證明；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.已知有窮數(shù)列A：卬生，…,可，(〃22).若數(shù)列4中各項(xiàng)都是集合｛劃一1<%<1｝的

元素，則稱(chēng)該數(shù)列為「數(shù)列.對(duì)于「數(shù)列A,定義如下操作過(guò)程T：從A中任取兩項(xiàng)q,力,

a.+a.

將二一心的值添在A的最后，然后刪除q,4,這樣得到一個(gè)〃—1項(xiàng)的新數(shù)■列4(約定:

1+。臼

一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列).若4還是「數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過(guò)程T,得到的新數(shù)列記作人2,

……，如此經(jīng)過(guò)％次操作后得到的新數(shù)列記作4.

(I)設(shè)A：O,LL請(qǐng)寫(xiě)出人的所有可能的結(jié)果；

23

(II)求證：對(duì)于一個(gè)“項(xiàng)的「數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行〃—1次；

(III)設(shè)4:一3,-，，一，,一'*」,!」」」.求4的可能結(jié)果，并說(shuō)明理由.

7654623456

2x1

—%-，工0~

6.已知A(須，％),B(X2,%)是函數(shù)/(x)=『—2尤2的圖象上的任意兩點(diǎn)(可以

卜Lx=3

1______

重合)，點(diǎn)M在直線x=—上，且AM=M8.

2

(I)求王+工2的值及％+%的值

(ID已知S1=0,當(dāng)侖2時(shí),S=/(-)+/(-)+/(-)+..-+/(-),求S“；

nnnnn

(III)在(H)的條件下，設(shè)a“=2S”，7；為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c、

T-c1

m,使得不等式〈一成立,求c和m的值.

2

7.(2015北京高考)已知函數(shù)〃x)=ln—.

(I)求曲線y=〃x)在點(diǎn)(O,/(O))處的切線方程；

(II)求證：當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/(x)>2x+方］；

(III)設(shè)實(shí)數(shù)k使得/(力>%口+9］對(duì)x?0,I)恒成立，求女的最大值.

【參考答案與解析】

1?【解析】（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為±2&,進(jìn)一步可得所求的切線方程為

y=±y[ax-a.

（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,-a）,證明如下.

設(shè)〃m,—,N〃，幺.聯(lián)立直線與拋物線方程為

<41\41

4履一4。二0

于是m+n=4k9mn=-4a.

----（一a）

此時(shí)直線的斜率為/-------=-+

m-04m

同理直線ON的斜率為-+

4n

這兩條直線的斜率之和為竺W+幽士區(qū)=0,

4mn

因此直線OM與直線ON關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，也就有/OPM=NOPM且與k的取值無(wú)關(guān).

2.【解析】

(I)設(shè)點(diǎn)D(t,0)(|t|W2),N(xo,yo),M(x,y),依題意,

MD=2DN,且|兩|=|礪j=l,

所以（t—x,—y）=2（x0—t,y。），且產(chǎn)。一"+%=1,

石+y；=L

即y-X=2%-2f,且t（t-2xo）=O.

ly=-2y0.

由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，所以t不恒等于0,

22

于是t=2x。,故與=今％=_（代入片+。=1,可得、+卷=1,

即所求的曲線C的方程為片+其=1.

164

（II）（1）當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線1為x=4或x=-4,都有SM>e=；x4x4=8.

（2）當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/:y=fcv+/n（4二±工），

由1}kx+m,消去丫，可得(i+4k")x'+8kmx+4m‘-16=0.

lx2+4/=16,

因?yàn)橹本€1總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以A=64k2m2-4(1+41)(媼-16)=0,HPm2=16k2+4.①

又由1丫=履+肛可得且“_同理可得Q(二犯，上).

[x-2y=O,'1-2左{-Ik\+2k\+1k

由原點(diǎn)0到直線PQ的距離為d=/㈣=和|PQ\=V17F|與-x0|,可得

y/1+k2

2

c1?DCI/1?II.1..2m2m2m

^e=-|P0l-</=-l-llx,-xe|=-.|W|i-^+T-^=i-7F.

2/n24/+1

將①代入②得,=8—；—

]-4k24k2

2

當(dāng)爐>1時(shí)，S&0PQ=8產(chǎn),+1)=8(1+)>8；

4MPQ4A:2-14AI’

2

當(dāng)0M/<1時(shí)，SMP0=8(^--S=8(-1+--).

4A，。l-4k2l-4k2

0O<jl2<-.則0<1—41<2?1,一\22，所以鼠0即=8(-1+—J)28，

41-4GA0PG\-4k2

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào).

所以當(dāng)k=0時(shí)，SMW的最小值為8.

3.【解析】

—3x3x

(1)ab=cos-x?cos——sin-x-sin—=cos2x.

2222

|Q+B|=J(cosgx+cos*1)2+(sin-|x-sin^)2

=j2+2cos2x=2vcos2x

?！?—?

*.*xe[0,y],/.cosx>0,\a+b\=2cosx.

(2)/(x)=cos2x-42cosx,BPf(x)=2(cosx-2)2-1-222

TC

*/XG[0,y],/.0<COSX<1,

①當(dāng)見(jiàn)<0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí)，/(x)取得最小值-1,這與已知矛盾.

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=2時(shí)，/(X)取得最小值—1—2/12,

31

由已知得—1—2/12=——，解得4=—；

22

③當(dāng);1>1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=l時(shí)，/(幻取得最小值1—4/1,

35

由已知得1—44=一一，解得4=這與；1>1相矛盾.

28

綜上所述，/l=L即為所求.

2

4.【解析】

,2

(1)當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，|4工|=2，

a

又：|AF|：|AF2|=3:1,

：.\AFt|=—,從而|46|+|4月|=竺-=2”，

aa

：.a=2b2,：.a=2c,：,e=-=—.

a2

(2)由(1)得橢圓的方程為六+2丫2=21/,焦點(diǎn)坐標(biāo)為K(—b,0),F2(b,0).

①當(dāng)AC、AB的斜率都存在時(shí),設(shè)A(xo,yo),B(xi,yi),C(x2,y2),

則AC所在的直線方程為y=~-(x—勿，

x0~b

y-———(x—b)

由；xd得(x；+2y；-2法o+/)y2+2〃％(Xo-/?)y-/y；=O.

x2+2y2=2b2

又A(xo,y0)在橢圓—+2/=21?2上，x；+2y；=2/,

則有(3/-2bx°)y1+2。％Go-加y-6y；=0.

?-%必2

3h-2bxQ

...y2rb,

.%3b-2x0'

故人=?4與?_%_3b-2x()

-~\F2C\~-y2~b

同理可得4=------"，???4+人=6；

b

②若ACJ_x軸，則4=1,4=3"2"=5,這時(shí)4+4=6；

③若AB_Lx軸，則4=1,4=5,這時(shí)4+4>=6.

綜上可知4+4是定值6.

5.【解析】(I)4有如下的三種可能結(jié)果：

(II)Va,be{x\-l<x<l}9有

a+b-(?-1)(/?—1)a+h(Q+1)(〃+1)

----------1=------------------<(nJ且n--------(―1)=---------------->0.

\-\rabT+ab1+ab1+ab

所以上心.e{x|-l<x<l},即每次操作后新數(shù)列仍是r數(shù)列.

\+ab

又由于每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)，所以對(duì)「數(shù)列A每操作一次，項(xiàng)數(shù)就減少

一項(xiàng)，所以對(duì)"項(xiàng)的「數(shù)列4可進(jìn)行〃一1次操作(最后只剩下一項(xiàng))

(III)由(II)可知A,中僅有一項(xiàng).

對(duì)于滿足a,。e{幻—1<x<1)的實(shí)數(shù)定義運(yùn)算:

。?下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律。

1+ab

nd7a+b門(mén),h+a

因?yàn)椤?匕=-----，且匕?a=--------，

1+a/71+儀？

所以=a?/?,

即該運(yùn)算滿足交換律；

h+c

因?yàn)閍?3?c)=a?*="收="+〃+，+"，

1+bc[?b+c1+ab+be+ca

]+Q------

1+hc

a+b

.---------FCjj

c/,、a+bi_i_ZAa+b+c+abc

且（a~力）?c------------c=-Z——=-------------------

l+ab,,a+b1+ab+bc+ca

Id----------c

l+ab

所以a?S~c)=(a?。)?c,即該運(yùn)算滿足結(jié)合律.

選擇如下操作過(guò)程求4：

人，，、…115

由（I）可知-----=-；

237

55n11c11n11n

77445566

所以A：工,0,0,0,0：

6

易知人經(jīng)過(guò)4次操作后剩下一項(xiàng)為之.

6

綜上可知：A)：-

6

6.【解析】(I)?.?點(diǎn)M在直線x=；上，設(shè)Md,%)?又AM=MEi,

----1一1

即AM=(萬(wàn)—石，y"—%),MB=(x2--,y2-yM),

/.再+工2二L

+=x

①當(dāng)王=g時(shí)，x2=y,yiy2f(i)+/(^2)=-1-1=-2；

②當(dāng)事力：時(shí)，x2*p

2X2_2M(1—2X2)+2X2(1-2%)

1—2,x2(1—2Mxi—2X9)

2(x,+x2)-8XjX2_2(1-4X,X2)

二-------------------------------------------二-------------------------二—2

1-2(3+/)+4X|X24XJ%2-1

綜合①②得，y+%=-2.

(II)由(I)知，當(dāng)再+%2=1時(shí),%+%=-2?

kvj—k

???/(-)+/(——)=-2，k=1,2,3,…，〃一L

nn

n22時(shí)，S=/(-)V(-)+/(-)+-+/(-)，①

nnnnn

S“=/(-)+/(-)+./-(-)+???+/(-)，②

nnnn

①+②得，2Sj-2(n-l),則S〃=l-n.

n=l時(shí),Sj=O滿足Sw=l-n.Sfl=l-n.

S

(III)an=2〃=2?,

T,n-c<J.02(>—c)—(Z〃+i—c)<0oC-(27；「7；J+])<0

一c22(7；n+1-C)。一

131

：.-<2——<c<2——<2,c、m為正整數(shù),/.c=l,

22m2m

2--<1

2H,

當(dāng)C=1