2024-2025學(xué)年課時(shí)作業(yè)人教A版數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)12-1

課時(shí)作業(yè)12基本不等式基礎(chǔ)強(qiáng)化1.若x>0，則x＋eq\f(4,x)－2有()A．最小值1B．最小值2C．最大值1D．最大值22．函數(shù)y＝1＋2x2＋eq\f(8,x2)的最小值是()A．7B．－7C．9D．－93．已知正數(shù)a，b滿足4a＋9b＝4，則ab的最大值為()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)4．如果x≠0，那么函數(shù)y＝4－eq\f(6,x2)－3x2有()A．最大值4－6eq\r(2)B．最小值4－6eq\r(2)C．最大值4＋6eq\r(2)D．最小值4＋6eq\r(2)5．(多選)下列命題中正確的是()A．當(dāng)x>1時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2B．當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≤－2C．當(dāng)0<x<1時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2D．當(dāng)x≥2時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))≥2eq\r(2)6．(多選)下列命題正確的是()A．若a≠0，則a2＋eq\f(4,a2)≥4B．若a<0，則a＋eq\f(4,a)≥－4C．若a>0，b>0，則a＋b≥2eq\r(ab)D．若a<0，b<0，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥27．若a，b都是正數(shù)，且ab＝1，則a＋2b的最小值是________．8．已知x>0，則eq\f(x2＋4x＋1,x)的最小值為________．9．已知a，b是實(shí)數(shù)，且ab＝1，求a2＋4b2的最小值．10．(1)已知x>0，求4x＋eq\f(1,x)的最小值；(2)已知x>0，求2－3x－eq\f(4,x)的最大值．能力提升11.下列不等式中等號(hào)可以取到的是()A．eq\r(x2＋5)＋eq\f(1,\r(x2＋5))≥2B．x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2C．x2＋eq\f(1,x2)≥2D．|x|＋3＋eq\f(1,|x|＋3)≥212．已知a是實(shí)數(shù)，則“a<－1”是“a＋eq\f(1,a)<－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件13．若非零實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(8,b)＝eq\r(2ab)，則ab的最小值為()A．4eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．214．(多選)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，ab＝4，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是()A．a(chǎn)＋b≥4B．a(chǎn)2＋b2≤8C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(2)15.已知a>0，b>0，a＋b＝1，若α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，則α＋β的最小值是________．16．若a，b>0，且ab＝a＋2b＋4.(1)求ab的最小值；(2)求a＋b的取值范圍．課時(shí)作業(yè)121．解析：∵x>0，∴x＋eq\f(4,x)－2≥2eq\r(x·\f(4,x))－2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，x＝2時(shí)取等號(hào)．因此x＋eq\f(4,x)－2的最小值為2.故選B.答案：B2．解析：函數(shù)y＝1＋2x2＋eq\f(8,x2)中x≠0，所以y＝1＋2x2＋eq\f(8,x2)≥1＋2eq\r(2x2·\f(8,x2))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝eq\f(8,x2)時(shí)，即x＝±eq\r(2)時(shí)取等號(hào)．所以函數(shù)的最小值為9.故選C.答案：C3．解析：正數(shù)a，b滿足4a＋9b＝4，由基本不等式得：4a＋9b＝4≥2eq\r(4a·9b)，解得：ab≤eq\f(1,9)，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝9b，即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,9)時(shí)，等號(hào)成立，ab的最大值為eq\f(1,9).故選A.答案：A4．解析：根據(jù)基本不等式可得eq\f(6,x2)＋3x2≥2eq\r(18)＝6eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(6,x2)＝3x2，即x2＝eq\r(2)時(shí)，取等號(hào)；所以y＝4－eq\f(6,x2)－3x2＝4－(eq\f(6,x2)＋3x2)≤4－6eq\r(2)，故x2＝eq\r(2)時(shí)，y＝4－eq\f(6,x2)－3x2有最大值4－6eq\r(2).故選A.答案：A5．解析：A中，因?yàn)閤>1，x＋eq\f(1,x)≥2不成立，當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，A錯(cuò)；B中，因?yàn)閤<0，所以－x>0，所以－x＋eq\f(1,－x)≥2，所以x＋eq\f(1,x)≤－2成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立，B正確；C中，因?yàn)?<x<1，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2成立，當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)；D中，因?yàn)閤≥2，由基本不等式可得eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))≥2eq\r(2)成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立．故選BD.答案：BD6．解析：易知C正確；對(duì)A，因?yàn)閍≠0，所以a2>0，則a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝eq\f(4,a2)?a＝±eq\r(2)時(shí)取“＝”，正確；對(duì)B，若a＝－1，則a＋eq\f(4,a)＝－5，錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)閍<0，b<0，所以eq\f(a,b)>0，eq\f(b,a)>0，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)?a＝b時(shí)取“＝”，正確．故選ACD.答案：ACD7．解析：因?yàn)閍，b都是正數(shù)，且ab＝1，所以a＋2b≥2eq\r(a·2b)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)．答案：2eq\r(2)8．解析：因?yàn)閤>0，則eq\f(x2＋4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＋4≥4＋2eq\r(x·\f(1,x))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時(shí)取等號(hào)，則eq\f(x2＋4x＋1,x)的最小值為6.答案：69．解析：a2＋4b2＝a2＋(2b)2≥2·a·(2b)＝4ab＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2),b＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2),b＝－\f(\r(2),2)))時(shí)，不等式等號(hào)成立．所以a2＋4b2的最小值為4.10．解析：(1)因?yàn)閤>0，故4x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(4x×\f(1,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．故4x＋eq\f(1,x)的最小值為4.(2)因?yàn)閤>0，故2－3x－eq\f(4,x)＝2－(3x＋eq\f(4,x))≤2－2eq\r(3x×\f(4,x))＝2－4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)取等號(hào)，故2－3x－eq\f(4,x)的最大值為2－4eq\r(3).11．解析：對(duì)于A，因?yàn)閑q\r(x2＋5)>0，所以eq\r(x2＋5)＋eq\f(1,\r(x2＋5))≥2eq\r(\r(x2＋5)·\f(1,\r(x2＋5)))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x2＋5)＝eq\f(1,\r(x2＋5))，即x2＝－4，故等號(hào)不成立，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)閤2＋2>0，所以x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2eq\r(（x2＋2）·\f(1,x2＋2))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋2＝eq\f(1,x2＋2)，即x2＝－1，故等號(hào)不成立，故B不符合；對(duì)于C，因?yàn)閤2>0，所以x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(1,x2)，即x＝±1時(shí)取等號(hào)，故C符合；對(duì)于D，因?yàn)閨x|＋3>0，所以|x|＋3＋eq\f(1,|x|＋3)≥2eq\r(（|x|＋3）·\f(1,|x|＋3))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＋3＝eq\f(1,|x|＋3)，即|x|＝－2，故等號(hào)不成立，故D不符合．故選C.答案：C12．解析：當(dāng)a＝－eq\f(1,2)時(shí)，a＋eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)－2<－2；當(dāng)a<－1時(shí)，a＋eq\f(1,a)＝－(－a＋eq\f(1,－a))≤－2eq\r(－a·\f(1,－a))＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)－a＝eq\f(1,－a)，即a＝－1時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)a<－1時(shí)，a＋eq\f(1,a)<－2成立，所以“a<－1”是“a＋eq\f(1,a)<－2”的充分不必要條件．故選A.答案：A13．解析：因?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(8,b)＝eq\r(2ab)，所以a，b>0且eq\f(1,a)＋eq\f(8,b)＝eq\r(2ab)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(8,b))，解得ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a)＝eq\f(8,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝4eq\r(2)時(shí)，等號(hào)成立．故ab的最小值為4.故選C.答案：C14．解析：A選項(xiàng)，由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確．B選項(xiàng)，a＝1，b＝4時(shí)，ab＝4，但a2＋b2＝17>8，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，由基本不等式得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(1,b))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)，a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確．D選項(xiàng)，a＝1，b＝4時(shí)，ab＝4，但eq\r(a)＋eq\r(b)＝3>2eq\r(2)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC.答案：AC15．解析：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，所以α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,ab)≥1＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))\s\up12(2))＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．答案：516．解析：(1)由題知a，b>0所以ab－4＝a＋2b≥2eq\r(2)eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，上式取“＝”，所以ab－2eq\r(2)eq\r(ab)－4≥0，所以eq\r(ab)≤eq\r(2)－eq\r(6)，或eq\r(ab)≥eq\r