2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題06數(shù)列求和(裂項(xiàng)相消法)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等差型 2題型二：無(wú)理型 4題型三：指數(shù)型 5題型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型 7三、專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）專項(xiàng)訓(xùn)練 8一、必備秘籍常見的裂項(xiàng)技巧類型一：等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）類型二：無(wú)理型=1\*GB3①如：類型三：指數(shù)型①如：類型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型如：①②本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.二、典型題型題型一：等差型1．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列；(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．3．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎獢?shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．(1)求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.題型二：無(wú)理型1．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求；(3)證明：．2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3．（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng)．(1)求的公差；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求.4．（23-24高三上·山西陽(yáng)泉·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型三：指數(shù)型1．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．2．（23-24高三下·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（23-24高三下·重慶大足·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．5．（2024·河南南陽(yáng)·一模）已知數(shù)列，若.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型1．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：是單調(diào)遞減數(shù)列．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（23-24高二下·安徽·開學(xué)考試）已知在數(shù)列中，．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．3．（23-24高二上·福建龍巖·期末）在數(shù)列中，，且分別是等差數(shù)列的第1，3項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前n項(xiàng)和.4．（23-24高二上·湖北武漢·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.三、專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（23-24高二下·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·山西臨汾·二模）已知數(shù)列滿足．(1)計(jì)算，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足(1)求證:為等比數(shù)列；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.8．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．9．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列滿足，若，，成等比數(shù)列，且．(1)求，；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，已知，，且，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等差型 2題型二：無(wú)理型 5題型三：指數(shù)型 9題型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型 13三、專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）專項(xiàng)訓(xùn)練 18一、必備秘籍常見的裂項(xiàng)技巧類型一：等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）類型二：無(wú)理型=1\*GB3①如：類型三：指數(shù)型①如：類型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型如：①②本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.二、典型題型題型一：等差型1．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，兩式相減由累乘法可求出的通項(xiàng)公式；（2）求出，由裂項(xiàng)相消法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，令得，因?yàn)椋?，兩式相減得，即．所以，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以．（2）由（1）可得，所以.2．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列；(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)出數(shù)列的公差，再由已知列出方程組，求出即可得解.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算推理即得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，，由恒成立，得數(shù)列單調(diào)遞增，因此，所以.3．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎獢?shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．(1)求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）證明為常數(shù)即可證明為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)累乘法求出，再求出，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，采用裂項(xiàng)法求其前項(xiàng)和，求單調(diào)性并求其范圍即可求出的范圍．【詳解】（1）因?yàn)?，，兩邊同時(shí)除以可得：，從而，，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則；（2）由，，所以，則，所以，所以則，因?yàn)橹械拿恳豁?xiàng)，所以為遞增數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）對(duì)遞推公式兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）根據(jù)（1）中所證求得，再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而適度放縮即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，?題型二：無(wú)理型1．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求；(3)證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）得到，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求出結(jié)果；（3）利用，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，所以①②得到，即，又，滿足，所以.（2）因?yàn)椋?（3）因?yàn)?，所以，?2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)，；(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由題意列方程求出首項(xiàng)和公差，即可求得答案；（2）不論選①、選②還是選③，都要利用（1）的結(jié)果，可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和，即得答案.【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，設(shè)公差為d，則，解得，故，；（2）若選①，則，故；若選②，則，故；若選③，則，故.3．（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng)．(1)求的公差；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求.【答案】(1)0或2(2)12或3【分析】（1）根據(jù)是和的等比中項(xiàng)列出關(guān)系式，可得或；（2）當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，可得，進(jìn)而可得；當(dāng)時(shí)，，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）由題意得，因，得，解得或．（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以．當(dāng)時(shí)，，則，所以．故或．4．（23-24高三上·山西陽(yáng)泉·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，分和兩種情況，結(jié)合與之間的關(guān)系運(yùn)算求解；（2）由（1）可得：，利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上，可得，則有：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且也符合，所以．（2）由（1）可得：，所以，所以.題型三：指數(shù)型1．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由，變形為，結(jié)合求解；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）解：由題意可得，即，則有，又，

因此是常數(shù)列，即，則；（2）設(shè)，，所以，，

故．2．（23-24高三下·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）降次作差即可得到，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到答案；（2）裂項(xiàng)求和得到，再計(jì)算出的范圍即可得到的范圍.【詳解】（1）時(shí)，，即，所以.時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由(1)得，所以.顯然是遞增數(shù)列，且，所以，即，所以，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用變形整理可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由題意知：且，兩式相減，可得，，可得，又，當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍去），所以，從而，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，可得，所以.4．（23-24高三下·重慶大足·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，成等差?shù)列，即，又為等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，則，聯(lián)立解得，則數(shù)列的公比為，即，所以，當(dāng)時(shí)，，且也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，且，則，記，則，則，因?yàn)?，所?5．（2024·河南南陽(yáng)·一模）已知數(shù)列，若.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求得，從而將恒成立不等式轉(zhuǎn)化為，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）易知，所以，所以，則恒成立，所以要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，只須，由題意可得且，則，所以，解得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型1．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：是單調(diào)遞減數(shù)列．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系依次求出，，再利用作商法可確定數(shù)列的單調(diào)性.（2）先對(duì)通項(xiàng)分母有理化，再分奇偶進(jìn)行討論求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，得．因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，則，所以，即．因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以．當(dāng)時(shí)，，也適合該式，所以．因?yàn)椋?，所以是遞減數(shù)列．（2）解：由已知得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，2．（23-24高二下·安徽·開學(xué)考試）已知在數(shù)列中，．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由題中遞推數(shù)列化簡(jiǎn)為，從而可求解.（2）由（1）結(jié)論可得，再利用裂項(xiàng)相消求和從而可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意知，所以，即，故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．又，所以，所以，即．（2），則，．3．（23-24高二上·福建龍巖·期末）在數(shù)列中，，且分別是等差數(shù)列的第1，3項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【分析】（1）由等比數(shù)列的定義、等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可得解；（2）由裂項(xiàng)法求和結(jié)合對(duì)分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，解得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由題意，若，則，若，則，所以的前n項(xiàng)和.4．（23-24高二上·湖北武漢·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系、等比數(shù)列的定義即可解答.（2）利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）由，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，整理得，即.，當(dāng)時(shí)上式也成立.數(shù)列是以首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即.（2），.5．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由題意構(gòu)造出形式即可得；（2）借助裂項(xiàng)相消法求和即可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，又，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以；（2）由（1）知，所以，所以，故.三、專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可證明數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，利用得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，化簡(jiǎn)可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，所以，故，即2．（23-24高二下·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，推得，且，得到是等比數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）方法一：由（1）求得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和，即可求解；方法二：由（1）求得，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，結(jié)合相消法求和，即可求解.【詳解】（1）解：由數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，可得，當(dāng)時(shí)，，則，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：方法一：由（1）知，可得，所以.方法二：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·山西臨汾·二模）已知數(shù)列滿足．(1)計(jì)算，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由，可得，可得，法一：可得為常數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；法二：可得，利用累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，進(jìn)而可求的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題可知，，得，由，得．由已知，可得，兩式相減得．解法一：整理得：．又滿足上式．從而對(duì)均成立．因此為常數(shù)列，即有，故．解法二：整理得：．又滿足上式．故．即．當(dāng)時(shí)符合上式，故．（2）由（1）可知．．因此=.4．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足(1)求證:為等比數(shù)列；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）變形給定等式，再利用等比數(shù)列定義判斷得解.（2）由（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】（1）數(shù)列中，，則，而，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列..（2）由（1）知，，，，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.5．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項(xiàng)求和法，求得，再證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以又，所以，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以.6．（2024·浙江·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式即可；（2）裂項(xiàng)相消法求和即可得解.【詳解】（1）由①所以當(dāng)時(shí)，②①②得：，整理得：，所以.（2）由（1）知，所以，所以.7．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)列出方程組