中考數(shù)學(xué)試卷圖形的相似與位似（含解析）

圖形的相似與位似

一、選擇題

1..（2018?棗莊?3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,AF平分/CAB,交

CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長為（）

A.3B.AC.gD.反

2335

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出NCAF+/CFA=90°,NFAD+NAED=90°,根據(jù)角平分線和對頂角相

等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)F作FG_LAB于點(diǎn)G,

VZACB=90°,CD±AB,

.*.ZCDA=90°,

AZCAF+ZCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

：AF平分/CAB,

ZCAF=ZFAD,

.,.ZCFA=ZAED=ZCEF,

.*.CE=CF,

；AF平分/CAB,NACF=/AGF=90°,

.?.FC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

.,.△BFG^ABAC,

?BF_FG

??--------，

ABAC

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABC=4,

?---4---F-C_——FG,

53

VFC=FG,

?.?4-FC一_FC,

53

解得：FC=g

~2

即CE的長2

2

為.故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的

判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是推出/CEF=/CFE.

2.(2018?濱州?3分)在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2),若以

原點(diǎn)0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的工后得到線段CD,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)

2

為()

A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合兩圖形的位似比進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：???以原點(diǎn)0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB1后得到線段CD,

2

...端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，

又,：卜(6,8),

???端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,

4).故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3(2018?江蘇揚(yáng)州?3分)如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰RtaABC和等腰RtZ\ADE,CD與

BE>AE分別交于點(diǎn)P,M.對于下列結(jié)論：

①△BAEs/\CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB?=CP?CM.其中正確的是()

【分析】(1)由等腰RtZ\ABC和等腰Rt^ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證;

(2)通過等積式倒推可知，證明△PAMsaEMD即可；

（3）2cB2轉(zhuǎn)化為AC2,證明△ACPs/XMCA,問題可證.

【解答】解：由已知：AC=&AB,AD=V2AE

???一ACiAD—

AB-AE

ZBAC=ZEAD

ZBAE=ZCAD

二△BAEs/XCAD

所以①正確

VABAE^ACAD

，ZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

/.△PME^AAMD

?MPME

.*.MP?MD=MA?ME

所以②正確

ZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

，P、E、1）、A四點(diǎn)共圓

/.ZAPD=ZEAD=90°

VZCAE=1800-ZBAC-NEAD=90°

ACAP^ACMA

.,.AC=CP<M

VAC=A/2AB

/.2CB2=CP?CM

所以③正確

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷.在等積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相

似三角形進(jìn)行證明，進(jìn)而得到答案.

4（2018?臨沂?3分）如圖.利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2m,測得

AB=1.6m.BC=12.4m.則建筑物CD的高是（）

D

□

□

□

.4Rr

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

【分析】先證明.?.△ABESZ\ACD,則利用相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出CD

1.6+12.4CD

即可.

【解答】解：???EB〃CD,

AAABE^AACD,

.AB_BEmiL6_1.2

"AC-CD'1.6+12.4-"CD''

.,.CD=10.5

(米).故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度

就是利用桿或直尺的高(長)作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對

應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

5(2018?濰坊?3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn)，以原點(diǎn)0為位似中心把

△A0B放大到原來的兩倍，則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)

C.(—m,—n)L,—n)或(-L,-—n)

222222

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn)，以原點(diǎn)0為位似中心把a(bǔ)AOB放大到原來的兩倍，

則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(mX2,nX2)或(mX(-2),nX(-2)),即(2m,2n)或(-2m,-2n),

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位

似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

6.(2018?湖南省永州市?4分)如圖，在4ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，ZADC=ZACB,AD=2,BD=6,

則邊AC的長為()

A.2B.4C.6D.8

【分析】只要證明△ADCS/SACB,可得3￡=坦，EPAC=AD?AB,由此即可解決問題；

ABAC

【解答】解：VZA=ZA,ZADC=ZACB,

.,.△ADC^AACB,

?AC=AD

"ABAC,

.,.AC2=AD?AB=2X8=16,

VAOO,

.,.AC=4,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考

題型.

7（2018?四川宜賓?3分）如圖，將4ABC沿BC邊上的中線AD平移到AA'B'C的位置，已知aABC

的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于（）

B'

A.2B.32D.

32

【考點(diǎn)】Q2：平移的性質(zhì).

【分析】由SAABC=9>SA#卜產(chǎn)4且AD為BC邊的中線知—SAA1所=2,SAABD=-^-SAABC=—>根據(jù)ADA'Esa

222

DABAU.）2=Sqy匹,據(jù)此求解可得.

加S△皿D

【解答】解：如圖，

VSA*BC=9>SAA-EF=4,且AD為BC邊的中線,

SAA'DE=_LSAA，即=2,SAABD=11_S&ABC^.,

222

?.?將AABC沿BC邊上的中線AD平移得到4A'B'C',

:.A'E〃AB,

.?.△DA'E^ADAB,

則（或必2_S—，DEA，D）2=_2.；

'ADSAABDA'D+l1

2

解得A'D=2或A'D=-2（舍），

5

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn).

8（2018?四川自貢?4分）如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若AADE的面積為4,則4

ABC的面積為（）

【分析】直接利用三角形中位線定理得出工BC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

2

【解答】解：???在AABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

，DE〃BC,DE=LBC,

2

/.△ADE^AABC,

.?.-D-E-_--1，

BC2

.SAADE1

??------—,

^AABC4

VAADE的面積為4,

.,.△ABC的面積為：16,

故選:D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的中位線以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△ADEs^ABC是解題關(guān)

鍵.

9（2018?臺灣?分）小柔要榨果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數(shù)比為9：7：6,小柔榨完

果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數(shù)比變?yōu)?：3：4,已知小柔榨果汁時沒有使用柳丁，關(guān)于她榨果汁時另外

兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？（）

A.只使用蘋果

B.只使用芭樂

C.使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數(shù)比使用的芭樂顆數(shù)多

D.使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數(shù)比使用的蘋果顆數(shù)多

【分析】根據(jù)三種水果的顆數(shù)的關(guān)系，設(shè)出三種水果的顆數(shù)，再根據(jù)榨果汁后的顆數(shù)的關(guān)系，求出榨果汁

后，蘋果和芭樂的顆數(shù)，進(jìn)而求出蘋果，芭樂的用量，即可得出結(jié)論.

【解答】解：\?蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數(shù)比為9：7：6,

；?設(shè)蘋果為9x顆，芭樂7x顆，釧釘6x顆（x是正整數(shù)），

???小柔榨果汁時沒有使用柳丁，

?,?設(shè)小柔榨完果汁后，單果a顆，芭樂b顆，

???小柔榨完果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數(shù)比變?yōu)?：3：4,

-_a___b__

??菽W菽二’

/.a=9x,b=—x,

2

蘋果的用量為9x-a=9x-9x=0,

芭樂的用量為2x="x>0,

22

她榨果汁時，只用了芭樂，

故選：B.

【點(diǎn)評】此題是推理與論證題目，主要考查了根據(jù)比例的關(guān)系，比例的性質(zhì)，求出榨汁后蘋果和芭樂的數(shù)

量是解本題的關(guān)鍵.

10（2018?臺灣?分）如圖，△ABC、AFGH中，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，F(xiàn)點(diǎn)在DE上，G、H兩點(diǎn)在

BC上，且DE〃BC,FG〃AB,FH〃AC,若BG：GH：HC=4：6：5,則aADE與AFGH的面積比為何？（）

A.2：1B.3：2C.5：2D.9：4

【分析】只要證明△ADES/SFGH,可得也迦=（DE）2,由此即可解決問題;

2AFGHGH

【解答】解：VBG：GII：HC=4：6：5,可以假設(shè)BG=4k,GH=6k,HC=5k,

VDEZ/BC,FG//AB,FH〃AC,

四邊形BGFD是平行四邊形，四邊形EFHC是平行四邊形，

ADF=BG=4k,EF=HC=5k,DE=DF+EF=9k,ZFGH=ZB=ZADE,ZFI1G=ZC=ZAED,

AAADE^AFGH,

S

.AADEDE>2=（9k）2=_9故

S/kFGHGH6k4

選：D.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參

數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

11.（2018?湖北荊門?3分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點(diǎn)，連接AF、BE

交于點(diǎn)G,則SaEFG：SAABG=（）

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問題;

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；?CD=AB,CD//AB,

VDE=EF=FC,

AEF：AB=1：3,

/.△EFG^ABAG,

.SAEFG（至）2=

^ABAG皿

1,故選：C.

9

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問

題，屬于中考?？碱}型.

12.（2018?湖北恩施?3分）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長交BC邊的延長

線于E點(diǎn)，對角線BD交AG于F點(diǎn).已知FG=2,則線段AE的長度為（）

AB〃CD,進(jìn)而可得出△ABFSAGDF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出

AF=AB=2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度，由CG〃AB、AB=2CG可得出CG為AEAB的中位線，再利

GFGD

用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解.

【解答】解：；四邊形ABCD為正方形，

，AB=CD,AB〃CD,

/.ZABF=ZGDF,/BAF=NDGF,

.?.△ABFS/XGDF,

.AF_AB_9

GFGD

AAF=2GF=4,

???AG=6.

VCG//AB,AB=2CG,

???CG為4EAB的中位線,

AAE=2AG=12.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的中位線，利用相似三角形的性

質(zhì)求出AF的長度是解題的關(guān)鍵.

13.（2018?浙江臨安?3分）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與4ABC

相似的是（)

B

AC

【考點(diǎn)】相似三角形的判定，

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出/ACB,根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可.

【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，ZACB=180°-45°=135°,

A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=V2-AC=2,

對應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1如,

..1_V2

?孤丁’

...圖B中的三角形（陰影部分）與AABC相似，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是

解題的關(guān)鍵.

14（2018?浙江臨安?3分）如圖，在AABC中，DE〃BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,

DB=2,則DE：BC的值為（）

A.ZB.kC.芭D.3

3245

【考點(diǎn)】相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)

【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三

角形的對應(yīng)邊成比例解則可.

【解答】解：：DE〃BC,

AAADE^AABC,

DE_AD=AD=4=2.

BC^ABAD+DBW飛

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊不要搞錯.

15（2018?重慶（A）-4分）要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為5CM,6cm

和9。加，另一個三角形的最短邊長為2.5c〃z,則它的最長邊為

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)

【解析】利用相似三角形三邊對應(yīng)成比例解出即可。

【解答】解：設(shè)所求最長邊為xcm1?兩三角形相似，.?.至=：.=x=4.5故選C

59

【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的性質(zhì)一一相似三角形的三邊對應(yīng)成比例，該題屬于中考當(dāng)中的基

礎(chǔ)題。

16（2018?廣東?3分）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則與AABC的面積之比為（）

A.2B.2C.工D.工

2346

【分析】由點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，可得出DE為AABC的中位線，進(jìn)而可得出DE〃BC及aADEs

△ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出aADE與AABC的面積之比.

【解答】解：???點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，

...DE為4ABC的中位線，

.\DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.SAADE_（DE）2_

S/kABCBC

—.故選：C.

4

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理，利用三角形的中位線定理找出DE〃

BC是解題的關(guān)鍵.

17.（2018年四川省內(nèi)江市）已知△ABC與△ABG相似，且相似比為1：3,則AABC與△ABC的面積比為

()

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì).

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方，求出即可.

【解答】解：已知aABC與△ABG相似，且相似比為1：3,

則AABC與△ABG的面積比為1：9,

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題

1（2018年四川省南充市）如圖，在4叔中，DE〃BC,BF平分/ABC,交DE的延長線于點(diǎn)F.若AD=1,BD=2,

【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由DE〃BC可得出△ADEsaABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：；DE〃BC,

：.ZF=ZFBC,

；BF平分NABC,

.?.NDBF=/FBC,

.?.NF=NDBF,

，DB=DF,

?；DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

4

...仙=DEEp解得：DE=g,

AD+DBBC1+24

VDF=DB=2,

499

；.EF=DF-DE=2-￡4，故答案為：《

333

【點(diǎn)評】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由DE〃BC可得出△ADEsaABC.

2（2018四川省綿陽市）如圖，在aABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC邊上的中線BE,AD垂直相交于點(diǎn)0,則

AB=.

【考點(diǎn)】勾股定理，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接DE,

VAD.BE為三角形中線,

1

；.DE〃AB,DE=2AB,

/.△DOE^-AAOB,

DOOEDE1

OA=OB=AB=2,

設(shè)0D=x,OE=y,

/.0A=2x,0B=2y,

在RtABOD中，

x2+4y2=4①，

在RtAAOE中，

9

4x2+y2=4②，

.?.①+②得：

25

5x2+5y2=4,

5

：.x2+y2=4,在

RtAAOB中，

5

.*.AB2=4x2+4y=4(x2+y2)=4X4,

即AB=V）.

故答案為：S

1

【分析】連接DE,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得DE〃AB,DE=2AB,從而得△DOEsaAOB,根據(jù)相似三角形的

DOOEDE1

性質(zhì)可得=OB-AB=2；設(shè)OD=x,OE=y,從而可知OA=2x,OB=2y,根據(jù)勾股定理可得x2+4y2=4,

9.51-

4x2+y2=4,兩式相加可得x?+y2=4,在Rtz^AOB中，由股股定理可得AB=V5.

3（2018?廣東廣州?3分）如圖9,CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)0,CE與DA的

延長線交于點(diǎn)E,連接AC,BE,DO,DO與AC交于點(diǎn)F,則下列結(jié)論:

①四邊形ACBE是菱形；②/ACD=/BAE

@AF：BE=2：3④S彌：S^cOD=2'3

其中正確的結(jié)論有。（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②④

【考點(diǎn)】三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)

【解析］【解答】解：①TCE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，...AOBO,NA0E=NB0C=90°,BC〃

AE,AE=BE,CA=CB,

ZOAE=ZOBC,

/.△AOE^ABOC（ASA）,

AAE=BC,

.,.AE=BE=CA=CB,

二四邊形ACBE是菱形，

故①正確.

②由①四邊形ACBE是菱形，

AAB平分/CAE,

，ZCAO=ZBAE,

又；四邊形ABCD是平行四邊形，

，BA〃CD,

，ZCAO=ZACD,

ZACD=ZBAE.

故②正確.

③：CE垂直平分線AB,

...0為AB中點(diǎn)，

又?:四邊形ABCD是平行四邊形，

ABA//CD,A0=)AB=JCD,

.,.△AFO^ACFD,

.JEAOi

,,CF~CD~2,

.,.AF:AC=1:3,

VAC=BE,

，AF:BE=1:3,

故③錯誤.

@VSJC0D=4-CD-0C,

由③知AF:AC=1:3,

?SMOC=3x2XXOxOC=gx2x2CDxoc=石S」COD，

■:Sjj0E=4'AO'OE=5x-yCD?0C=

,,S.4f0E=S±4OF+Sjj0￡=,S」COD+*S」COD=%S」COD=1S」COD,

?*-S.4FOESACOD=~-

故④正確.

故答案為：①②④.

【分析】①根據(jù)平行四邊形和垂直平分線的性質(zhì)得AO=BO,ZA0E=ZB0C=90°.BC^AE,AE=BE,CA=CB,根據(jù)

ASA得△AOEg^BOC,由全等三角形性質(zhì)得AE=CB,根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得出①正確.

②由菱形性質(zhì)得/CAO=NBAE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得BA〃CD,再由平行線的性質(zhì)得NCAO/ACD,等量

代換得NACD=NBAE；故②正確.

③根據(jù)平行四邊形和垂直平分線的性質(zhì)得BA〃CD,A0=)AB=1CD,從而得△AFOSACFD,由相似三角形

性質(zhì)得從而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③錯誤.

④由三角形面積公式得SJQQJ)=g,CD,OC,從③知AF:AC=1:3,所以S肝=SJJQF+S_UOE=

得S」cOI)+4S」C0D='S」C0D=1S」c0D從而得出S"0E-SACOD=2.3故④正確.

4(2018?廣東深圳?3分)在RtAABC中/C=90°,AD平分/CAB,BE平分/CBA,AD、BE相交于點(diǎn)F,且

AF=4,EF=V2,則AC=.CDB

8阿

【答案】~T-

【考點(diǎn)】勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：作EGJ_AF,連接CF,

VZC=90°,

.,.ZCAB+ZCBA=90°,

又；AD平分NCAB,BE平分/CBA,

，/FAB+/FBA=45°,/.ZAFE=45°,

在RtAEGF中,

；EF=V2,ZAFE=45",

.?.EG=FG=1,

又..9=4,

AAG=3,

AAE=M,

VAD平分/CAB,BE平分/CBA,

.\CF平分NACB,

，NACF=45°,

VZAFE=ZACF=45°,ZFAE=ZCAF,

AAAEF^AAFC,

AF_AE

：.AC~AF,

J__叵

即AC~~,

8場

.?.AO5.

故答案為：-5~.

【分析】作EG1AF,連接CF,根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線定義得/FAB+/FBA=45°,再由三角形外角

性質(zhì)得NAFE=45°,在RtZ\EGF中，根據(jù)勾股定理得EG=FG=1,結(jié)合已知條件得AG=3,在Rt^AEG中，根

據(jù)勾股定理得AE=M；由己知得F是三角形角平分線的交點(diǎn)，所以CF平分/ACB,/ACF=45°,根據(jù)相似

三角

4V10

形的判定和性質(zhì)得1C,從而求出AC的長.

5（2018?四川宜賓?3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點(diǎn)E為線段AB上的動點(diǎn)，將沿

CE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，下列結(jié)論正確的是①②③（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時，AF〃CE；

②當(dāng)E為線段AB1；

5

132

③當(dāng)A、F、C-VT3.

3

④當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時，△CEFgZXAEF.

【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質(zhì).

【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；

【解答】解：如圖1中，當(dāng)AE=EB時，

D

M

E

圖1

VAE=EB=EF,

.,.ZEAF=ZEFA,

VZCEF=ZCEB,ZBEF=ZEAF+ZEFA,

，ZBEC=ZEAF,

；.AF〃EC,故①正確,

作EM_LAF,則AM=FM,

2

在RtZ\ECB中，EC=J2+(-|-)

VZAME=ZB=90°,ZEAM=ZCEB,

.?.△CEBs/XEAM,

E-C

EB

A5E

A3M-

-=2

2-=-

c

AM

2

.?.AM=2

10

；.AF=2AM得,故②正確,

設(shè)AE=x.

則V13-2,在RtAAEF中，

,.,AE2=AF2+EF2,

x2=(V13-2)2+(3-x)2,

3

.?.AE=13~2V13,故③正確，

3

如果，△CEFgaAEF,則NEAF=NECF=NECB=30°,顯然不符合題意，故④錯誤，

故答案為①②③.

【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

6（2018?泰安?3分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：

“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？”

用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城,

東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到

位于

A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）？請你計算KC的長為刎0步.

3

三A

c

【分析】證明△CDKS/XDAH,利用相似三角形的性質(zhì)得巫=獨(dú)，然后利用比例性質(zhì)可求出CK的長.

10015

【解答】解：DH=1OO,DK=100,AH=15,

VAH/7DK,

/.ZCDK=ZA,而

ZCKD=ZAHD,

AACDK^ADAH,

.CK_DKBnCK_100

DHAH10015

.CK=2000_

"3

答：KC型地步.故答

3

案為2000?

3

G

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的

比相等的性質(zhì)求物體的高度.

7.（2018?濱州?5分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若旄，/

EAF=45°,則AF的長為夫國.

3

BEC

【分析】取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,則NF=J^x,再利用矩形的性質(zhì)和已

知條件證明△AMEs^FNA,利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF

中利用勾股定理即可求出AF的長.

【解答】解：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,

???四邊形ABCI）是矩形，

.,.ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=4,

；.NF=MX,AN=4-x,

VAB=2,

；.AM=BM=1,

：AE=&,AB=2,

；.BE=1,

.,.ME=^BH2+BE2=A/2>

VZEAF=45°,

AZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

二ZMEA=ZNAF,

AAAME^AFNA,

FN-AN

V2x4-x

解得：x=l,

3

AAF=VAD2+DF24^-

故答案為：生叵.

3

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確添加輔助線構(gòu)造相

似三角形是解題的關(guān)鍵,

8（2018?荷澤?3分）如圖，AOAB與△OCD是以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形，相似比為3：4,ZOCD=90°,

ZA0B=60°,若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6,0）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,2、/^）.

【考點(diǎn)】SC：位似變換；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再解直角三角形進(jìn)而得出答案.

【解答】解：分另IJ過A作AEJ_OB,CFXOB,

VZ0CD=90°,ZA0B=60°,

.,.ZAB0=ZCD0=30°,Z0CF=30°,

???△OAB與aOCD是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，相似比為3：4,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6,0）,

AD（8,0）,則

D0=8,故0C=4,

貝ij^^2

2

故點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（2,2

證）.故答案為：依2

）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了位似變換，運(yùn)用位似圖形的性質(zhì)正確解直角三角形是解題關(guān)鍵.

abc

9(2018?四川成都?3分)已知d=5=4,且a+b-2c=6,則的值為.

【答案】12

【考點(diǎn)】解一元一次方程，比例的性質(zhì)

abc,

【解析】【解答】解：設(shè)石=5=4=?則a=6k,b=5k,c=4k

a+b-2c=6

/.6k+5k-8k=6,解之：k=2

Aa=6X2=12

故答案為：12

abc,

【分析】設(shè)％=5=4=K,分別用含k的式子表示出a、b、C的值，再根據(jù)a+b-2c=6,建立關(guān)于

k的方程，求出k的值，就可得出a的值。

10(2018?四川涼州?3分)已知△ABCs^A'B'C且S,c：SAARC=1：2,則AB：A1B'=1：F.

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可.

【解答】解：,.,AABC-AA,B'C',...S△械：SAA'B，C=AB2：AZB'2M.

【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是理解相似三角形的面積比等于相似比的平方.

三.解答題

(要求同上一)

1..(2018?四川涼州?7分)如圖，ZsABC在方格紙中

(1)請在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使A(2,3),C(6,2),并求出B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以原點(diǎn)0為位似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將AABC放大，畫出放大后的圖形4A'B'C'；

(3)計算AA'B'C'的面積S.

(3)直接利用(2)中圖形求出三角形面積即可.

(3)SANBC'JX4X8=16.

2

【點(diǎn)評】此題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵.畫位似圖形

的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定位似圖形的

關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.

2.(2018?棗莊分)如圖，在RtAACB中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC為直徑作。0交AB

于點(diǎn)D.

(1)求線段AD的長度；

(2)點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時，直線ED與。0相切？請說明理由.

【分析】(1)由勾股定理易求得AB的長；可連接CD,由圓周角定理知CD,AB,易知△ACDs/\ABC,可

得關(guān)于AC、AD、AB的比例關(guān)系式，即可求出AD的長.

(2)當(dāng)ED與。0相切時，由切線長定理知EC=ED,則NECD=NEDC,那么NA和/DEC就是等角的余角,

由此可證得AE=DE,即E是AC的中點(diǎn).在證明時，可連接0D,證ODJ_DE即可.

【解答】解：(1)在RtZXACB中,VAC=3cm,BC=4cm,ZACB=90",/.AB=5cni；

連接CD,；BC為直徑，

.,.ZADC=ZBDC=90°；

VZA=ZA,ZADC=ZACB,

ARtAADC^RtAACB：

.ACAD.皿AC29

ABACAB5

(2)當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時，ED與。0相

切；證明：連接0D,

VDE>RtAADC的中線；

/.ED=EC,

AZEDC=ZECD,

VOC=OD,

:.ZODC=ZOCD；

...ZEDO=ZEDC+ZODC=ZECD+ZOCD=ZACB=90°；

.\ED±OD,

【點(diǎn)評】此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線的判定等知識.

3(2018?棗莊?10分)如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作

EG〃CD交AF于點(diǎn)G,連接DG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若旄，求BE的長.

【分析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明NDGF=NDFG,從而得到GD=DF,接下來依據(jù)翻折的性

質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；

(2)連接DE,交AF于點(diǎn)0.由菱形的性質(zhì)可知GF_LDE,0G=0F=LF,接下來，證明△DOFsaADF,由相

2

似三角形的性質(zhì)可證明DF2=F0?AF,于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；

(3)過點(diǎn)G作GH±DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG=4,然后再AADF中依據(jù)勾股定理可求得

AD的長，然后再證明△FGHS^FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即

可.

【解答】解：⑴證明：?；GE〃DF,

，ZEGF=ZDFG.

?.?由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE,DF=EF,ZDGF=ZEGF,

NDGF=/DFG.

AGD=DF.

.?.DG=GE=DF=EF.

四邊形EFDG為菱形.

(2)EG2=LF?AF.

2

理由：如圖1所示：連接DE,交AF于點(diǎn)0.

???四邊形EFDG為菱形，

.\GF±DE,OG=OF=1-GF.

2

：/D0F=NADF=90°,ZOFD=ZDFA,

/.△DOF^AADF.

/.DF_F0,即DFJFOMF.

AF~DF

VFO=1.GF,DF=EG,

2

/.EG2=1X;F?AF.

2

(3)如圖2所示：過點(diǎn)G作GHLDC,垂足為H.

?.?EGJLGF?AF,AG=6,EG=2

2

.?.20=LFG(FG+6),整理得：FG2+6FG-

2

40=0.解得:FG=4,FG=-10(舍去).

：DF=GE=2遙，AF=10,

?*-AD=VAF2-DF2=/1^,

VGH±DC,AD1DC,

，GH〃AD.

.,.△FGII^AFAD.

.GH_FG叩GH=4

'*AD^AF*475Io"

.?.GH=^L

5

Z.BE=AD-GH=4殳叵三匹.

55

【點(diǎn)評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和

性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF'FOFF是解題答問題（2）

的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關(guān)鍵.

4.（2018?四川成都?8分）如圖，在RUJBC中，ZC=90°,4D平分ZSHC交5c于點(diǎn)D,O

為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，力的?O分別交AB,4c于點(diǎn)E,F,連接OF交/力于點(diǎn)

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)設(shè)4B=x，-函=K試用含的代數(shù)式表示線段/力的長;

(3)若BE=8,S1115=B,求ZX?的長.

【答案】（1）如圖，鏈接CD

〈AD為NBAC的角平分線，

???NBAD=NCAD.

VOA=OD,

???ZODA=ZOAD,

JZODA=ZCAD.

A0D/7AC.

又,..2090°,

：.Z0DC=90°,

A0D1BC,

???BC是。。的切線.

由（1）可知，BC為切線,

NFDC二NDAF.

???ZCDA=ZCFD.

???ZAFD=ZADB.

又YNBAD=NDAF,

AAABD^AADF,

AB_AD

???AD一”,

AAD2=AB?AF.

/.ADJ=xy,

...AD=Jxy

OP5

在RtABOD中，sinB=OB—13,

r_______5

設(shè)圓的半徑為「，?,?內(nèi)=13,

:.r=5.

AAE=10,AB=18.

???AE是直徑,NAFE=90°,而NC=90°,

???EF〃BC,

AZAEF=ZB,

，sinNAEF=j￡-13.

550

AAF=AE?sinZAEF=10X13=13.

VAF/70D,

AG,4FB10

，DG-OD~5-13,

13

1.DG=23AD.

?.AD=/心=J18x瑞=瑞反

；DG=君、瑞河=瑞厄

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形

【解析】【分析】（1）連接0D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，去證明/0DC=90°即可。（2）連

接DF,DE,根據(jù)圓的切線，可證得/FDC=/DAF,再證/CDA=NCFD=/AED,根據(jù)平角的定義可證得NAFD=

ZADB,從而可證得△ABDS^ABF,得出對應(yīng)邊成比例，可得出答案。（3）連接EF,在Rt^BOD中，利用三

角函數(shù)的定義求出圓的半徑、AE、AB的長，再證明EF〃BC,得出NB=NAEF,利用銳角三角函數(shù)的定義求

出AF的長，再根據(jù)AF〃OD,得出線段成比例，求出DG的長，然后可求出AD的長，從而可求得DG的長。

5(2018?江西?6△ABC中,48=8,5c=4,AC=6,CD||AB,C中是4BC的平分線,BD交AD于點(diǎn)，求AE的長.

【解析】：BD是NABC的平分線，.\ZABD=ZCBD

；CD〃ABAZABD=ZD

.\ZCBD=ZD.*.CD=BC=4

XVCD//AB.,.△ABE^ACDE

CECD41

=-VCE+AE=AC=6；.AE=4

AEAB82

6.（2018?湖北省宜昌?11分）在矩形ABCD中，AB=12,P是邊AB上一點(diǎn)，把APBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)

B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BELCG,垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：AAEB好△口￡（：；

(2)如圖2,①求證:BP=BF；

②當(dāng)AD=25,且AEVDE時，求cos/PCB的值;

【分析】(1)先判斷出/A=ND=90°,AB=DC再判斷出AE=DE,即可得出結(jié)論；

(2)①利用折疊的性質(zhì)，得出NPGC=NPBC=90°,ZBPC=ZGPC,進(jìn)而判斷出NGPF=NPFB即可得出結(jié)論;

②判斷出△ABEs^DEC,得出比例式建立方程求解即可得出AE=9,DE=16,再判斷出△ECFs/\GCP,進(jìn)而

求出PC,即可得出結(jié)論；

③判斷出△GEFSAEAB,即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=DC,

是AD中點(diǎn),.*.AE=DE,

'AB=DC

在AABE和ADCE中，J/A=ND=90。，-e?△ABE^ADCE(SAS)；

AE=DE

(2)①在矩形ABCD,ZABC=90°,

「△BPC沿PC折疊得到△GPC,.\ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

VBE1CG,ABE#PG,AZGPF=ZPFB,ZBPF=ZBFP,.\BP=BF；

②當(dāng)AD=25時，VZBEC=90°,AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB+ZABE=90°,/.ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,.,.△ABE^ADEC,.-.ABJ?,

AECD

設(shè)；.x=9或x=16,

x12

：AEVDE,；.AE=9,DE=16,；.CE=20,BE=15,

由折疊得，BP=PG,；.BP=BF=PG,VBE//PG,

/.△ECF^AGCP,/.-CE,設(shè)15o=20,.?.y=空，

PGCGy253

.\BP=尊，iSRtAPBC型運(yùn)c°s/PCB?=@

33PC10

③如圖，連接FG,

G

D

---------------

：NGEF=/BAE=90°,

：BF〃PG,BF=PG,，oBPGF是菱形，...BP〃GF,AZGFE=ZABE,

.,.△GEF^AEAB,AEF,.-.BE?EF=AB?GF=12X9=108.

GFBE

【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判