高考大題研究課十

高考大題研究課十圓錐曲線中的證明與探索性問(wèn)題會(huì)用直線與圓錐曲線中有關(guān)知識(shí)解決證明與探索性問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一證明問(wèn)題例1(12分)[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－25，0)，離心率為5.(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上．思路導(dǎo)引(1)由題意求出a，b→C的方程(2)設(shè)直線方程→與C聯(lián)立→消去y→韋達(dá)定理→寫出直線MA1，NA2的方程→聯(lián)立消去y→解得x，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值→點(diǎn)P在定直線上．[滿分答卷·評(píng)分細(xì)則]解析：(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2＝1(a由焦點(diǎn)坐標(biāo)得c＝25，由e＝ca＝5得a＝2，b＝c2-a2＝4，→正確求出a，b∴雙曲線方程為x24-y2162由1可得A1-2，0，A2設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x＝my－4，且－12＜m＜12.→正確設(shè)出直線MN的方程得聯(lián)立方程組x=my-4x24-y216=1得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，則y1＋y2＝32m4m2-1，y1y2＝484m2-1，→正確消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，直線MA1的方程為y＝y(tǒng)1x1+2(x＋2)，直線NA2的方程為y＝y(tǒng)2x2-2(x－2)→正確寫出直線聯(lián)立直線方程y=y1xx+2x-2＝y(tǒng)2x1+2y1x2-2＝y(tǒng)2my1-2y1my可得x=-1，即xp=-1，@所以點(diǎn)P題后師說(shuō)圓錐曲線證明問(wèn)題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問(wèn)題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何要素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系相等或不等．(2)解決證明問(wèn)題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過(guò)相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明．鞏固訓(xùn)練1[2023·北京卷]已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的離心率為53，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D(1)求E的方程；(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PD與直線BC交于點(diǎn)M，直線PA與直線y＝－2交于點(diǎn)N.求證：MN∥CD.題型二探索性問(wèn)題例2[2024·河南鄭州模擬]已知橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的離心率為12，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，A與圓x2＋(y－2(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在直線x＝1上，過(guò)D的兩條直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)F到直線MN和PQ的距離相等，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|DM|·|DN|＝λ|DP|·|DQ|？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題后師說(shuō)存在性問(wèn)題的解題策略存在性的問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論．(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件．(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意．鞏固訓(xùn)練2[2024·江西南昌模擬]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A，B分別為C上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△OAB為等邊三角形時(shí)，|AB|＝83.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線C在第一象限的部分是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P滿足PA+PB＝4PF，且點(diǎn)P到直線AB的距離為2？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AB的方程；若不存在，高考大題研究課十圓錐曲線中的證明與探索性問(wèn)題關(guān)鍵能力·題型剖析鞏固訓(xùn)練1解析：依題意，得e＝ca＝53，則c＝5又A，C分別為橢圓上、下頂點(diǎn)，|AC|＝4，所以2b＝4，即b＝2，所以a2－c2＝b2＝4，即a2－59a2＝49a2＝4，則a2＝所以橢圓E的方程為x29解析：因?yàn)闄E圓E的方程為x29+y24＝1，所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D因?yàn)镻為第一象限E上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(m，n)(0<m<3，0<n<2)，則m29+易得kBC＝0+2-3-0＝－23，則直線BC的方程為y＝－23xkPD＝n-0m-3＝nm-3，則直線PD的方程為y＝nm-3(x－聯(lián)立y=-23即M33n-2m+6而kPA＝n-2m-0＝n-2m，則直線PA的方程為y＝n-2mx令y＝－2，則－2＝n-2mx＋2，解得x＝-4mn-2，即N又m29+n24＝1，則m2＝9－9n24，8所以kMN＝-12n＝-6n+4m-12＝-6＝-6＝-6＝2-3n2又kCD＝0+23-0＝23，即kMN＝k顯然，MN與CD不重合，所以MN∥CD.例2解析：由題意可知e＝ca＝12，A(0，－b又A到圓上距離最大值為2－(－b)＋1＝3＋b＝3＋3，∴b＝3.又a2=b2+c2，ca故橢圓方程為x24解析：若D點(diǎn)與F點(diǎn)重合，則λ不存在，若D點(diǎn)與F點(diǎn)不重合，∵點(diǎn)F到直線MN和PQ的距離相等，且F在直線x＝1上，∴kMN＋kPQ＝0，設(shè)D(1，m)，由題意可知直線MN，PQ的斜率均存在且不為0，設(shè)直線MN的方程為y－m＝k1(x－1)，(k1≠0)，由y-m=k1x-1，3x2+4y2=12，得4k12+3x2＋(8k1m－8k2)x設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)，則xM＋xN＝8k12-8k1m4k12又|DM|＝1+k12xM－1|DM|·|DN|＝(1+k12)|(xM－1)(xN－1)|＝(1+k12)|xMxN－(xM＋xN設(shè)直線PQ的方程為y－m＝k2(x－1)(k2≠0)，同理可得|DP|·|DQ|＝1+又k1＝－k2，∴|DM|·|DN|＝|DP|·|DQ|，故λ＝1.所以存在這樣的λ＝1，使得|DM|·|DN|＝λ|DP|·|DQ|.鞏固訓(xùn)練2解析：由對(duì)稱性可知當(dāng)△OAB為等邊三角形時(shí)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，當(dāng)△OAB為等邊三角形時(shí)，△OAB的高為32|AB|＝12由題意知點(diǎn)(12，43)在C上，代入y2＝2px，得(43)2＝24p，解得p＝2，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.解析：由(1)知F(1，0)，根據(jù)題意可知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，聯(lián)立x=ky+m，y2=4x，得y2－4ky－4m所以Δ＝16k2＋16m>0，即k2＋m>0，且y1＋y2＝4k，y1y2＝－4m，所以x1＋x2＝k(y1＋y2)＋2m＝4k2＋2m，由PA+PB＝4PF，得(x1－x0，y1－y0)＋(x2－x0，y2－y0)＝4(1－x0，－y0所以x1+x2-4=-2x0，y1+y2=-2y0，所以又點(diǎn)P在C上，所以4k2＝4(2－m－2k2)，即3k2＋m＝2，①所