青島 數(shù)學(xué) 八上 第2章《線段的垂直平分線》課件

2.4線段的垂直平分線第2章圖形的軸對稱逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的判定作線段的垂直平分線過一點作已知直線的垂最短路徑問題知識點線段的垂直平分線知1－講1

知1－講特別提醒：(1)線段的垂直平分線是一條直線，不是線段或射線.(2)線段是軸對稱圖形，它的垂直平分線就是它的一條對稱軸.知1－講特別解讀線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：(1)經(jīng)過線段的中點；(2)垂直于這條線段.知1－練例1[新考法定義辨析法]下列說法正確的有()①

P是線段AB

上的一點，直線l

經(jīng)過點P

且l⊥AB，則l是線段AB的垂直平分線；②直線l

經(jīng)過線段AB

的中點P，則l是線段AB的垂直平分線；③經(jīng)過線段AB

的中點P

且垂直于線段AB

的直線l

是線段AB的垂直平分線.A.0個

B.1個C.2個D.3個知1－練解：①只滿足垂直條件，而沒有經(jīng)過線段中點的條件，故錯誤；②只滿足經(jīng)過線段中點的條件，而沒有垂直條件，故錯誤；③直線l

既經(jīng)過線段AB

的中點P，又垂直于線段AB，故正確.答案：B解題秘方：本題應(yīng)用定義法，根據(jù)線段垂直平分線的定義進行判斷即可.知1－練1-1.如圖，AB

的垂直平分線為直線MN，點P在MN

上，連接PA，PB.下列結(jié)論不一定正確的是()A.S

△

APO=S

△

BPOB.OA=OBC.OP=OBD.PO

平分∠APBC知2－講知識點線段垂直平分線的性質(zhì)21.性質(zhì)線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.前提是點在線段的垂直平分線上.2.幾何語言如圖2.4-2.因為PO⊥AB于點O，AO=BO，所以PA=PB.知2－講特別解讀用線段垂直平分線的性質(zhì)可直接說明線段相等，不必用三角形全等來說明，因此它為說明線段相等提供了新方法.知2－練如圖2.4-3，AD⊥BC，BD=DC，點C

在線段AE

的垂直平分線上，則AB，AC，CE

的長度關(guān)系為()A.AB>AC=CE

B.AB=AC>CEC.AB>AC>CE

D.AB=AC=CE例2知2－練解題秘方：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB，AC，CE之間的關(guān)系.解：因為AD⊥BC，BD=DC，所以AB=AC.因為點C

在線段AE

的垂直平分線上，所以AC=CE.所以AB=AC=CE.答案：D知2－練2-1.如圖，直線PD

和直線PE

分別是線段AB，BC

的垂直平分線，判斷PA

和PC

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.知2－練解：PA＝PC.理由如下：如圖，連接PB，因為直線PD是線段AB的垂直平分線，所以PA＝PB.同理PC＝PB，所以PA＝PC.知2－練如圖2.4-4，在△

ABC中，∠A=40°，∠B=90°，邊AC的垂直平分線交AB

于點M，交AC

于點N，求∠BCM的度數(shù).例3解題秘方：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，為三角形全等創(chuàng)造條件，從而將要求的角向已知角轉(zhuǎn)化.知2－練解：在△ABC

中，因為∠B=90°，∠A=40°.所以∠ACB=90°－40°=50°.因為MN

是線段AC

的垂直平分線，所以MA=MC，AN=CN.知2－練

知2－練3-1.[模擬·濟寧]如圖，∠C=90°，AB

的垂直平分線交BC

于點D，交AB于E，連接AD，若∠

CAD=20°，則∠B=()A.20°B.30°C.35°D.40°C知2－練[母題教材P50習(xí)題T5]如圖2.4-5，在△ABC中，AB=5cm，BC

的垂直平分線分別交AB，BC

于點D，E，△ACD

的周長為8cm，求線段AC

的長.例4解題秘方：利用線段垂直平分線的性質(zhì)將要求的線段向已知線段轉(zhuǎn)化.知2－練解：因為DE

為BC

的垂直平分線，所以CD=BD.所以△ACD

的周長=AC＋AD＋CD=AC＋AD＋BD=AC＋AB=8cm.因為AB=5cm，所以AC=3cm.知2－練4-1.如圖，在△

ABC中，AB邊的垂直平分線分別交AB，BC

于點D，E，AC

邊的垂直平分線分別交AC，BC

于點F，G，連接AE，AG.若△AGE

的周長為12，GE=2，則BC

的長為()A.6B.8C.10D.12B知3－講知識點線段垂直平分線的判定31.判定到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.條件是點到線段兩端點的距離相等；結(jié)論是點在線段的垂直平分線上.2.幾何語言如圖2.4-6，因為PA=PB，所以點P

在線段AB

的垂直平分線上.3.作用①作線段的垂直平分線的依據(jù)；②可用來說明線段垂直、相等.拓展：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三個頂點的距離相等.知3－講知3－講特別解讀1.說明一個點在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，說明平分；二是取中點，說明垂直.2.說明線段的垂直平分線，必須說明兩個點在垂直平分線上.知3－練如圖2.4-7，AD

為∠

BAC的平分線，且交BC于點D，AE=AF，請判斷線段AD

所在的直線是否為線段EF

的垂直平分線，并說明理由.例5解題秘方：說明直線AD

上的點A和點D

到線段EF的兩個端點的距離相等即可.知3－練解：線段AD

所在的直線是線段EF的垂直平分線.理由如下：如圖2.4-7，連接DE，DF.因為AD

是∠

BAC的平分線，所以∠EAD=∠FAD.知3－練

切忌只說明一個點在線段的垂直平分線上，就說過該點的直線是線段的垂直平分線.知3－練教你一招：判定線段垂直平分線的方法有兩種.一是定義法，二是判定方法.一般習(xí)慣用定義法進行判定，而利用判定方法判定更簡單.用判定方法判定一條直線是線段的垂直平分線時，一定要說明直線上有兩點到線段兩個端點的距離相等.知3－練5-1.[模擬·云南]如圖，AC=BC，AD=BD，這個圖形叫做“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：①△ACD≌△BCD；②

AO=BO；③AB

⊥CD；④∠CAB=∠ABD.其中正確結(jié)論的序號是()A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④B知3－練5-2.如圖，AD

與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，試說明:OE⊥BD.知3－練如圖2.4-8，已知AB=AD，BC=DC，E是AC

上一點.試說明：(1)BE=DE；例6解題秘方：連接BD，要說明BE=DE，只需說明AC所在的直線是線段BD

的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到BE=DE；知3－練解：如圖2.4-8，連接BD.因為AB=AD，BC=CD，所以A，C

兩點均在線段BD

的垂直平分線上.所以AC所在的直線是線段BD

的垂直平分線.又因為E

是AC上一點，所以BE=DE.知3－練(2)∠

ABE=∠ADE.解題秘方：說明△

ABE≌△ADE即可.解：在△

ABE和△

ADE中，因為AB=AD，BE=DE，AE=AE，所以△ABE≌△ADE(SSS).所以∠ABE=∠ADE.知3－練6-1.[2024·榮德原創(chuàng)]如圖，在△ABC

中，DM，EN

分別垂直平分邊AC

和邊BC，交邊AB于M，N

兩點，DM與EN

相交于點F.試說明：點F

在AB的垂直平分線上.知3－練解：連接AF,CF，BF.因為DM垂直平分邊AC，所以AF＝CF.因為EN垂直平分邊BC，所以BF＝CF.所以AF＝BF.所以點F在AB的垂直平分線上．知4－講知識點作線段的垂直平分線4作已知線段的垂直平分線如圖2.4-9，已知線段AB，求作線段AB

的垂直平分線.

知4－講知4－講

知4－練[情境題生活應(yīng)用]如圖2.4-11，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在A，B，C

三個住宅小區(qū)之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個住宅小區(qū)的距離相等？例7知4－練解題秘方：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是要找一個點，使它到三個點的距離相等.連接AB，BC，到A，B

兩點距離相等的點在線段AB

的垂直平分線上，到B，C兩點距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，因此兩條垂直平分線的交點即為所求.知4－練解：如圖2.4-11所示.連接AB，BC，分別作AB，BC

的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點M，則點M

就是所要確定的修建購物中心的位置.知4－練7-1.某通訊工程隊準備在一段筆直的公路l上修建一個5G信號基站，以服務(wù)公路旁的A，B

兩個工業(yè)園區(qū)(如圖)，要求該基站到A，B兩個工業(yè)園區(qū)的距離相等，通過作圖，確定該基站修建的位置.(不寫做法，但要保留作圖痕跡)知4－練解：如圖，點P即為所求．知5－講知識點過一點作已知直線的垂線51.過已知直線上一點作垂線如圖2.4-12，已知直線l

和l

上一點P，過點P

作直線l的垂線．知5－講做法：先在直線l

上作出以點P

為中點的線段AB，再作線段AB的垂直平分線CD，則直線CD為經(jīng)過點P

的直線l的垂線．如圖2.4-13.知5－練特別提醒因為點與直線的位置關(guān)系有點在直線上和點在直線外兩種情況，因此，過一點作已知直線的垂線需要分類討論.知5－講2.過已知直線外一點作垂線如圖2.4-14，已知直線l和l

外一點P，過點P作直線l的垂線．知5－講做法：任意取一點K，使點K

與點P

分別在直線l兩側(cè)，以點P為圓心，PK長為半徑作弧交直線l

于A，B

兩點，再作線段AB

的垂直平分線CD，則直線CD

為經(jīng)過點P

的直線l的垂線.如圖2.4-15.知5－講知識儲備垂線的性質(zhì)：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.知5－練[新趨勢過程性]學(xué)習(xí)下面是小明設(shè)計“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程.已知：△

ABC.求作：△

ABC的邊BC上的高AD.做法：(1)分別以點B和點C

為圓心，BA，CA

為半徑作弧，兩弧在BC

的下方相交于點E；(2)作直線AE交BC

邊于點D.所以線段AD

就是所求作的高.例8知5－練解題秘方：根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程作圖即可；(1)如圖2.4-16，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)；解：如圖2.4-17，AD

即為所作.知5－練(2)完成下面的說明.連接BE，CE.解：如圖2.4-17.解題秘方：根據(jù)線段垂直平分線的判定填空即可.知5－練因為BA=______，所以點B

在線段AE

的垂直平分線上(___________________________________________).(填推理的依據(jù))同理，點C

也在線段AE

的垂直平分線上.所以BC

垂直平分AE(___________________).(填推理的依據(jù))所以AD

是△ABC

的高.BE到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上兩點確定一條直線知5－練規(guī)律總結(jié)作已知直線的垂線實質(zhì)上就是作該直線上某條線段的垂直平分線.知5－練8-1.如圖，已知鈍角三角形ABC，其中∠C

為鈍角，求作△ABC的中線AD和高AH.(保留作圖痕跡)知5－練解：如圖，作BC的垂直平分線m，交BC于點D，連接AD，則AD是所求作的△ABC的中線；延長BC，過點A向BC的延長線作垂線，垂足為H，則AH是所求作的△ABC的高．知6－講知識點最短路徑問題61.直線異側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題如圖2.4-18，點A，B

分別是直線l

異側(cè)的兩個點，在直線l

上找一點C，使CA＋CB

最小，這時直接連接AB

交直線l于點C，此時點C

就是所求作的點.知6－講2.直線同側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題如圖2.4-19，點A，B

分別是直線l

同側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C，使CA＋CB

最小，這時作點B

關(guān)于直線l

的對稱點B′，連接AB′交直線l

于點C，此時點C

就是所求作的點.知6－講特別解讀1.直線異側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題是根據(jù)“兩點之間，線段最短”來解決的.2.直線同側(cè)的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題依據(jù)兩點：一是對稱軸上任何一點到一組對稱點的距離相等；二是利用依據(jù)一將同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點.知6－講[母題教材P49例2]某供電部門準備在輸電主干線l

上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A，B兩個小區(qū)送電．例9知6－練(1)如果小區(qū)A，B

在主干線l的異側(cè)，如圖2.4-20，那么分支點M

在什么地方時總路線最短？解題秘方：兩點在直線異側(cè)的最短路線問題,直接連接兩點即可；知6－練解：如圖2.4-20，連接AB，AB

與l

的交點即為所求的分支點M．知6－練(2)如果小區(qū)A，B

在主干線l

的同側(cè)，如圖2.4-21，那么分支點M

在什么地方時總路線最短？解題秘方：兩點在直線同側(cè)的最短路線問題，作其中一個點的對稱點，再和另一點連線即可.知6－練解：如圖2.4-21，作點B

關(guān)于l

的對稱點B1，連接AB1交l

于點M，連接BM，此時AM＋BM

最短，所以點M即為所求的分支點.知6－練9-1.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C

在小正方形的頂點上．知6－練(1)在圖中畫出與△ABC

關(guān)于直線l

成軸對稱的△

AB′C′；解：如圖，△AB′C′即為所求．知6－練(2)在直線l上找一點O，使OA=OC；解：如圖，點O即為所求的點．知6－練(3)在直線l

上找一點P，使PB＋PC

的長最短.解：點P如圖所示．知6－練[情境題生活應(yīng)用]如圖2.4-22，牧馬營地在點P

處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a

上吃草，再到河邊b

處飲水，最后回到營地.請你設(shè)計一條放牧路線，使其所走的總路程最短.例10知6－練解題秘方：要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點之間，線段最短”，因此需將三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上.如圖2.4-23，作點P

關(guān)于直線a

的對稱點P1，關(guān)于直線b

的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a，b

于點A，B，連接PA，PB，即得放牧所走的最短路線.知6－練解：如圖2.4-23，作點P

關(guān)于直線a的對稱點P1，關(guān)于直線b

的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a，b

于點A，B，連接PA，PB.由軸對稱的性質(zhì)知，PA=P1A，PB=P2B，所以先沿PA

到點A

處吃草，再沿AB

到點B

處飲水，最后沿BP

回到營地，按這樣的路線放牧所走的總路程最短.