中學(xué)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

中學(xué)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總

黃岡中學(xué)

中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)20年中考真題考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)記憶口訣收集整

理了1990年-20XX年20年中考數(shù)學(xué)試題真題與模擬題，窮盡一切二次函

數(shù)知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)，仔細(xì)體會(huì)下每一知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)之真實(shí)意圖

理解記憶，記憶中理解

1.定義：一般地，如果y

2.二次函數(shù)yax2ax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0),那么y叫做x

的二次函數(shù).的性質(zhì)

2(1)拋物線yax的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸.

2(2)函數(shù)yax的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時(shí)拋

物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

2(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax

(a0).

3.二次函數(shù)yax2bxc

2的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.用配方法可化

成：Vaxhk的形式，其中24.二次函數(shù)丫ax

b

2abxc2h,k4acb

4a.

k；③yaxh；④225.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾

種形式：①yax；②yax2

yaxhk2；⑤yax2bxc.

1

6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0

時(shí)，開(kāi)口向下；

a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相

同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法(1)公式法：

yax2bbxcax2a24acb4a2,，頂點(diǎn)是

4acbb(),對(duì)稱軸是直線x.2a4a2ab2

(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為

yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k),

對(duì)稱軸是直線xh.

(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖

形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分

線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一

失.

9.拋物線yax22bxc中，a,b,c的作用

2(1)a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線yax

xb

2a2bxc的對(duì)稱軸是直線，故：①b0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②b

a0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；③b

a0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

2（3）c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點(diǎn)的位置.

2當(dāng)x0時(shí)，yc,...拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)

（0,c）：

①c0,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸

交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱

軸在y軸右側(cè)，則

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

ba0.

2

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：yax

2

bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

2

（2）頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇

頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)xl、x2,通常選用交點(diǎn)式：

yaxxlxx2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)（1）y軸與拋物線

yax

2

bxc得交點(diǎn)為(0,c).

2

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax(3)拋物線與x軸的交

點(diǎn)二次函數(shù)yax

ax

2

2

bxc有且只有一^1V交點(diǎn)(h,ah

2

bhc).

bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xl、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方

程

bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元

二次方程的根的判別

式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒(méi)有

交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱

坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax

2

bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

2

(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像1與二次函數(shù)yax

vkxnvax

2

bxca0的圖像G的交點(diǎn)，由方

程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)1與G有兩個(gè)交

點(diǎn)；②

bxc

*a1

*?11心?)

?t

HuML*,

-

?a?4?，4■3?0'，

HUR?It

3???

3

方程組只有一組解時(shí)1與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)1與G

沒(méi)有交點(diǎn).（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax

由于xl、x2是方程ax

xlx2

ba

2

2

bxc與x軸兩交點(diǎn)為Axl,0,Bx2,0,

bxc0的兩個(gè)根，故

,xlx2

ca

2

ABxlx2

xlx2

xlx24x1x2

2

4cb

aa

2

b4ac

a

2

a

一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系（3分）1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)

系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做

y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)0(即公共的原點(diǎn))叫做直角坐

標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成

的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限。2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

點(diǎn)的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有

“，”分開(kāi)，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，

當(dāng)ab時(shí)，(a,b)和(b,a)是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)?？键c(diǎn)二、不同位置

的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征(3分)1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一

象限x0,y0

點(diǎn)P(x,y)在第二象限x0,y0點(diǎn)P(x,y)在第三象限x0,y0

點(diǎn)P(x,y)在第四象限xO.y02、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上y0,x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上x(chóng)0,

y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x(chóng),y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為

(0,0)3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一、

三象限夾角平分線上x(chóng)與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上

x與y互為相反數(shù)

4

4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

點(diǎn)P與點(diǎn)p'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于y

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于x

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于x2y2

考點(diǎn)三、函數(shù)及其相關(guān)概念(3?8分)

1、變量與常量

在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量

叫做常量。

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)

值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

(1)解析法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符

號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，

這種表示法叫做列表法。

(3)圖像法

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值

（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連

接起來(lái)。

考點(diǎn)四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)（310分）

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果ykxb（k,b是常數(shù)，k0）,那么y叫做x的一次

函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)ykxb中的b為。時(shí)，ykx（k為常數(shù)，

k0）o這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

5

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)ykxb的圖像

是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,b）的直線；正比例函數(shù)ykx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）的

直線。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)，，一般地，正比例函數(shù)ykx有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

6

5、一次函數(shù)的性質(zhì)，，一般地，一次函數(shù)ykxb有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx(k0)中

的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)kxb(k0)

中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法?？键c(diǎn)五、反比例

函數(shù)(3~10分)1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y

kx

（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成

ykx

1

的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也

是一切非零實(shí)數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第

一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變

量x0,函數(shù)y0,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線

的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

kx

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及諛是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y

中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要

一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解

析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過(guò)反比例函數(shù)y

kx

（k0）圖像上任一點(diǎn)P作X軸、y軸的垂線PM,PN,則所得的矩形

7

PMON的面積S=PMPN=yxxy。y

kx

,xyk,Sko

二次函數(shù)

考點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像（3~8分）1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果yax

yax

2

2

bxc（a,b,c是常數(shù)，

a0）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

bxc（a,b,c是常數(shù)，

a0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x

b2a

對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

拋物線的主要特征:

①有開(kāi)口方向；②有對(duì)稱軸；③有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法五

點(diǎn)法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂

點(diǎn)M,并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸(2)求拋物線yax

2

bxc與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的

交點(diǎn)C,再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，

并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C

及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出

比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B,然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二

次函數(shù)的圖像。

考點(diǎn)二、二次函數(shù)的解析式(10~16分)

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：yax

2

bxc(a,b,c是常數(shù)，

2

a0)a0)

2

(2)頂點(diǎn)式：ya(xh)k(a,h,k是常數(shù)，(3)當(dāng)拋物線yax

2

bxc與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程ax

2

bxc0有實(shí)根xl和x2

2

存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax

bxca(xxl)(xx2),二次函數(shù)yax

bxc可轉(zhuǎn)

化為兩根式y(tǒng)a(xxl)(xx2)。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值(10分)如果自變量的取值范圍是全體實(shí)

數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)x

b2a

時(shí)，y最值

4acb

4a

2

o

b2a

如果自變量的取值范圍是xlxx2,那么，首先要看

b2a

4acb

4a

2

是否在自變量取值范圍xlXx2內(nèi),

若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=

時(shí)，y最值；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在xlXX2范

8

2

圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)xx2

時(shí)，y最大ax2bx2c,當(dāng)xxl

22時(shí)，y最小axlbxlc；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減

小，則當(dāng)xxl時(shí)，y最大axlbxlc,

2

當(dāng)xx2時(shí)，y最小ax2bx2c。

2、二次函數(shù)yax

2

bxc（a,b,c是常數(shù)，

a0）中，a、b^c的含義：a表示開(kāi)口方向：a>0

時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，，，a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下

b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為*=

b2a

9

表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0,c）

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。c

因此一元二次方程中的b4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否

有交點(diǎn)。

當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

補(bǔ)充：

1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，

以尋求解題方法）

為（

B

如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（xl,yl）點(diǎn)B則AB間的距離，即線段AB

2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提

高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）

3、直線斜率：

ktany2ylb為直線在y軸上的截距

x2xl2

4、直線方程：一般兩點(diǎn)斜截距

一最最常用，記牢

1,一般一般直線方程ax+by+c=O2,兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的直線

的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式：3,點(diǎn)斜知道一點(diǎn)與斜率yylk（xxl）

4,斜截斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式：y=kx+b（kNO）

5,截距由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距xy

10

式方程，簡(jiǎn)稱截距式：

xa

yb

1

記牢可大幅提高運(yùn)算速度

5、設(shè)兩條直線分別為，11：y若11

//12

klxbl

12

yk2xb2

,則有11〃12klk2且blb2o

12klk21

若1

kxOyObk

2

1

6、點(diǎn)P(xO,yO)到直線y=kx+b(即：kx-y+b=O)的距離：d

kxOyOb

k

2

(1)

2

1

對(duì)于點(diǎn)P(xO,yO)到直線滴一般式方程

.常用記牢

ax+by+c=0滴距離有

中考點(diǎn)擊考點(diǎn)分析:

形式考查自變量的取值范圍，及自變量與因變量的變化圖像、平面直角

坐標(biāo)系等，一般占2%左右.一次函數(shù)與一次方程有緊密地聯(lián)系，是中考必

考內(nèi)容，一般以填空、選擇、解答題及綜合題的形式考查，占5%左右.反

比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查常以客觀題形式出現(xiàn)，要關(guān)注反比例函數(shù)與實(shí)

際問(wèn)題的聯(lián)系，突出應(yīng)用價(jià)值，3—6分；二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)十分

重要的內(nèi)容，是中考的熱點(diǎn)，多以壓軸題出現(xiàn)在試卷中.要求：能通過(guò)對(duì)實(shí)

際問(wèn)題情景分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)

法畫(huà)二次函數(shù)圖像，能叢圖像上分析二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)根據(jù)公式確定圖像

的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，并能解決實(shí)際問(wèn)題.會(huì)求一元二次方程的近似

值.

分析近年中考，尤其是課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的試題，預(yù)計(jì)20XX年除了繼續(xù)考查

自變量的取值范圍及自變量與因變量之間的變化圖像，一次函數(shù)的圖像和性

質(zhì)，在實(shí)際問(wèn)題中考查對(duì)反比例函數(shù)的概念及性質(zhì)的理解.同時(shí)將注重考查

二次函數(shù)，特別是二次函數(shù)的在實(shí)際生活中應(yīng)用.

11

初中數(shù)學(xué)助記口訣(函數(shù)部分)

特殊點(diǎn)坐標(biāo)特征:坐標(biāo)平面點(diǎn)(x,y),橫在前來(lái)縱在后；(+,+),(-,+),(-

)和(+,-)，四個(gè)象限分前后；X軸上y為0,x為0在Y軸。

對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo):對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆，X軸對(duì)稱y相反,Y

軸對(duì)稱,x前面添負(fù)號(hào)；原點(diǎn)對(duì)稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號(hào)。

自變量的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行；零次累底數(shù)不

為零，整式、奇次根全能行。函數(shù)圖像的移動(dòng)規(guī)律:若把一次函數(shù)解析式寫(xiě)

成y=k(x+0)+b、二次函數(shù)的解析式寫(xiě)成y=a(x+h)2+k的形式，則用下

面后的口訣“同左上加，異右下減”。

一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仁象限；正比例

函數(shù)更簡(jiǎn)單，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率

定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變

化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大，線離橫軸就越遠(yuǎn)。

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；開(kāi)口、

頂點(diǎn)和交點(diǎn)，它們確定圖象現(xiàn)；開(kāi)口、大小由a斷,c與Y軸來(lái)相見(jiàn),b的符號(hào)

較特別，符號(hào)與a相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見(jiàn)，Y軸作為參考線，左同右異中

為0,牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)

稱軸，縱標(biāo)函數(shù)最值見(jiàn)。若求對(duì)稱軸位置，符號(hào)反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不

同表達(dá)能互換。

反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)有特點(diǎn)，雙曲線相背離的遠(yuǎn);k

為正，圖在一、三(象)限,k為負(fù)，圖在二、四(象)限；圖在一、三函數(shù)減，兩

個(gè)分支分別減。圖在二、四正相反，兩個(gè)分支分別添;線越長(zhǎng)越近軸，永遠(yuǎn)與

軸不沾邊。

正比例函數(shù)是直線，圖象一定過(guò)圓點(diǎn)，k的正負(fù)是關(guān)鍵，決定直線的象

限，負(fù)k經(jīng)過(guò)二四限，x增大y在減，上下平移k不變，由引得到一次線，

向上加b向下減，圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)限，兩點(diǎn)決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵。

反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k落在一三限，x增大y在

減，圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對(duì)稱軸是角分線x、y的順序可交

換。

二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a的正負(fù)開(kāi)口判，c的大小y軸

看，△的符號(hào)最簡(jiǎn)便，x軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b同號(hào)軸左邊拋物線平移a不變，

頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。

1.一元一次不等式解題的一般步驟：

去分母、去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)候要變號(hào)；

同類項(xiàng)、合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉；

兩邊除(以)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)改向別忘了。

2.特殊點(diǎn)坐標(biāo)特征：

坐標(biāo)平面點(diǎn)(x,y),橫在前來(lái)縱在后；

和(+,-)，四個(gè)象限分前后;

X軸上y為0,x為0在Y軸。

3.平行某軸的直線：

平行某軸的直線，點(diǎn)的坐標(biāo)有講究，

直線平行X軸,縱坐標(biāo)相等橫不同；

直線平行于Y軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍照舊。

12

4.對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)：

對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆,

X軸對(duì)稱y相反，Y軸對(duì)稱,X前面添負(fù)號(hào)；

原點(diǎn)對(duì)稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號(hào)。

5.自變量的取值范圍：

分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行；

零次辱底數(shù)不為零，整式、奇次根全能行。

6.函數(shù)圖像的移動(dòng)規(guī)律：

若把一次函數(shù)解析式寫(xiě)成y=k(x+0)+b,

二次函數(shù)的解析式寫(xiě)成y=a(x+h)2+k的形式，

則用下面后的口訣：

“左右平移在括號(hào),上下平移在末稍，

左正右負(fù)須牢記,上正下負(fù)錯(cuò)不了”。

7.一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：

一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)任象限；

正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；

兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，

k是斜率定夾角，b與Y軸來(lái)相見(jiàn)，

k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反;

k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)。

8.二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：

二次函數(shù)拋物線，圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；

開(kāi)口、頂點(diǎn)和交點(diǎn)，它們確定圖象限;

開(kāi)口、大小由a斷,c與Y軸來(lái)相見(jiàn),b的符號(hào)較特別，符號(hào)與a相關(guān)

聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見(jiàn)，Y軸作為參考線，左同右異中為0,牢記心中莫混

亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值

見(jiàn)。若求對(duì)稱軸位置，符號(hào)反，一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。

9.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：

反比例函數(shù)有特點(diǎn),雙曲線相背離的遠(yuǎn)；

k為正，圖在一、三（象）限；k為負(fù)，圖在二、四（象）限；

圖在一、三函數(shù)減，兩個(gè)分支分別減；圖在二、四正相反,兩個(gè)分支分別

添;線越長(zhǎng)越近軸，永遠(yuǎn)與軸不沾邊。

函數(shù)學(xué)習(xí)口決：正比例函數(shù)是直線，圖象一定過(guò)原點(diǎn)，k的正負(fù)是關(guān)

鍵，決定直線的象限，負(fù)k經(jīng)過(guò)二四限，x增大y在減，上下平移k不變，

由引得到一次線，向上加b向下減，圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)限，兩點(diǎn)決定一條線，選

定系數(shù)是關(guān)鍵；

反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k落在一三限，x增大y在

減，圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對(duì)稱軸是角分線x、y的順序可交

換；

二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a的正負(fù)開(kāi)口判，c的大小y軸

看，△的符號(hào)最簡(jiǎn)便，x軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b同號(hào)軸左邊拋物線平移a不變，

頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。

13

10.求定義域:

求定義域有講究，四項(xiàng)原則須留意。負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，分母為零無(wú)意

義

o指是分?jǐn)?shù)底正數(shù)，數(shù)零沒(méi)有零次幕。限制條件不唯一，滿足多個(gè)不等

式

o求定義域要過(guò)關(guān)，四項(xiàng)原則須注意。負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，分母為零無(wú)意

義

o分?jǐn)?shù)指數(shù)底正數(shù)，數(shù)零沒(méi)有零次廨。限制條件不唯一，不等式組求解

集

O

11.解一元一次不等式:

先去分母再括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)。系數(shù)化“1”有講究，同乘除負(fù)要

變向。先去分母再括號(hào)，移項(xiàng)別忘要變號(hào)。同類各項(xiàng)去合并，系數(shù)化

“1”注意了。同乘除正無(wú)防礙，同乘除負(fù)也變號(hào)。

12.解一元一次不等式組：

大于頭來(lái)小于尾，大小不一中間找。大大小小沒(méi)有解，四種情況全來(lái)

了。同向取兩邊，異向取中間。

中間無(wú)元素，無(wú)解便出現(xiàn)。

幼兒園小鬼當(dāng)家，（同小相對(duì)取較?。┚蠢显阂岳蠟闃s，（同大就要取較

大）軍營(yíng)里沒(méi)老沒(méi)少。（大小小大就是它）大大小小解集空。（小小大大哪有

哇）

13.解一元二次不等式：首先化成一般式，構(gòu)造函數(shù)第二站。判別式

值若非負(fù)，曲線橫軸有交點(diǎn)。a正開(kāi)口它向上，大于零則取兩邊。代數(shù)式

若小于零，解集交點(diǎn)數(shù)之間。方程若無(wú)實(shí)數(shù)根，口上大零解為全。小于零

將沒(méi)有解，開(kāi)口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解

方程，首先化成一般式。調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡(jiǎn)比。確定參數(shù)

abc,計(jì)算方程判別式。判別式值與零比，有無(wú)實(shí)根便得知。有實(shí)根可套

公式，沒(méi)有實(shí)根要告之。

14.用常規(guī)配方法解一元二次方程：

左未右已先分離，二系化“1”是其次。一系折半再平方，兩邊同加沒(méi)

問(wèn)題。

14

左邊分解右合并，直接開(kāi)方去解題。該種解法叫配方，解方程時(shí)多練

習(xí)。

15.用間接配方法解一元二次方程：已知未知先分離，因式分解是其

次。調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式。完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)

勢(shì)

【注】恒等式

16.解一元二次方程：方程沒(méi)有一次項(xiàng)，直接開(kāi)方最理想。如果缺少

常數(shù)項(xiàng)，因式分解沒(méi)商量。b、c相等都為零，等根是零不要忘。b、c同

時(shí)不為零，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方。

17,正比例函數(shù)的鑒別：判斷正比例函數(shù)，檢驗(yàn)當(dāng)分兩步走。一量表

示另一量，有沒(méi)有。

若有再去看取值，全體實(shí)數(shù)都需要。區(qū)分正比例函數(shù)，衡量可分兩步

走。一量表示另一量，是與否。

若有還要看取值，全體實(shí)數(shù)都要有。

18.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

正比函數(shù)圖直線，經(jīng)過(guò)和原點(diǎn)。K正一三負(fù)二四，變化趨勢(shì)記心間。

K正左低右邊高，同大同小向爬山。K負(fù)左高右邊低，一大另小下山巒。

19.一次函數(shù)：

一次函數(shù)圖直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

K正左低右邊高，越走越高向爬山。K負(fù)左高右邊低，越來(lái)越低很明

顯。

K稱斜率b截距，截距為零變正函。20.反比例函數(shù)：

反比函數(shù)雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

K正一三負(fù)二四，兩軸是它漸近線。K正左高右邊低，一三象限滑下

山。K負(fù)左低右邊高，二四象限如爬山。

21.二次函數(shù)：

二次方程零換y,二次函數(shù)便出現(xiàn)。全體實(shí)數(shù)定義域，圖像叫做拋物

線。拋物線有對(duì)稱軸，兩邊單調(diào)正相反。

15

A定開(kāi)口及大小，線軸交點(diǎn)叫頂點(diǎn)。頂點(diǎn)非高即最低。上低下高很顯

眼。如果要畫(huà)拋物線，平移也可去描點(diǎn)，提取配方定頂點(diǎn)，兩條途徑再挑

選。列表描點(diǎn)后連線，平移規(guī)律記心間。左加右減括號(hào)內(nèi)，號(hào)外上加下要

減。二次方程零換y,就得到二次函數(shù)。圖像叫做拋物線，定義域全體實(shí)

數(shù)。A定開(kāi)口及大小，開(kāi)口向上是正數(shù)。絕對(duì)值大開(kāi)口小，開(kāi)口向下A負(fù)

數(shù)。拋物線有對(duì)稱軸，增減特性可看圖。線軸交點(diǎn)叫頂點(diǎn)，頂點(diǎn)縱標(biāo)最值

出。如果要畫(huà)拋物線，描點(diǎn)平移兩條路。提取配方定頂點(diǎn)，平移描點(diǎn)皆成

圖。列表描點(diǎn)后連線，三點(diǎn)大致定全圖。若要平移也不難，先畫(huà)基礎(chǔ)拋物

線，頂點(diǎn)移到新位置，開(kāi)口大小隨基礎(chǔ)。

【注】基礎(chǔ)拋物線

22.列方程解應(yīng)用題：

列方程解應(yīng)用題，審設(shè)列解雙檢答。審題弄清已未知，設(shè)元直間兩辦

法。列表畫(huà)圖造方程，解方程時(shí)守章法。檢驗(yàn)準(zhǔn)且合題意，問(wèn)求同一才作

答。

23.兩點(diǎn)間距離公式：

同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之。與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如

此。平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值。差方相加開(kāi)平方，距離公式要牢

記。

16

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc

(a,b,c是常數(shù)，a

00)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類

似，二次項(xiàng)系數(shù)a,而b,c可以

為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是

2.⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)

項(xiàng).二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì):

結(jié)論：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。

總結(jié)：

2.yax2c的性質(zhì)：

結(jié)論：上加下減。同左上加，異右下減總結(jié):

斤口方R

?，?”,??g大口t?He>

???鼻上1?

如，文討?小，?―，??*?<?/,

>?n.■吟?大g八《?"■?

???1?>??Hi

a?xn?xi-?9f,.va^oi-

17

斤口才wUN*FM

M..?,皓?大，?大?F.?

???再上，???)X

rnrtif?,、??明

、>?“?,?偷?大更?小?，<?”???

育下(??卜M

種SJI?火.??”???大值?

3.yaxh

2

的性質(zhì):

*

結(jié)論：左加右減。同左上加，異右下減

總結(jié)：

.即t，：科口*.I.MSIgtI

4.

yaxh2

k

的性質(zhì):

總結(jié):

18

1.平移步驟：

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)(2)保持拋物線y

ax

2

axhk

2

,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k；

的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h,k處，具體平移方法如下:

向右(h>0)【或左(h平移|k|個(gè)單位

【或左(h<0)]

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“

同左上加，異右下減”.

2

三、二次函數(shù)y

2

axhk

與y

axbxc

2

的比較

axbxc

2

請(qǐng)將y2x4x5利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將y配成

yaxhk

2

o

總結(jié)：

從解析式上看，y

2

axhk

2

與y

axbxc

2

是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前

2

者，即

b4acb

yax

2a4a

2

,其中h

b2a

?k

4acb4a

四、二次函數(shù)y

axbxc

2

圖象的畫(huà)法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)vax2bxc化為頂點(diǎn)式

ya(xh)2k,確定其開(kāi)口方向、

對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我

們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以及0,c關(guān)于對(duì)稱軸

對(duì)稱的點(diǎn)2h,c、與x軸的交點(diǎn)xl,0,x2,0(若與x軸沒(méi)有

交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).

畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，

與y軸的交點(diǎn).

19

五、二次函數(shù)y

1.

axbxc

2

的性質(zhì)

b

2

b4acb

,當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

4a2a2a

b2a

當(dāng)x

b2a

時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x

2

b2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x

時(shí)，y有最

小值

4acb4a

b4acb,,頂點(diǎn)坐標(biāo)為x

4a2a2a

2.當(dāng)a

0

時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為

b2a

b

2

.當(dāng)x

b2a

時(shí)，y

隨x的增大而增大；當(dāng)x

時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x

b2a

時(shí)，y有最大值

4acb4a

2

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc(a,b,c為常數(shù)，a2.頂點(diǎn)式：y

a(xh)k

2

0

););

(a,h,k為常數(shù)，a

0

3.兩根式：ya(xxl)(xx2)(a0,xl,x2是拋物線與x軸兩交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有

的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，

只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以

用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)y

(1)當(dāng)a⑵當(dāng)a

00

axbxc

2

中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a

0

時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口

越大；時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，

開(kāi)口越大.

總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方

向，a的大小決定開(kāi)口的大小.2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.⑴在a0

的前提下，

當(dāng)b

0

時(shí)，時(shí)，

b2ab2a

0

,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；ab同號(hào)，即拋物線的對(duì)稱軸就是y

軸；

同左上加

當(dāng)b

00

當(dāng)b0時(shí)，⑵在a

0

b2a

0

即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).a,b異號(hào)

異右下減異右下減

的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

當(dāng)b

0

時(shí)，時(shí)，

b2ab2a

0

,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；a,b異號(hào)，即拋物線的對(duì)稱軸就是y

軸；

當(dāng)b

00

當(dāng)b0時(shí)，

b2a

0

,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).ab同號(hào)

同左上加

總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.

總結(jié):

同左上加異右下減

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物

線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸

下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y

軸交點(diǎn)的位置.

總之，只要a,b,c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

二次函