河北省邯鄲市武安市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)10月期中考試含答案

2024——2025學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)10月期中考試一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或3【答案】A【解析】【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，解得：?當(dāng)時(shí)，，平行；當(dāng)時(shí)，，可判斷此時(shí)重合，舍去.故選：A2.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為6，則實(shí)數(shù)等于（）A. B.6 C.12 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置以及焦距，列式求解，即得答案.【詳解】由于焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為6，故，故選：C3.如圖是元代數(shù)學(xué)家郭守敬主持建造的觀星臺，其可近似看作一個(gè)正四棱臺，若，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的基本定理可求解.【詳解】因?yàn)?，所以：.又因?yàn)椋?，所以：，所以?故C項(xiàng)正確.故選：C.4.過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷出點(diǎn)M圓上，進(jìn)而求出切線斜率即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)M在圓上，而，則切線斜率為，所以切線方程為：即故選：A5.“”是“方程表示雙曲線”的（）條件A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用集合法進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或.即.因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：B．6.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過直線反射后與軸相交于點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，由光學(xué)知識可得反射光線經(jīng)過點(diǎn)，，由直線的兩點(diǎn)式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得反射光線經(jīng)過點(diǎn)，易得入射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)，因?yàn)槿肷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)，所以入射光線所在直線的方程為，即.故選：.7.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)，得到坐標(biāo)，代入直線方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，代入直線方程可得：，化簡可得：所以的軌跡方程為.故選：C8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，該拋物線C與直線：相交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】證明，根據(jù)基本不等式求的最小值.【詳解】根據(jù)題意判斷可得直線l過該拋物線的焦點(diǎn)F，所以，（聯(lián)立直線與拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理及即可證明），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知雙曲線C：（）的離心率，C的右支上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最短距離為1，則（）A.雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.雙曲線C的漸近線方程為C.點(diǎn)在雙曲線C上D.直線與雙曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】由題意求出，即可求出雙曲線方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷AB；代入驗(yàn)證可判斷C；求出直線所過定點(diǎn)，結(jié)合舉特值，即可判斷D.【詳解】雙曲線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為，離心率，所以，所以，所以雙曲線C的方程為，所以C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確．雙曲線C的漸近線方程為，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以點(diǎn)在雙曲線C上，C正確．直線即，恒過點(diǎn)，即雙曲線的右頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：AC10.已知為圓直徑，且不與軸重合，直線與軸交于點(diǎn)，則（）A.與恒有公共點(diǎn)B.是鈍角三角形C.的面積的最大值為1D.被截得的弦的長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】是一個(gè)在圓內(nèi)的定點(diǎn)，可以判斷A，B選項(xiàng)；根據(jù)是定值可以判斷到的距離最大時(shí)，三角形面積最大，從而判斷C選項(xiàng)；被截得的弦的長度的最小時(shí)，圓心到直線的距離最大，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】直線與軸交于點(diǎn)，所以，易知在圓內(nèi)部，所以與恒有公共點(diǎn)，A正確．因?yàn)樵趫A內(nèi)部，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，B正確．點(diǎn)到的最大距離即點(diǎn)M與圓心之間的距離，為1，所以，C錯(cuò)誤．被截得的弦的長度最小時(shí)，圓心到直線的距離最大，易知此距離為點(diǎn)與圓心之間的距離為1，所以最短弦長為，D正確．故選：ABD11.如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長為3，，空間中一點(diǎn)滿足，則（）A.若，則三棱錐的體積為定值B.若，則點(diǎn)的軌跡長度為3C.若，則的最小值為D.若，則點(diǎn)到的距離的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A：做出圖像，由已知和選項(xiàng)找到點(diǎn)P的位置，判斷到平面的距離為定值，又的面積為定值可求出；B：作圖找到點(diǎn)P位置，判斷軌跡長度即可；C：由向量共線得到P的位置，再點(diǎn)到直線的距離求最小值；D：建系，用空間向量關(guān)系求出到的距離，再用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.【詳解】對A，若，分別作棱，的中點(diǎn)，，連接，則在線段上，易知平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；若，分別作，的中點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡為線段，易知，故B錯(cuò)誤；若，則，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在線段上，易求點(diǎn)到的距離為，故的最小值為，故C正確；若，則點(diǎn)在線段上，易證，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本體考查平面向量關(guān)系和空間立體幾何的位置關(guān)系判定和體積，距離的求法，利用點(diǎn)到直線的距離和二次函數(shù)和建立空間直角坐標(biāo)系解答，計(jì)算量大，屬于比較難的試題.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.過點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為____________________.【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0【解析】【分析】直線過原點(diǎn)有直線方程為2x－y＝0；直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)軸截距為，則軸截距為，根據(jù)截距式并結(jié)合所過的點(diǎn)求，寫出方程.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，得直線方程為2x－y＝0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)軸截距為，則軸截距為，可設(shè)直線方程為，將P(1,2)代入方程，可得，得直線方程為x－y＋1＝0.∴綜上，直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.故答案為：2x－y＝0或x－y＋1＝0.13.若雙曲線的一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，求得雙曲線的漸近線方程，再利用圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，又由雙曲線的其中一條漸近線方程為，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以圓心到漸近線的距離為，由圓的弦長公式，可得.故答案為：.14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，若為橢圓上一點(diǎn)，【答案】【解析】【分析】由內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，利用等面積法表示焦點(diǎn)三角形的面積，得到方程，即可得到離心率的方程，計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，的面積為，又由于的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積也可表示為，所以，即，整理得：，兩邊同除以，得，所以或，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上，且直線與圓相切.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn).若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)，從而得到，由在圓上，代入方程求解即可解決問題.【小問1詳解】設(shè)圓M的方程為，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，又因?yàn)閳A心在直線上，所以②，直線與圓M相切，得到③，由①②③解得：因此圓的方程為【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)锳為線段BD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵趫A上，所以，解得或當(dāng)時(shí)，由可知直線的方程為；當(dāng)時(shí)，由可得斜率，故直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.16.如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而求證；（2）求出平面的法向量，結(jié)合空間向量知識求解即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，又四邊形為正方形，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，得，則.所以，，設(shè)，則，解得，所以，故四點(diǎn)共面.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，又，所以點(diǎn)到平面的距離.17.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)，連接交橢圓C于點(diǎn)M?N，為直角三角形，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于D?E兩點(diǎn)，若，求證：直線l過定點(diǎn)【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意知，求出，再由求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程消元后得到韋達(dá)定理，由代入求出，即可求出直線恒過的定點(diǎn).【小問1詳解】解：因?yàn)闉橹苯侨切?，所以由橢圓的對稱性知，，即，所以，則，代，得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】證明：由題意，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去x得，，設(shè)，則①因?yàn)?，所以，由?）知，，所以，則，將代入上式得，，將①代入上式，解得，或（舍），故直線l恒過點(diǎn)18.如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（ii）利用點(diǎn)到面距離的向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，∴四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面．（2），∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，為棱的中點(diǎn)，（i），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，平面的一個(gè)法向量為，，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為（ii）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是，設(shè)，則，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，，∴點(diǎn)Q到平面的距離是，．19.已知拋物線，直線過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，直線分別與拋物線的準(zhǔn)線交于.（1）若點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影為，求證：；（2）求證：為定值；（3）求最小值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè),，可得PQ，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求，即可分析證明；（2）設(shè)，,，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量