1.2 活動(dòng) 思考 課件

第1章

數(shù)學(xué)與我們同行1.2活動(dòng)

思考課程導(dǎo)入德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在十歲的時(shí)候，他的數(shù)學(xué)老師出了一道數(shù)學(xué)題：

1+2+3+4+5+...+100=

同學(xué)們，這道題，你有什么好的辦法嗎？解決問(wèn)題的方法不止一種，我們要開(kāi)動(dòng)腦筋，積極思考，嘗試多從不同的角度尋找解決問(wèn)題的方法，進(jìn)而解決問(wèn)題。一、在動(dòng)手操作的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)

折紙、剪紙等是日常生活中常見(jiàn)的操作活動(dòng)，它體現(xiàn)了圖形之間的變化和一些數(shù)學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用，這些活動(dòng)能培養(yǎng)我們的動(dòng)手能力和空間想象能力，同時(shí)還能提高我們的思維能力?；顒?dòng)一把一張長(zhǎng)方形紙片按圖折疊、裁剪、展開(kāi)，能得到什么圖形？說(shuō)說(shuō)理由。折疊裁剪展開(kāi)答：得到的是正方形。理由：因?yàn)榈玫降膱D形是長(zhǎng)和寬相等的長(zhǎng)方形，所以它是正方形。示例1如圖，將長(zhǎng)方形紙片先沿虛線AB按箭頭方向向右對(duì)折，接著將對(duì)折后的紙片沿虛線CD向下對(duì)折，然后剪下一個(gè)小三角形，再將紙片展開(kāi)，則展開(kāi)后的圖形是（）解析：取出一張長(zhǎng)方形紙，嚴(yán)格按照?qǐng)D中順序進(jìn)行折疊和裁剪。方法規(guī)律：解這類題目一般采用動(dòng)手操作的方法來(lái)尋找答案。動(dòng)手操作是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)、找到問(wèn)題答案比較簡(jiǎn)捷有效的方法。A二、探索圖形的變化規(guī)律

通過(guò)一些數(shù)字或圖形信息，可以尋找它們變化的共同之處，也就是蘊(yùn)含在它們之間的共同規(guī)律.數(shù)學(xué)知識(shí)是無(wú)窮無(wú)盡的，若要全部了解是不可能的，但我們可以通過(guò)歸納、總結(jié)，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律來(lái)解決.活動(dòng)二按圖示的方式，用火柴棒搭三角形。搭1個(gè)三角形需要火柴棒

根；搭2個(gè)三角形需要火柴棒

根；搭3個(gè)三角形需要火柴棒

根；搭10個(gè)三角形需要火柴棒_______根；搭n個(gè)三角形需要火柴棒_________________根。5＝3+2＝3+2×17＝3+2+2＝3+2×2搭n個(gè)三角形需要火柴棒3+2×（n－1）3+2×（10－1）＝2135721[3+2×（n－1）]方法1：方法2：3＝1+2＝1+2×15＝1+4＝1+2×27＝1+6＝1+2×3搭n個(gè)三角形需要火柴棒1+2n（1+2n)提醒：對(duì)于最后一步運(yùn)算是加或減的代數(shù)式，遇到后面有單位的，一定要代數(shù)式整體用括號(hào)括起來(lái)。示例2人行道用同樣大小的藍(lán)、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設(shè)而成，如圖，每一個(gè)小正方形表示一塊地磚.如果按圖①②③…的次序鋪設(shè)地磚，第1個(gè)圖中有____塊白色小正方形地磚，第2個(gè)圖中有_____塊白色小正方形地磚，第3個(gè)圖中有____塊白色小正方形地磚……第50個(gè)圖中有_______塊白色小正方形地磚。解析∶由圖可知第1、2、3個(gè)圖中分別有12、19、26塊白色小正方形地磚。12192619=12+7×1=12+7×（2-1）26=12+14=12+7×（3-1）所以第50個(gè)圖中有12+7×（50-1）=355（塊）白色小正方形地磚.法一∶法二∶12=7+519=5+7×226=5+7×3所以第50個(gè)圖中有5+7×50=355（塊）白色小正方形地磚.355方法規(guī)律∶解這類探索圖形的變化規(guī)律的問(wèn)題時(shí)，一般先觀察隨著圖形序號(hào)的變化，組成這個(gè)圖形的元素在數(shù)量上的變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律確定任意一個(gè)圖形中上述元素的數(shù)量.三、月歷中的數(shù)字規(guī)律月歷是我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂帽容^多的一種日用品，每個(gè)學(xué)校每學(xué)期都會(huì)根據(jù)月歷制定校歷，月歷中每一行相鄰的數(shù)、每一列相鄰的數(shù)、同一行上下相鄰的數(shù)之間都存在一定的數(shù)量關(guān)系，利用這些關(guān)系我們可以解決一些問(wèn)題.活動(dòng)三觀察月歷⑴月歷中藍(lán)色方框內(nèi)的4個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？在月歷中再畫(huà)一個(gè)這樣的方框，其中的4個(gè)數(shù)也有這樣的關(guān)系嗎？日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031左右兩個(gè)數(shù)相差1，上下兩個(gè)數(shù)相差7上面2個(gè)數(shù)的和+14=下面兩個(gè)數(shù)的和方框?qū)窍嗉雍拖嗟然顒?dòng)三觀察月歷⑵月歷中黃色方框內(nèi)的9個(gè)數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？

⑶小明一家外出旅游5天，這5天的日期之和是20，小明

號(hào)回家。說(shuō)明你的方法？日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031⑴同一橫行中，相鄰兩數(shù)相差

.1⑵同一豎列中，相鄰兩數(shù)相差

.7⑶用方框框出9個(gè)數(shù)時(shí)，兩對(duì)角線上數(shù)的

相等。和⑷以一個(gè)數(shù)為中心的9個(gè)數(shù)之和等于這個(gè)數(shù)的

.9倍⑸以一個(gè)數(shù)為中心的5個(gè)數(shù)之和等于這個(gè)數(shù)的

.5倍6解析：20÷5=4，所以小明出去5天的中間日期是4號(hào)，所以小明是2,3,4,5,6這5天在外旅游，因此6號(hào)是最后一天，6號(hào)是回家日期。示例3在如圖所示的2021年3月的月歷表中，任意框出表中豎列上的三個(gè)相鄰的數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和不可能是（）。A.27B.51C.65D.72解析∶月歷中豎列三個(gè)相鄰的數(shù)中最中間的一個(gè)數(shù)比上面的數(shù)大7，比下面的數(shù)小7，所以任意框出表中豎列上的三個(gè)相鄰的數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和是中間一個(gè)數(shù)的3倍，即這三個(gè)數(shù)的和一定是3的倍數(shù).在A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)的數(shù)65不是3的倍數(shù).方法規(guī)律∶月歷表中隱含兩個(gè)規(guī)律：⑴左、右相鄰的兩個(gè)數(shù)相差1;⑵上、下相鄰的兩個(gè)數(shù)相差7.解決與月歷相關(guān)的題目時(shí)，我們?nèi)缒莒`活運(yùn)用這兩個(gè)規(guī)律，題目就比較簡(jiǎn)單了.C特別注意，我們也要考慮和的范圍，必須是6-90的3的倍數(shù)。我們算出來(lái)的日期不能超過(guò)這個(gè)月應(yīng)有的天數(shù)。四、統(tǒng)計(jì)知識(shí)在進(jìn)行生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究時(shí)，往往需要設(shè)計(jì)合適的統(tǒng)計(jì)表，通過(guò)各種各樣的調(diào)查收集數(shù)據(jù)，為了便于發(fā)現(xiàn)在調(diào)查中獲取的數(shù)據(jù)規(guī)律，人們往往要把獲取的雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分析、整理，從而清楚地獲取有關(guān)信息?；顒?dòng)四

在教育局的樣品室里擺放著6件校服樣品，有6種不同的價(jià)格（單位∶元），分別為50、70、90、110、130、150?，F(xiàn)要為某校1500名學(xué)生統(tǒng)一征訂校服，由于價(jià)格相差甚遠(yuǎn)，于是學(xué)校決定征求家長(zhǎng)的意見(jiàn)，想要制作一張調(diào)查表對(duì)家長(zhǎng)的意見(jiàn)進(jìn)行調(diào)查，該怎樣設(shè)計(jì)這張調(diào)查表（要求家長(zhǎng)用畫(huà)"√"的形式來(lái)表達(dá)）?本題答案不唯一，可以通過(guò)把已知數(shù)據(jù)分組來(lái)設(shè)計(jì)表格，進(jìn)而得出答案即可.答案不唯一，如把已知數(shù)據(jù)分成6組來(lái)設(shè)計(jì)調(diào)查表，表格如下∶在設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)題時(shí)，既要考慮到設(shè)計(jì)的問(wèn)題能方便快捷地回答，還要考慮到答案的唯一性.示例4現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查本班學(xué)生最喜愛(ài)的體育活動(dòng)并根據(jù)所調(diào)查的數(shù)據(jù)給出一個(gè)分析報(bào)告．活動(dòng)名稱籃球足球乒乓球羽毛球健美操跳繩人數(shù)第二步，信息調(diào)查。

現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的喜好進(jìn)行舉手表決。第一步，列表格：第三步，根據(jù)咱們調(diào)查的結(jié)果，請(qǐng)為本班開(kāi)展體育活動(dòng)提出合理建議。閱讀

條形碼由美國(guó)的N.T.Woodland在1949年首先提出的。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)的不斷普及，條形碼得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在，如食品、飲料、書(shū)籍、彩電、冰箱等商品都印有條形碼（也稱為“條碼”）。商品條形碼是商品的“身份證”。

商品條形碼是由“條”，“空”及對(duì)應(yīng)數(shù)字字符“碼”組成的，可以提供商品的生產(chǎn)國(guó)、制造廠家、商品名稱等信息。

例如，七年級(jí)上冊(cè)蘇科版數(shù)學(xué)書(shū)的條形碼，下方從左到右的13個(gè)數(shù)字中，“978”是圖書(shū)代碼，“7”表示中國(guó)出版的圖書(shū)，“5345”是江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社的代號(hào)，“9338”表示本冊(cè)課本在該出版社排列的出版序號(hào)，“3”是校驗(yàn)碼。

條形碼上方的“ISBN978-7-5345-9338-3”為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)。其中，“978-7-5345-9338-3”與條形碼的數(shù)字相同，“ISBN”是標(biāo)識(shí)碼，是InternationalStandardBookNumbering(國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)）的縮寫。典型例題1

剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù).將一張紙片按如圖①②所示的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開(kāi)鋪平，所得圖形應(yīng)該是（）方法一：取一張與題中相同的紙片按照題目中的要求，先分別從左向右、從下向上對(duì)折兩次，再剪去兩個(gè)三角形，展開(kāi)后，可得A選項(xiàng)中的圖形.方法二：逆向思維法，即先根據(jù)折紙的順序，逆向畫(huà)出圖形，如圖⑤⑥⑦所示，即可得到展開(kāi)鋪平后的圖形.A總結(jié)歸納解決這類問(wèn)題時(shí)，方法一比方法二準(zhǔn)確度高，但是操作煩瑣，所以一般開(kāi)始時(shí)使用方法一，并在使用方法一找到正確答案后，再運(yùn)用方法二驗(yàn)證答案，等方法二使用熟練后，即可使用方法二直接尋找答案.典型例題2

解析∶⑵觀察發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)的規(guī)律為從第3個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)相鄰數(shù)的和等于后一個(gè)數(shù).所以需填寫的數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)8與13的和，為21。⑶因?yàn)榈?、2、3、4個(gè)圓中的最下面的數(shù)分別為4=1×2＋2、9=2×3+3、19=3×5＋4、33=4×7＋5，所以最后一個(gè)圓中的最下面的數(shù)為5×11+6=61.方法歸納

先把題目中的每個(gè)數(shù)據(jù)依次標(biāo)上序號(hào)，然后從和、差、倍、分等角度，分別比較每個(gè)數(shù)與序號(hào)之間、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，最后根據(jù)尋找的規(guī)律填寫答案.典型例題3

如圖，找出以下圖形變化的規(guī)律，，則第2021個(gè)圖形中的藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)是（）A.3030B.3031C.3032D.3033解析∶因?yàn)榈?021個(gè)數(shù)據(jù)比較大，顯然需通過(guò)尋找規(guī)律來(lái)解答.觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)直接尋找藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)規(guī)律比較困難，但是第偶數(shù)個(gè)圖形和第奇數(shù)個(gè)圖形都是有明顯特征的。方法一：通過(guò)尋找第2020個(gè)圖形中的藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)來(lái)解答.C方法二：通過(guò)尋找第奇數(shù)個(gè)圖形之間的關(guān)系，確定2021個(gè)圖形中的藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)來(lái)解答.第1個(gè)圖形藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)2第3個(gè)圖形藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)5第5個(gè)圖形藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)85＝2+38＝2+3×2第1個(gè)奇數(shù)第2個(gè)奇數(shù)第3個(gè)奇數(shù)第n個(gè)奇數(shù)2+3×（n－1）第2n-1個(gè)圖形藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)方法歸納第2021個(gè)圖形是第1011個(gè)奇數(shù)2+3×（

1011

－1）＝3032

典型例題4

用同樣大小的兩種不同的小正方形紙片按如圖所示的方式拼正方形.第1個(gè)圖形中有1個(gè)小正方形;第2個(gè)圖形中有1+3=4（個(gè)）小正方形;第3個(gè)圖形中有1+3+5=9（個(gè)）小正方形;第5個(gè)圖形中有________個(gè)小正方形（直接寫出結(jié)果）.⑴根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想∶

1＋3+5+7+…+（2n-1）=_________（用含n的式子表示）.⑵請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算∶①1+3+5+7+…+99=________;②101＋103＋105十…+199=________。解析∶

由圖可以看出，第1、2、3、4個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)分別為1=12、4=22、9=32、16=4.根據(jù)規(guī)律，易知第5個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為52=25.25⑴式子1＋3+5＋7＋…+（2n-1），可以看作第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，易知這個(gè)式子的值為n2n2⑵①設(shè)所求式子表示的是第x個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則2x一1=99，解得x=50.所以1+3+5+7十…+99=502=2500;2500②101+103+105＋…+199=100+1+100+3+100+5+…+100+99=(100+100+100+…+100)+(1＋3+5＋…＋99)=100×50+502=7500.7500典型例題5

如圖，點(diǎn)A處有一只貓，點(diǎn)B處有一只老鼠，從點(diǎn)A到點(diǎn)B有兩條路徑，分別為①和②.現(xiàn)在貓以不變的速度去捉老鼠，你認(rèn)為貓走哪條路徑才能在較短的時(shí)間內(nèi)捉到老鼠?為什么?因?yàn)樗俣炔蛔儯容^走哪條路徑能先捉到老鼠，只需比較路徑①和②的長(zhǎng)短.通過(guò)平移，構(gòu)造出較熟悉的長(zhǎng)方形，可知CD的長(zhǎng)等于GE的長(zhǎng)，DE的長(zhǎng)等于CG的長(zhǎng)，所以兩條路徑的長(zhǎng)度相等.解析∶解答∶兩條路徑一樣長(zhǎng)，隨便走哪一條，捉到老鼠的時(shí)間相同.因?yàn)槠揭坪?，路徑①和②的長(zhǎng)度都等于構(gòu)造出的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬之和（其周長(zhǎng)的一半）。方法歸納化曲為直解決問(wèn)題的方法

化曲為直解決問(wèn)題分兩種情況∶一種情況是比較平面內(nèi)的線段和的長(zhǎng)短，這種題目一般可先通過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭?，把其中的曲線（或折線）轉(zhuǎn)化到某一條線段上，再進(jìn)行比較;另一種情況是尋找立體圖形的表面兩點(diǎn)之間的最短距離，這時(shí)一般先把立體圖形展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成平面圖形，然后利用平面圖形的知識(shí)解答.鞏固練習(xí)1：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖，可得到一條折痕（圖中虛線），連續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕；那么連續(xù)對(duì)折四次后，可以得到

條折痕；連續(xù)對(duì)折五次后，可以得到

條折痕；連續(xù)對(duì)折九次后，可以得到

條折痕．第1次對(duì)折第2次對(duì)折第3次對(duì)折1531511解：對(duì)折次數(shù)

折痕

層數(shù)11221+2431+2+4841+2+4+81651+2+4+8+163261+2+4+8+16+3264...每次對(duì)折折痕增加的數(shù)=對(duì)折前的層數(shù)鞏固練習(xí)2：觀察下面一組式子。（1）你能說(shuō)出這組式子所表達(dá)的規(guī)律嗎？用含字母n的式子表達(dá)出來(lái)。（2）利用這一規(guī)律，計(jì)算下列式子。鞏固練習(xí)3：下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形一共有2個(gè)五角星，第②個(gè)圖形一共有8個(gè)五角星，第③個(gè)圖形一共有18個(gè)五角星，…，則第⑥個(gè)圖形中五角星的個(gè)數(shù)為（）

A.50 B.64 C.68 D.72【解析】解：第①個(gè)圖形一共有2個(gè)五角星，第②個(gè)圖形一共有2×（1+3）=8個(gè)五角星