山東省曲阜市夫子學(xué)校2024屆九年級(jí)下學(xué)期中考一模數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024年山東省濟(jì)寧市曲阜市夫子學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．（3分）2024的倒數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．答案：C．2．（3分）如圖，是幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，則該幾何體是（）A． B． C． D．答案：C．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2?4a3＝8a5答案：D．4．（3分）不等式組，的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．答案：D．5．（3分）如圖，⊙O中，，連接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．115° C．100° D．150°答案：C．6．（3分）2023年全國(guó)教育工作會(huì)議于1月12日在北京召開(kāi)，會(huì)議重點(diǎn)談到了要重視學(xué)生的“讀書(shū)問(wèn)題”，為落實(shí)會(huì)議精神，某中學(xué)開(kāi)展“讀書(shū)伴我成長(zhǎng)”活動(dòng)，為了解八年級(jí)學(xué)生四月份的讀書(shū)冊(cè)數(shù)，對(duì)從中隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的讀書(shū)冊(cè)數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：冊(cè)數(shù)12345人數(shù)25742根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，這20名同學(xué)讀書(shū)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3答案：A．7．（3分）今日，上海疫情防控形勢(shì)嚴(yán)峻，某工廠計(jì)劃生產(chǎn)1000套防護(hù)服，由于工人加班加點(diǎn)，實(shí)際每天比計(jì)劃多制作20%，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，則可列方程為（）A． B． C． D．答案：B．8．（3分）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC的值為（）A． B． C． D．答案：B．9．（3分）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，n），其中n＜0．以下結(jié)論正確的是（）①abc＞0；②點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一個(gè)解是﹣4；④3a+c＜0．A．①③ B．①② C．③④ D．②④答案：C．10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△AOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），每一次將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依次類推，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（）A．（﹣22023，0） B．（22022，0） C．（﹣22022，22022） D．（﹣22023，﹣22023）答案：C．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最堅(jiān)硬的納米材料，同時(shí)還是導(dǎo)電性最好的材料，其厚度僅0.00000000035cm，將數(shù)據(jù)0.00000000035用科學(xué)記數(shù)法表示為3.5×10﹣10．12．（3分）化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是．13．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，分別以A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，直線DE與交AB交于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，CF與BG交于點(diǎn)H，若BC＝2，則HG的長(zhǎng)為．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象與菱形OABC的邊OC，AB分別交于點(diǎn)M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，則N的橫坐標(biāo)為3+．15．（3分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝2．將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，PE，DP，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，下列說(shuō)法：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形COPD為菱形，②，③OP+PE的最小值為，④陰影部分面積為，正確的是①③④（填序號(hào)）．三、解答題：本大題共7題，滿分55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演過(guò)程.16．（6分）（1）計(jì)算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x為方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．解：（1）+（2023﹣π）0﹣+2sin60°＝3+1﹣（﹣1）+2×＝3+1﹣+1+＝5；（2）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣（x2+4x+3）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣x2﹣4x﹣3＝x2﹣6x﹣6，∵x2﹣6x﹣2023＝0，∴x2﹣6x＝2023，∴當(dāng)x2﹣6x＝2023時(shí)，原式＝2023﹣6＝2017．17．（7分）為喜迎中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)的召開(kāi)，紅星中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽．團(tuán)委隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本，把成績(jī)按達(dá)標(biāo)，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個(gè)等級(jí)分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查的樣本容量是50，圓心角β＝144度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）已知紅星中學(xué)共有1200名學(xué)生，估計(jì)此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為多少？（4）若在這次競(jìng)賽中有A，B，C，D四人成績(jī)均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學(xué)校參加縣級(jí)比賽．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的概率．解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是：10÷20%＝50，則圓心角β＝360°×＝144°，故答案為：50，144；（2）成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）1200×＝480（人），答：估計(jì)此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為480人；（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的結(jié)果有2種，∴恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的概率為＝．18．（7分）某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，銷售一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖．（1）若紀(jì)念品在成本價(jià)的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)兩次漲價(jià)，售價(jià)為67.5元，求這兩次平均增長(zhǎng)率為多少？（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的獲利最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定該紀(jì)念品銷售單價(jià)不能超過(guò)m元，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，若要求該紀(jì)念品的日銷售最大利潤(rùn)是1200元，求m的值．解：（1）這兩次平均增長(zhǎng)率為x，30（1+x）2＝67.5，解得：x＝0.5或﹣2.5（舍去）．∴這兩次平均增長(zhǎng)率為50%；（2）設(shè)解析式為y＝kx+b，根據(jù)圖象可知，點(diǎn)（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上，∴，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+160；設(shè)每天獲利w元，根據(jù)題意得w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝55時(shí)，w取最大值為1250，答：當(dāng)銷售單價(jià)55元/件時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為1250元．（3）由（2）知，當(dāng)w最大＝1200時(shí)，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值為50，即m＝50．19．（8分）如圖，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中線，以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，作EF⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的長(zhǎng)．（1）證明：連接OE，如圖，∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中線，∴CD＝BD＝AB，∴∠DCB＝∠B．∵OC＝OE，∴∠DCB＝∠OEC，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥BD．∵EF⊥AB，∴OE⊥EF，∵OE為⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：連接DE，如圖，∵CD為⊙O的直徑，∴∠AED＝90°．在Rt△CDE中，∵sin∠DCB＝，∴DE＝CD＝3．∴CE＝．∵DC＝DB，DE⊥BC，∴BE＝CE＝6．∵DE?BE＝BD?EF，∴DE?BE＝BD?EF，∴3×6＝9EF，∴EF＝2．20．（8分）閱讀新知一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．即：在數(shù)列a1，a2，a3，…，an（n為正整數(shù)）中，若，，…，則數(shù)列a1，a2，a3，…，an（n為正整數(shù)）叫做等比數(shù)列．其中a1叫數(shù)列的首項(xiàng)，a2叫第二項(xiàng)，…，an叫第n項(xiàng)，q叫做數(shù)列的公比．例如：數(shù)列1，2，4，8，16，…是等比數(shù)列，公比q＝2．計(jì)算：求等比數(shù)列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S＝1+3+32+33+…+3100，則3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．即1+3+32+33+…+3100＝．學(xué)以致用（1）選擇題：下列數(shù)列屬于等比數(shù)列的是CA.1，2，3，4，5B.2，6，18，21，63C.56，28，14，7，3.5D．﹣11，22，﹣33，44，﹣55（2）填空題：已知數(shù)列a1，a2，a3，…，an是公比為4的等比數(shù)列，若它的首項(xiàng)a1＝3，則它的第n項(xiàng)an等于3×4n﹣1．（3）解答題：求等比數(shù)列1，5，52，53，…前2024項(xiàng)的和．解：（1）由題意可得，，故選項(xiàng)A中的數(shù)列不是等比數(shù)列；，故選項(xiàng)B中的數(shù)列不是等比數(shù)列；，故選項(xiàng)C中的數(shù)列是等比數(shù)列；，故選項(xiàng)D中的數(shù)列不是等比數(shù)列；故答案為：C；（2）∵數(shù)列a1，a2，a3，…，an是公比為4的等比數(shù)列，它的首項(xiàng)a1＝3，∴它的第n項(xiàng)an＝a1?qn﹣1＝3×4n﹣1，故答案為：3×4n﹣1；（3）設(shè)S＝1+5+52+53+…+52023，則5S＝5+52+53+…+52023，5S﹣S＝52024﹣1，4S＝52024﹣1，S＝，即前2024項(xiàng)的和是．21．（9分）如圖1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝BF；（2）如圖2，連接BG、BD，求證：BG平分∠DBF；（3）如圖3，連接DG交AC于點(diǎn)M，求的值．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：連接BG，如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG，在△DCG和△ABG中，，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴＝＝．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）當(dāng)m＝﹣6時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；（2）如圖1，直線DC交x軸于點(diǎn)E，若，①求m的值．②將直線CD向上平移n個(gè)單位得到直線L，直線L與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求n的值．（3）如圖2，在（2）的條件下，若點(diǎn)Q為OC的中點(diǎn)，連接BQ，動(dòng)點(diǎn)P在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線．垂足為H，交BQ于點(diǎn)M，交直線ED于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE，垂足為N．是否存在PM與MN和的最大值？若存在，求出PM與MN和的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）把m＝﹣6代入拋物線y＝mx2﹣4mx+4m+6得y＝﹣6x2+24x﹣18，令y＝0時(shí)，則﹣6x2+24x﹣18＝0，則x1＝1，x2＝3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（1，0），令x＝0時(shí)，則y＝﹣18，即C（0，﹣18），當(dāng)時(shí)，則y＝﹣6×4+24×2﹣18＝﹣24+48﹣18＝6，∴D（2，6），∴綜上，點(diǎn)A（1，0），C（0，﹣18），D（2，6）；（2）①過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DF于點(diǎn)G，如圖所示：∴CG∥BE，∴∠BED＝∠DCG，∵，∴，由y＝mx2﹣4mx+4m+6＝m（x﹣2）2+6可知頂點(diǎn)D（2，6），令x＝0時(shí)，則y＝4m+6，即C（0，4m+6），∴DF＝6，F(xiàn)G＝4m+6，∴DG＝DF﹣FG＝﹣4m，CG＝2，∴，解得：；②由①得，設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+b，則有：，解得：，∴