山東省曲阜市夫子學校2024屆九年級下學期中考一模數(shù)學試卷(含答案)

2024年山東省濟寧市曲阜市夫子學校中考數(shù)學一模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1．（3分）2024的倒數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．答案：C．2．（3分）如圖，是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，則該幾何體是（）A． B． C． D．答案：C．3．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2?4a3＝8a5答案：D．4．（3分）不等式組，的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．答案：D．5．（3分）如圖，⊙O中，，連接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．115° C．100° D．150°答案：C．6．（3分）2023年全國教育工作會議于1月12日在北京召開，會議重點談到了要重視學生的“讀書問題”，為落實會議精神，某中學開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學生四月份的讀書冊數(shù)，對從中隨機抽取的20名學生的讀書冊數(shù)進行調(diào)查，結(jié)果如下表：冊數(shù)12345人數(shù)25742根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，這20名同學讀書冊數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3答案：A．7．（3分）今日，上海疫情防控形勢嚴峻，某工廠計劃生產(chǎn)1000套防護服，由于工人加班加點，實際每天比計劃多制作20%，結(jié)果比原計劃提前2天完成任務．設原計劃每天制作x套防護服，則可列方程為（）A． B． C． D．答案：B．8．（3分）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點都在格點上，則sin∠ABC的值為（）A． B． C． D．答案：B．9．（3分）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點（2，0），頂點坐標為（﹣1，n），其中n＜0．以下結(jié)論正確的是（）①abc＞0；②點（x1，y1），（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當x1＜0＜x2時，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一個解是﹣4；④3a+c＜0．A．①③ B．①② C．③④ D．②④答案：C．10．（3分）在平面直角坐標系中，等邊△AOB如圖放置，點A的坐標為（﹣1，0），每一次將△AOB繞著點O順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依次類推，則點A2023的坐標為（）A．（﹣22023，0） B．（22022，0） C．（﹣22022，22022） D．（﹣22023，﹣22023）答案：C．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最堅硬的納米材料，同時還是導電性最好的材料，其厚度僅0.00000000035cm，將數(shù)據(jù)0.00000000035用科學記數(shù)法表示為3.5×10﹣10．12．（3分）化簡分式的結(jié)果是．13．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，分別以A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，點E，直線DE與交AB交于點F，交AC于點G，CF與BG交于點H，若BC＝2，則HG的長為．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象與菱形OABC的邊OC，AB分別交于點M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，則N的橫坐標為3+．15．（3分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝2．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在上點D處，折痕交OA于點C，點E為OB的中點，點P為線段CB上一個動點，連接OP，PE，DP，過點D作DF⊥BC于點F，下列說法：①當點P運動到CB的中點時，四邊形COPD為菱形，②，③OP+PE的最小值為，④陰影部分面積為，正確的是①③④（填序號）．三、解答題：本大題共7題，滿分55分.解答應寫出文字說明、證明過程或推演過程.16．（6分）（1）計算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．（2）先化簡，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x為方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．解：（1）+（2023﹣π）0﹣+2sin60°＝3+1﹣（﹣1）+2×＝3+1﹣+1+＝5；（2）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣（x2+4x+3）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣x2﹣4x﹣3＝x2﹣6x﹣6，∵x2﹣6x﹣2023＝0，∴x2﹣6x＝2023，∴當x2﹣6x＝2023時，原式＝2023﹣6＝2017．17．（7分）為喜迎中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的召開，紅星中學舉行黨史知識競賽．團委隨機抽取了部分學生的成績作為樣本，把成績按達標，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個等級分別進行統(tǒng)計，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的樣本容量是50，圓心角β＝144度；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）已知紅星中學共有1200名學生，估計此次競賽該校獲優(yōu)異等級的學生人數(shù)為多少？（4）若在這次競賽中有A，B，C，D四人成績均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學校參加縣級比賽．請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到A，C兩人同時參賽的概率．解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是：10÷20%＝50，則圓心角β＝360°×＝144°，故答案為：50，144；（2）成績優(yōu)秀的人數(shù)為：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）1200×＝480（人），答：估計此次競賽該校獲優(yōu)異等級的學生人數(shù)為480人；（4）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到A，C兩人同時參賽的結(jié)果有2種，∴恰好抽到A，C兩人同時參賽的概率為＝．18．（7分）某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，銷售一段時間發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關系，部分圖象如圖．（1）若紀念品在成本價的基礎上經(jīng)過兩次漲價，售價為67.5元，求這兩次平均增長率為多少？（2）當銷售單價為多少元時，每天的獲利最大，最大利潤是多少？（3）物價部門規(guī)定該紀念品銷售單價不能超過m元，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）保持（1）中函數(shù)關系不變的情況下，若要求該紀念品的日銷售最大利潤是1200元，求m的值．解：（1）這兩次平均增長率為x，30（1+x）2＝67.5，解得：x＝0.5或﹣2.5（舍去）．∴這兩次平均增長率為50%；（2）設解析式為y＝kx+b，根據(jù)圖象可知，點（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上，∴，解得，∴y與x的函數(shù)關系式為y＝﹣2x+160；設每天獲利w元，根據(jù)題意得w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴當x＝55時，w取最大值為1250，答：當銷售單價55元/件時，每天獲利最大，最大利潤為1250元．（3）由（2）知，當w最大＝1200時，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值為50，即m＝50．19．（8分）如圖，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中線，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，作EF⊥AB于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的長．（1）證明：連接OE，如圖，∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中線，∴CD＝BD＝AB，∴∠DCB＝∠B．∵OC＝OE，∴∠DCB＝∠OEC，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥BD．∵EF⊥AB，∴OE⊥EF，∵OE為⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：連接DE，如圖，∵CD為⊙O的直徑，∴∠AED＝90°．在Rt△CDE中，∵sin∠DCB＝，∴DE＝CD＝3．∴CE＝．∵DC＝DB，DE⊥BC，∴BE＝CE＝6．∵DE?BE＝BD?EF，∴DE?BE＝BD?EF，∴3×6＝9EF，∴EF＝2．20．（8分）閱讀新知一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．即：在數(shù)列a1，a2，a3，…，an（n為正整數(shù)）中，若，，…，則數(shù)列a1，a2，a3，…，an（n為正整數(shù)）叫做等比數(shù)列．其中a1叫數(shù)列的首項，a2叫第二項，…，an叫第n項，q叫做數(shù)列的公比．例如：數(shù)列1，2，4，8，16，…是等比數(shù)列，公比q＝2．計算：求等比數(shù)列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S＝1+3+32+33+…+3100，則3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．即1+3+32+33+…+3100＝．學以致用（1）選擇題：下列數(shù)列屬于等比數(shù)列的是CA.1，2，3，4，5B.2，6，18，21，63C.56，28，14，7，3.5D．﹣11，22，﹣33，44，﹣55（2）填空題：已知數(shù)列a1，a2，a3，…，an是公比為4的等比數(shù)列，若它的首項a1＝3，則它的第n項an等于3×4n﹣1．（3）解答題：求等比數(shù)列1，5，52，53，…前2024項的和．解：（1）由題意可得，，故選項A中的數(shù)列不是等比數(shù)列；，故選項B中的數(shù)列不是等比數(shù)列；，故選項C中的數(shù)列是等比數(shù)列；，故選項D中的數(shù)列不是等比數(shù)列；故答案為：C；（2）∵數(shù)列a1，a2，a3，…，an是公比為4的等比數(shù)列，它的首項a1＝3，∴它的第n項an＝a1?qn﹣1＝3×4n﹣1，故答案為：3×4n﹣1；（3）設S＝1+5+52+53+…+52023，則5S＝5+52+53+…+52023，5S﹣S＝52024﹣1，4S＝52024﹣1，S＝，即前2024項的和是．21．（9分）如圖1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于點E，過點C作CF⊥AE，交AE的延長線于點G，交AB的延長線于點F．（1）求證：BE＝BF；（2）如圖2，連接BG、BD，求證：BG平分∠DBF；（3）如圖3，連接DG交AC于點M，求的值．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：連接BG，如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG，在△DCG和△ABG中，，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴＝＝．22．（10分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）當m＝﹣6時，直接寫出點A，C，D的坐標；（2）如圖1，直線DC交x軸于點E，若，①求m的值．②將直線CD向上平移n個單位得到直線L，直線L與拋物線只有一個公共點，求n的值．（3）如圖2，在（2）的條件下，若點Q為OC的中點，連接BQ，動點P在第一象限的拋物線上運動，過點P作x軸的垂線．垂足為H，交BQ于點M，交直線ED于點J，過點M作MN⊥DE，垂足為N．是否存在PM與MN和的最大值？若存在，求出PM與MN和的最大值；若不存在，請說明理由．解：（1）把m＝﹣6代入拋物線y＝mx2﹣4mx+4m+6得y＝﹣6x2+24x﹣18，令y＝0時，則﹣6x2+24x﹣18＝0，則x1＝1，x2＝3，∵點A在點B的左側(cè)，∴A（1，0），令x＝0時，則y＝﹣18，即C（0，﹣18），當時，則y＝﹣6×4+24×2﹣18＝﹣24+48﹣18＝6，∴D（2，6），∴綜上，點A（1，0），C（0，﹣18），D（2，6）；（2）①過點D作DF⊥BE于點F，過點C作CG⊥DF于點G，如圖所示：∴CG∥BE，∴∠BED＝∠DCG，∵，∴，由y＝mx2﹣4mx+4m+6＝m（x﹣2）2+6可知頂點D（2，6），令x＝0時，則y＝4m+6，即C（0，4m+6），∴DF＝6，F(xiàn)G＝4m+6，∴DG＝DF﹣FG＝﹣4m，CG＝2，∴，解得：；②由①得，設直線DE的解析式為y＝kx+b，則有：，解得：，∴