第13章 軸對稱（單元測試培優(yōu)卷）（教師版） 2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第13章軸對稱（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，點A在直線l上，△ABC與關于直線l對稱，連接，分別交AC，于點D，，連接，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．3．我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點D處的甲同學在平面鏡中看到位于點A處的乙同學的像，其中光的路徑為入射光線經(jīng)過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．4．如圖，已知，直線l與直線a，b分別交于點A，B，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線分別交直線a，b于點D、C，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．如圖，在等腰，，，為的角平分線，過點作交的延長線與點，若，則的長為（

）A． B． C． D．6．如圖，，，，若，則與間的數(shù)量關系為（）A． B．C． D．7．某平板電腦支架如圖所示，其中，，為了使用的舒適性，可調(diào)整的大?。粼龃螅瑒t的變化情況是（

）A．增大 B．減小 C．增大 D．減小8．如圖，在中，，邊AB的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點，連接，．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是△ABC的角平分線，若P，Q分別是AD和AC邊上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A． B．2 C． D．10．如圖，在中，，AD是高，是中線，CF是角平分線，CF交AD于G，交于H，下面說法：①；②；③；④．其中正確的是(

)A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，在中，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線，交于點D，連接，若的周長為24，，則的周長為．12．如圖，直線，點A是直線m上一點，點B是直線n上一點，與直線m，n均不垂直，點P為線段的中點，直線l分別與m，n相交于點C，D，若，m，n之間的距離為2，則的值為．13．如圖，，F(xiàn)為的中點，，則的長為．14．如圖所示，在平面直角坐標系中，滿足，點A，C的坐標分別是，點B在y軸上，在坐標平面內(nèi)存在一點D（不與點C重合），使，且與是對應邊，請寫出點D的坐標．15．如圖，，C是延長線上一點，，動點M從點C出發(fā)沿射線以的速度移動，動點N從點O出發(fā)沿射線以的速度移動，如果點M、N同時出發(fā)，設運動的時間為，那么當s時，是等腰三角形．16．如圖，銳角中，，，的面積是，，，分別是三邊上的動點，則周長的最小值是．17．如圖，在平面直角坐標系中，點，，，，…在x軸正半軸上，點，，，…在直線上，若，且，，，…均為等邊三角形，則線段的長度為．18．如圖，將長方形紙片沿折疊（折線交于，交于），點的對應點分別是、，交于，再將四邊形沿折疊，點、的對應點分別是、，交于，給出下列結(jié)論：

①②③若，則④上述正確的結(jié)論是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）在中，，，，交延長線于點．求證：．20．（8分）如圖，點P是外的一點，點E與點P關于對稱，點F與點P關于對稱，直線分別交于C、D兩點，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若求，，，求的長．21．（10分）如圖，在中，平分，點為中點，與相交于點．

（1）若，求的度數(shù)；（2）過點作交延長線于點，作關于對稱的，設，的面積分別為，若，試求的值．22．（10分）已知：平分，點A，B分別在邊，上，且．（1）如圖1，當時，求證：．（2）如圖2，當時，作于點C．求證：．23．（10分）已知，在中，，于點，點在線段上，且，點在線段上，且（1）如圖1，求證：（2）如圖1，若，且，求的面積（3）如圖2，若點是的中點，求的值．24．（12分）如圖，在中，，，是等邊三角形，點在邊上．（1）如圖1，當點在邊上時，求證（2）如圖2，當點在內(nèi)部時，猜想和數(shù)量關系，并加以證明；（3）如圖3，當點在外部時，于點，過點作，交線段的延長線于點，，，求的長．參考答案：1．B【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，折疊后對稱軸兩旁的圖形重合．根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：B．2．D【分析】利用軸對稱的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：與關于直線對稱，，，，，，，，即選項A、B正確；由軸對稱的性質(zhì)得：，，即，選項C正確；由軸對稱的性質(zhì)得：，但不一定等于，即選項D不一定正確；故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關鍵．3．C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．4．B【分析】本題考查尺規(guī)作圖?垂直平分線、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，由題意得，是直線l的垂直平分線，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，是直線l的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，故選：B．5．B【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，延長交的延長線于點，證明，得，再證，得，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于點，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的長為．故選：B．6．A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等，等邊對等角．易得，通過證明得出，則，最后根據(jù)在中，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，在中，，整理得：，故選：A．7．D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，設設原來，求出此時，然后類似求出變化后，然后兩角作差即可得出結(jié)論.【詳解】解：設原來，則∵，∴，∴，增大后，，∴，∴，∴，∴的變化情況是減小，故選：D.8．D【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，接著利用三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用可計算出的度數(shù)．本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角的和差關系，等腰三角形的性質(zhì)掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴在中，，∵，∴，∴．故選：．9．C【分析】過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用面積法即可求得答案．【詳解】如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短問題以及角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是學會利用軸對稱的性質(zhì)找出滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置．10．C【分析】①無法證明是否同底等高的兩個三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可推出；③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義即可判斷；④根據(jù)等腰三角形的判定方法即可判斷．【詳解】解：∵無法證明，故無法證明，故①錯誤；是角平分線，，是高，，，，，，，，，故②正確；是高，，，，，，是角平分線，，，即，故③正確；根據(jù)已知條件不能推出，因此不能證明，故④錯誤；綜上可知，②③結(jié)論正確，故選C．【點睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，難度一般，解題的關鍵是綜合運用上述知識．11．15【分析】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關鍵．由作圖過程可知，直線為線段的垂直平分線，則．由題意可得，，則的周長為求解．【詳解】解：由作圖過程可知，直線為線段的垂直平分線，∴．∵的周長為24，，∴．∴的周長為．故答案為：15．12．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，延長交于點，過點作，證明，得到，進而得到，證明，得到，再根據(jù)等積法，得到，等量代換，即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長交于點，過點作，∵，∴，，∴，，∵點P為線段的中點，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．13．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．先證明和是等腰三角形，再證明，設，則，根據(jù)，列方程可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，設，則，在和中，，，，，，，，，，∴，．故答案為：．14．【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標的特征，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．過作軸于，過作軸于，根據(jù)已知可得是等腰直角三角形，得到，利用等量代換，進而可證，由此得到，，再證明，即可得到，，，由此可求點D的坐標．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，點的坐標分別是，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，的坐標是.故答案為:.15．4或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應用．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應用是解題的關鍵．由題意知，當時，；當時，，，由是等腰三角形，可知當時，，即，計算求解即可；當時，證明是等邊三角形，則，即，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，當時，；當時，，，∵是等腰三角形，∴當時，，即，解得，，當時，是等腰三角形，∴是等邊三角形，∴，即，解得，，綜上所述，的值為4或，故答案為：4或．16．/【分析】根據(jù)對稱性質(zhì)，將周長轉(zhuǎn)換為一條直線，如圖所示（見詳解），作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，，，三角形是等邊三角形，周長，即最小就是的值最小，的面積是，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，，，∴，即是的垂直平分線，是的垂直平分線，且，∵，∴，即，∴三角形是等邊三角形，∴，∴當點在一條直線上時，周長，即最小就是的值最小，根據(jù)點到直線垂線段最短，可知當時，最小，即周長最小，∵的面積是，，即，∴，即周長最小，故答案為：．【點睛】本題主要考查點的對稱性找最短路徑，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解和掌握垂直平分線的性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)找最短路徑的方法是解題的關鍵．17．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及點的坐標變化規(guī)律，能根據(jù)題意得出(n為正整數(shù)是解題的關鍵．根據(jù)所給一次函數(shù)解析式得出直線與x軸正半軸的夾角為，再依次求出的長度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：一次函數(shù)的解析式為，此直線與x軸正半軸的夾角為是等邊三角形，，，，點的坐標為，∴同理可得，，，…，所以（n為正整數(shù)），當時，故答案為：18．②③④【分析】由折疊性質(zhì)得到，根據(jù)平行線性質(zhì)得到，再由三角形外角性質(zhì)確定，設，則，只有當時結(jié)論①才成立；由，得到，結(jié)合折疊性質(zhì)求證即可得到②正確；在①的求證過程中可知，設，則，從而由折疊性質(zhì)表示出角度關系列方程求解即可得到③正確；在①的證明過程中，結(jié)合外角性質(zhì)即可得到④正確；從而得到答案．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得，，，，則，是的一個外角，，設，則，當時，，題中并未明確的度數(shù)，故①錯誤；，，由折疊性質(zhì)可知，則，故②正確；由折疊性質(zhì)得，由①的證明過程可知，，設，則，，，，解得，即，故③正確；由①知，是的一個外角，，故④正確；綜上所述，題中正確的結(jié)論是②③④，故答案為：②③④．【點睛】本題考查折疊求角度關系，涉及折疊性質(zhì)、鄰補角定義、三角形外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合，利用相關幾何性質(zhì)準確表示出各個角度之間的關系是解決問題的關鍵．19．證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，過作于點，則，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”定理得，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】如圖，過作于點，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．20．(1)(2)【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．（1）由點E與點P關于對稱，點F與點P關于對稱，，可得，，則，，根據(jù)，求解作答即可；（2）由點E與點P關于對稱，點F與點P關于對稱，，可得，，即，由，可求，進而可得的長．【詳解】（1）解：∵點E與點P關于對稱，點F與點P關于對稱，，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：∵點E與點P關于對稱，點F與點P關于對稱，，∴，，∴，∴，解得，∴．21．(1)(2)3【分析】本題是三角形綜合題，考查了軸對稱，三角形的中線，與角平分線有關的三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，由面積的和差關系可得，從而得到．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）∵關于對稱的，∴，∵，∴．22．(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是理解題意并掌握這些知識點．（1）根據(jù)平分得，根據(jù)得，利用等角對等邊即可得；（2）作于點D，利用可證明，得到，然后證明出，得到，進而求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，作于點D，

∵于點C，平分，∴，，∵，，∴，在和中，∴，∴∵，，∴，∴，∵，，∴．23．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，證明，即可得證；（