山西省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類

山西省202L2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編?03解答題（提升

題）知識(shí)點(diǎn)分類

一.完全平方公式（共1小題）

1.（2023?山西）（1）計(jì)算：|-8|X（3）2-（-3+5）X2~1;

（2）計(jì)算：x（x+2）+（x+1）2-4x.

二.二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

2.（2023?山西）風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞.該大橋限

重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過(guò)30噸的車輛禁止通行.現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要

運(yùn)輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)冬由1個(gè)A部件和3個(gè)B部件組成，這種設(shè)備必須成套運(yùn)

輸.已知1個(gè)4部件和2個(gè)8部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個(gè)A部件和3個(gè)8部件的質(zhì)量

相等.

（1）求1個(gè)4部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少；

（2）該卡車要運(yùn)輸這種成套設(shè)備通過(guò)此大橋，一次最多可運(yùn)輸多少套這種設(shè)備.

三.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

3.（2021?山西）綜合與探究

如圖，拋物線丁=尹+公-6與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)C,連接AC,BC.

（1）求A、B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,8C的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)尸是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作的平行線/,交線段AC于

點(diǎn)D.

①試探究：在直線，上是否存在點(diǎn)￡使得以點(diǎn)。，C,B,￡為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若

存在，求出點(diǎn)上的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線/交于點(diǎn)M,與直線AC交于點(diǎn)N.當(dāng)S"MN=S&u?c時(shí)，請(qǐng)

直接寫出0M的長(zhǎng).

4.(2023?山西)綜合與探究

如圖，二次函數(shù)y=-7+4x的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該函數(shù)

圖象交于點(diǎn)8(1,3),與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)求直線4B的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)￡與

直線A8交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為機(jī).

①當(dāng)PD—LOC時(shí)，求機(jī)的值；

2

②當(dāng)點(diǎn)P在直線A3上方時(shí)，連接OP,過(guò)點(diǎn)8作8。軸于點(diǎn)。.BQ與OP交于點(diǎn)、F,

如圖，二次函數(shù)y=-L2+2a+4的圖象與％軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，

42

與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,過(guò)

點(diǎn)P作直線PD±x軸于點(diǎn)D,作直線BC交PD于點(diǎn)E.

(1)求4,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,過(guò)點(diǎn)尸作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)尸，連接OF.試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P,使得CE="),若存在，請(qǐng)直接寫出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

四.三角形綜合題（共1小題）

6.（2022?山西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在RtZXABC中，NBAC=90°,A8=6,AC=8.直角三角板EDF中NEDF

=90°,將三角板的直角頂點(diǎn)。放在RtZ\4BC斜邊8c的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)，三角板的兩邊OE,。尸分別與邊AB,4c交于點(diǎn)M,N.

猜想證明:

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN

的形狀，并說(shuō)明理由;

問(wèn)題解決:

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)/8=/例。8時(shí)，求線段CN的長(zhǎng);

（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí),直接寫出線段AN的

長(zhǎng)

DD

圖②圖③

7.（2023?山西）閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記,請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,”分別是邊AB,BC,CD,DA

的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

（Varingnon,Pierte1654-1722）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四

邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方

形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交EH,產(chǎn)G于點(diǎn)P,。，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,交

HG于點(diǎn)N.

???〃，G分別為A。，的中點(diǎn)，：,HG//AC,HG=^AC.（依據(jù)1）

2

...典口.，：DG=GC,:?DN=NM=2DM.

NMGC2

???四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，???〃石〃GR即〃尸〃GQ.

,:HG〃AC,即"G〃PQ,

，四邊形HPQG是平行四邊形，（依據(jù)2）.??Sa〃PQG=HG?AfN=?^HG?DM?

2

任務(wù)：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形ABC。及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG從

使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時(shí)畫出四邊形ABCD的對(duì)角線）

（3）在圖1中，分別連接AC,80得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長(zhǎng)

與對(duì)角線AC,80長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

8.（2023?山西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開,

得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為△ABC和△/）/￡：,其中NACB=N。所=90°,NA

=ZD,將AABC和△￡）尸E按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)尸重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）.當(dāng)

NA3￡=NA時(shí)，延長(zhǎng)。E交RC于點(diǎn)G,試判斷四邊形BCGE的形狀，并說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題；

深入探究：（2）老師將圖2中的△OBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部,

并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題.

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3,當(dāng)NABE=NBAC時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM_LBE交BE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)M,BM與AC交于點(diǎn)N.試猜想線段AM和8E的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請(qǐng)

你解答此問(wèn)題；

②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4,當(dāng)NC8E=N84C時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH_LO￡于點(diǎn)”，

若8C=9,AC=12,求4〃的長(zhǎng).請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫出結(jié)果.

9.（2021?山西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在。ASCD中，BE±AD,垂

足為E,尸為。。的中點(diǎn)，連接ERBF,試猜想E尸與8尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖①圖②圖③

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將oABCO沿著B尸（尸為CO的中點(diǎn)）所在直

線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接OC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷AG與

BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將口A8CO沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為A'.使A'81。。干點(diǎn)從折痕交人力于點(diǎn)連接A'必，交。力于點(diǎn)M該

小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此uABCO的面積為20,邊長(zhǎng)AB=5,BC=2?求圖中陰影部

分（四邊形8HNM）的面積.請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫出結(jié)果.

六.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

10.（2021?山西）閱讀與思考

請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成用應(yīng)的任務(wù).

圖算法

圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有

刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來(lái)解函數(shù)

式中的未知量.比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫

度之間的關(guān)系：/=@C+32得出，當(dāng)C=10時(shí)，"=50.但是如果你的溫度計(jì)上有華氏

5

溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法就是

圖算法.

再看一個(gè)例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問(wèn)并聯(lián)后的電阻值是多少？

我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們

R立R2

先來(lái)畫出一個(gè)120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位

長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖.我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點(diǎn)連成

一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值.

圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式

進(jìn)行計(jì)算的測(cè)昂:制圖人員，往往更能體會(huì)到它的優(yōu)越性.

任務(wù)：

（1）請(qǐng)根據(jù)以上材料簡(jiǎn)要說(shuō)明圖算法的優(yōu)越性；

（2）請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性：

①用公式令計(jì)算：當(dāng)砧=7.5,及=5時(shí)，R的值為多少；

②如圖，在△AOB中，NAO3=120。，OC是△AO8的角平分線，04=7.5,08=5,

用你所學(xué)的幾何知識(shí)求線段0C的長(zhǎng).

11.（2023?山西）2023年3月,水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022-2025年）》,

我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進(jìn)實(shí)施母

親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）.某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母

親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了

如下活動(dòng)報(bào)告.請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算和的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1小，參考數(shù)據(jù)：V3

^1.73,72^141）.

課題母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算

調(diào)查資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解

方式

調(diào)查功能駁岸是用來(lái)保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌成沖刷的構(gòu)筑物

內(nèi)容材料所需材料為石料、混凝土等

駁岸時(shí)剖面圖相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)明：圖

中，點(diǎn)八，B,C,D,

E在同一豎直平面

內(nèi)，AE和CO均與

地面平行，岸墻A8

_LAE于點(diǎn)A,/8C。

=135°,ZEDC=

60°,ED=6m,AE

=CD=3.5m.

計(jì)算結(jié)果

交誦

展示

A.解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題（共1小題）

12.（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)

量距淡i和角度.某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量人以6。兩座樓之間的距離.

他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在A8,CO兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O

距地面AC的高度為60m,此時(shí)觀測(cè)到樓A3底部點(diǎn)A處的俯角為70°,樓CD上點(diǎn)E

處的俯角為30°,沿水平方向由點(diǎn)。飛行24切到達(dá)點(diǎn)凡測(cè)得點(diǎn)七處俯角為60°,其

中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,。均在同一豎直平面內(nèi).請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓4B與CO之間

的距離4c的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos70°^=0.34,tan70°*

2.75,V3^1.73）.

九.頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）

13.（2023?山西）為增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校計(jì)劃建立小記者站,

有20名學(xué)生報(bào)名參加選拔.報(bào)名的學(xué)生需參加采訪、寫作、攝影三項(xiàng)測(cè)試，每項(xiàng)測(cè)試均

由七位評(píng)委打分（滿分100分），取平均分作為該項(xiàng)的測(cè)試成績(jī)，再將采訪、寫作、攝影

三項(xiàng)的測(cè)試成績(jī)按4：4：2的比例計(jì)算出每人的總評(píng)成績(jī).

60708090100總評(píng)成績(jī)/分

小悅、小涵的三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)和總評(píng)成績(jī)?nèi)绫?，這20名學(xué)生的總評(píng)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖（每

組含最小值，不含最大值）如圖.

選手測(cè)試成績(jī)/分總評(píng)成

采訪寫作攝影績(jī)/分

小悅83728078

小涵8684▲▲

（1）在攝影測(cè)試中，七位評(píng)委給小涵打出的分?jǐn)?shù)如下：67,72,68,69,74,69,71.這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分,平均數(shù)是分；

（2）請(qǐng)你計(jì)算小涵的總評(píng)成績(jī)；

（3）學(xué)校決定根據(jù)總評(píng)成績(jī)擇優(yōu)選拔12名小記者.試分析小悅、小涵能否入選，并說(shuō)

明理由.

一十.列表法與樹狀圖法（共1小題）

14.（2021?山西）近日，教育部臼發(fā)了《關(guān)于舉辦第三屆中華經(jīng)典誦寫講大賽的通知》，本

屆大賽以“傳承中華經(jīng)典，慶祝建黨百年”為主題，分為“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀，“詩(shī)教

中國(guó)”詩(shī)詞講解，“筆墨中國(guó)”漢字書寫，“印記中國(guó)”印章篆刻比賽四類（依次記為A,

8,C,D）.為了解同學(xué)們參與這四類比賽的意向，某校學(xué)生會(huì)從有意向參與比賽的學(xué)生

中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查（調(diào)查問(wèn)卷如圖所示），所有問(wèn)卷全部收回，并將

調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表（均不完整）.

“中華經(jīng)典誦寫講大賽”參賽意向調(diào)查問(wèn)卷

請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇您有參賽意向的選項(xiàng)，在其后“I廣內(nèi)打“J”，

非常感謝您的合作.

A.“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀[]

B.“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解[]

C.“筆墨中國(guó)”漢字書寫[]

。.“印記中國(guó)”印章篆刻[]

人新

占調(diào)查人數(shù)

類別的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）參與本次問(wèn)卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，統(tǒng)計(jì)表中C的百分比m

為：

（2）請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；

（3）小華想用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映有意向參與各類比賽的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，是

否可行？若可行，求出表示C類比賽的扇形圓心角的度數(shù)；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（4）學(xué)?！霸?shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解大賽初賽的規(guī)則是：組委會(huì)提供“春”“夏”“秋”“冬”

四組題目（依次記為C,X,Q,D）,由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一組，選手根據(jù)題

目要求進(jìn)行詩(shī)詞講解，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求甲，乙兩名選手抽到的題目在同一

組的概率.

山西省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編?03解答題(提升

題)知識(shí)點(diǎn)分類

參考答案與試題解析

一.完全平方公式(共1小題)

1.(2023?山西)(1)計(jì)算：|-8|X([)2-(-3+5)X2-1;

(2)計(jì)算：x(工+2)+(x+1)2-4x.

【答案】(1)I;

(2)2r+l.

【解答】解：(1)|-8|X(^-)2-(-3+5)X2-1

=8XA-2X-1

42

=2-1

=1；

(2)x(A+2)+(x+1)2-4X

=X2+2X+X2+2X+1-4x

=2X2+1.

二.二元一次方程組的應(yīng)用(共1小題)

2.(2023?山西)風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞.該大橋限

重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過(guò)30噸的車輛禁止通行.現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要

運(yùn)輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)多由1個(gè)A部件和3個(gè)8部件組成，這種設(shè)備必須成套運(yùn)

輸.已知1個(gè)A部件和2個(gè)8部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個(gè)A部件和3個(gè)8部件的質(zhì)量

相等.

(1)求1個(gè)A部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少；

(2)該卡車要運(yùn)輸這種成套設(shè)備通過(guò)此大橋，一次最多可運(yùn)輸多少套這種設(shè)備.

【答案】（1）1個(gè)4部件的質(zhì)量為1.2噸，1個(gè)8部件的質(zhì)量為03噸.

（2）該卡車一次最多可運(yùn)輸6套這種設(shè)備通過(guò)此大橋.

【解答】解：（1）設(shè)1個(gè)A部件的質(zhì)量為x噸，1個(gè)5部件的質(zhì)量為y噸，

由題意得:（X+2y=2,8,

2x=3y

解得：fx=l.2,

y=0.8

答：1個(gè)A部件的質(zhì)量為1.2噸，1個(gè)8部件的質(zhì)量為0.8噸.

（2）解：設(shè)該卡車一次可運(yùn)輸機(jī)套這種設(shè)備通過(guò)此大橋.

根據(jù)題意得：（1.2+0.8X3）?6+8W30,

解得：機(jī)W至.

9

???根為整數(shù)，

???加取最大值,

??m=6?

答：該卡車一次最多可運(yùn)輸6套這種設(shè)備通過(guò)此大橋.

三.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

3.（2021?山西）綜合與探究

如圖，拋物線y=y+2x-6與x軸交于4,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)、C,連接AC,BC.

（1）求4、B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,3c的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)尸是直線4c下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作8c的平行線/,交線段4c于

點(diǎn)。.

①試探究：在直線/上是否存在點(diǎn)￡使得以點(diǎn)O,C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若

存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線/交于點(diǎn)M,與直線AC交于點(diǎn)N.當(dāng)SA°MN=S"OC時(shí)，請(qǐng)

直接寫出OM的長(zhǎng).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)當(dāng))，=0時(shí)，X?+2r-6=0,

解得xi=-6,X2=2,

：.A(-6,0),B(2,0),

當(dāng)x=O時(shí).y=-6.

：.C(0,-6),

VA(-6,0),C(0,-6),

.?.直線AC的函數(shù)表達(dá)式為丁=7-6,

?:B(2,0),C(0,-6),

???直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-6；

(2)①存在：設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(m,-m-6),其中-6V，〃V0,

?:B(2,0),C(0,-6),

BD1=Gn-2)2+Cm+6)2.BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)2=2nr,

'：DE//BC,

，當(dāng)。時(shí)，以點(diǎn)。，C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

分兩種情況：

如圖，當(dāng)BD=8C時(shí)，四邊形8DEC為菱形，

E

:?B0=Bd,

(m-2)2+(m+6)2=40>

解得：〃?l=-4,W2=O（舍去）,

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4,-2）,

???點(diǎn)D向左移動(dòng)2各單位長(zhǎng)度，向下移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-6,-8）；

如圖，當(dāng)C7）=CB時(shí)，四邊形CBEO為菱形,

:?C0=C*

:.2序=40,

解得：mi=-2V5?旭2=2泥（舍去），

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-點(diǎn),275-6）,

二?點(diǎn)D向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，向上移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2?2遙，275）;

綜上，存在點(diǎn)區(qū)使得以點(diǎn)。，C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)石的坐標(biāo)為（-6,

-8）或（2-2近，2立）；

②設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（m,其中-6VmV0,

???A(-6,0),B(2,0),

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2,

???直線的函數(shù)表達(dá)式為y=3x?6,直線/〃8C,

???設(shè)直線I的解析式為y=3x+人

.?,點(diǎn)。的坐標(biāo)(m,-m-6)>

:?b=-4fn-6,

：.M(-2,-4m-12),

???拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)N.

：.N(-2,-4),

:.MN=-4in-12+4=-4m-8,

VSADMN=SMOC,

???_!(-4m-8)(-2-zn)=-1x6X6,

22

整理得：/儲(chǔ)+4,"-5=0,

解得：加1=-5,m=l(舍去)，

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-5,-1),

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,8),

22

???DM=yj(_2+5)+(8+1)=3^10，

答：0M的長(zhǎng)為的/元.

4.(2023?山西)綜合與探究

如圖，二次函數(shù)y=-7+4x的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該函數(shù)

圖象交于點(diǎn)8(1,3),與)，軸交于點(diǎn)C

(1)求直線A8的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PELr軸于點(diǎn)日與

直線交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①當(dāng)PD'OC時(shí)，求m的值；

②當(dāng)點(diǎn)尸在直線A8上方時(shí)，連接。尸，過(guò)點(diǎn)8作BQ_Lx軸于點(diǎn)。BQ與。尸交于點(diǎn)F,

連接。F.設(shè)四邊形尸QED的面積為S,求S關(guān)于〃［的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值.

【答案】（1）y=-x+4,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,4）；

（2）①2或3或左叵；②s=-（nr^）2"，S的最大值為目

【解答】解：（1）由y=-X2+4X得，當(dāng)y=0時(shí)，?/+4x=0,

解得xi=0,X2=4,

???點(diǎn)4在x軸正半軸上.

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,0）.

設(shè)直線48的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（AW0）.

將4,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)（4,0）,（1,3）分別代入y=h+A,

得（曲+吁

k+b=3

解得（k=T,

Ib=4

???直線48的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+4.

將x=0代入y=-x+4,得y=4.

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,4）；

（2）①解：???點(diǎn)尸在第一象限內(nèi)二次函數(shù)y=?$+4x的圖象上，且PE_Lx軸于點(diǎn)￡

與直線48交于點(diǎn)D,其橫坐標(biāo)為日

???點(diǎn)P,￡>的坐標(biāo)分別為P（用，-/n2+4w）,D（/n,-〃?+4）,

：?PE=-/n2+4/n.DE=-m+4,OE=m,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,4）,

???OC=4.PD^OO

乙

???PO=2.

如圖L當(dāng)點(diǎn)尸在直線AB上方時(shí)，PD=PE-DE=-w2+4w-(-w+4)=-w2+5w-4,

-4=2,

解得mi=2.m2=3.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，PD=DE-PE=-加+4-(-m2+4/w)=序-5m+4,

Am2-5m+4=2,

解得m=5土產(chǎn)

VO<m<l,"5-VI7

2

綜上所述，加的值為2或3或2叵;

②解：如圖3,

圖3

由（1）得，OE=m,PE=-nr+4m,DE=-m+4.

???8Q_Lx軸于點(diǎn)。交OP于點(diǎn)八點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,3）,

OQ=1,

???點(diǎn)尸在直線AB上方，

,,EQ=tn-1.

VPElx軸于點(diǎn)E,

：?NOQF=/OEP=90°,

：.FQ//DE,4F0Q=/P0E,

:ZOQs/XPOE,

.FQOQ

**PE=OE,

?

??'FQ=1,，

-+4mm

2

?2-m+4m,

,,FQ==-m+4,

m

:?FQ=DE,

???四邊形FQED為平行四邊形，

*：PEA.x軸，

，四邊形尸。七。為矩形.

2

.*.S=EQ+FQ=（m-1）（-m+4）,即S=-m+5/n-4=-（m—+^,,

V-1<0,l</n<4,

??.當(dāng)機(jī)=9時(shí)，s的最大值為3；

24

5.（2022?山西）綜合與探究

如圖，二次函數(shù)丁=方+4的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)）,

與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m.過(guò)

點(diǎn)P作直線P￡>_Lx軸于點(diǎn)0,作直然BC交PD于點(diǎn)￡

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,過(guò)點(diǎn)P作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)F,連接。立試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P,使得CE="),若存在，請(qǐng)直接寫出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】(1)4(-2,0),B(8,0),C(0,4),直線解析式為y=-/+4；

(2)P(4,6)；

(3)存在點(diǎn)尸，使得CE=F￡>,〃?=2遙-2或m=4.

【解答】解：(1)在y=-1f+3x+4中，

42

令x=0得y=4,令y=0得x=8或x=-2,

???A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

設(shè)直線BC解析式為y=丘+4,將B(8,0)代入得：

8女+4=0,

解得k=

2

:.直線BC解析式為y=-Xv+4；

(2)過(guò)C作CG_LPO于G,如圖:

42

：.PD=-工序+當(dāng)7+4,

42

VZCOD=ZPDO=ZCGD=90°,

???四邊形COOG是矩形，

：.DG=OC=4,CG=OD=m,

:?PG=PD-DG=-L/+2m+4_4=-當(dāng)?2+&

4242

YCP=CE,CG1PD,

：.GE=PG=-1-nr+^m,

42

,:/GCE=NOBC,ZCGE=90°=ZBOC,

???△CGES^BOC,

41n

.CG=GE即m=27

**0B0C，、后

解得機(jī)=0(舍去)或〃z=4,

：.P(4,6)；

(3)存在點(diǎn)P,使得CE=FQ,理由如下：

過(guò)C作(7"_1_尸。于"，如圖：

設(shè)P(〃?，-—m2+-^n+4),

42

由A(-2,0),C(0,4)可得直線AC解析式為)，=2x+4,

根據(jù)PF〃AC,設(shè)直線P尸解析式為y=2x+b,將產(chǎn)(〃?，-氏2十會(huì)十如代入得：

-工/+當(dāng)7+4=2〃?+〃，

42

:?b=~-Xn2-工辦+4,

42

???直線PF解析式為y=2x-1/n2-Xn+4,

2

令x=0得y=--lzw-_lw+4,

42

：.F(0,-X12-X?+4),

42

/.OF=\-X??2-Xw+4|,

42

同(2)可得四邊形CO。”是矩形，

:,CH=OD,

?：CE=FD,

/.RtACH￡^RtADOF(HL),

，ZHCE=NFQO,

■:ZHCE=ZCBO,

:?/FDO=NCBO,

tanZFDO=tanZCBO,

^OF=OC,叩—=4

0DOBm8

2

:.--1/W-A/〃+4=-lr〃或-Lp.▲/〃+4=-L??,

422422

解得m=2y[S-2或m=-2遙-2或6=4或m=-4,

???P在第一象限，

AZM=2V5-2或m=4.

四.三角形綜合題(共1小題)

6.(2022?山西)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板ED尸中NEDF

=90°,將三角板的直角頂點(diǎn)。放在RtZ\ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)，三角板的兩邊OE,。尸分別與邊A8,AC交于點(diǎn)M,N.

猜想證明：

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN

的形狀，并說(shuō)明理由；

問(wèn)題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的

長(zhǎng).

(2)CyV=—；

8

⑶至.

7

【解答】解：(1)四邊形是矩形，理由如下:

???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是48的中點(diǎn)，

：.MD//AC,

.??NA+/AM￡>=18(T，

VZBAC=90°,

???NAMD=90°,

VZA=ZAMD=AMDN=W,

???四邊形AMQN是矩形；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)N作NG_LC￡>于G,

EF

D

圖②

???48=6,4c=8,N84C=90°，

???8』即2+人,2=10,

???點(diǎn)。是3C的中點(diǎn),

:?BD=CD=5,

■:NMDN=900=ZA,

.../B+NC=90°,NBQM+/l=90°,

AZ1=ZC,

:,DN=CN,

又?：NG1CD,

；?DG=CG=$,

2

CG_AC

VcosC=CN"BC

5_

.78

??"-S19

CN10

??.CN=至;

8

(3)如圖③，連接MN,AD,過(guò)點(diǎn)N作HN_LAD于H,

BD

圖③

*：AM=AN,NM4N=9O°,

AZAMN=ZANM=45°,

?:NBAC=NEDF=90°,

???點(diǎn)4,點(diǎn)M,點(diǎn)。，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，

/.ZADN=ZAMN=45°,

?：NHLAD,

:,NADN=NDNH=45°，

:.DH=HN,

■:BD=CD=5,NB4C=90°.

：.AD=CD=5,

:.乙C=4DAC,

.,.tanC=tanZDAC=I^=^.=X

AHAC4

:?AH=&HN,

3

'：AH+HD=AD=5,

：.DH=HN=^-,A”=型，

77

2=麻薩詹需竿

解法二：如圖，延長(zhǎng)MD到。使得MZ)=。。連接NT,CT.

設(shè)AM=AN=4.證明CT=8M=6-mNM=NT=^2af/NCT=90°,

由N72=CN2+Cf1,

可得(血。)2=(8-?)2+(6?〃)2,解得。=絲.

7

解法三：也可以通過(guò)。向4c和AB分別作垂線DQ和DP,通過(guò)△OPMS/XOQV相似

來(lái)算.

五.四邊形綜合題（共3小題）

7.（2023?山西）閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形人BCD中，點(diǎn)、E,F,G,H分別是邊人氏BC,CD,DA

的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFG"是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFG”被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pieite1654-1722)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四

邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方

形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交尸G于點(diǎn)尸，Q,過(guò)點(diǎn)。作。M_LAC于點(diǎn)M,交

HG于點(diǎn)N.

???，，G分別為4。，8的中點(diǎn)，???〃G〃AC,HG=1AC.(依據(jù)1)

2

工也圖.,;DG=GC,:,DN=NM=LDM.

NMGC2

???四邊形￡FG”是瓦里尼翁平行四邊形，???〃E〃GF,即”尸〃GQ.

,:HG〃AC,BPHG//PQ,

；?四邊形HPQG是平行四邊形，(依據(jù)2)

2

任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：三角形中位線定理

依據(jù)2是指：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具,畫一個(gè)四邊形ABC。及它的瓦里尼翁平行四邊形E尸G”、

使得四邊形EFGH為矩形；(要求同時(shí)畫出四邊形A8C。的對(duì)角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,8。得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)

與對(duì)角線AC,BO長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）三角形中位線定理，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：

（2）見解析過(guò)程

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長(zhǎng)等于4C+4Q,理由見解析過(guò)程.

【解答】解：（1）證明：如圖2,連接AC,分別交E”，產(chǎn)G于點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)力作DM

_LAC于點(diǎn)M,交“G于點(diǎn)N.

'：H,G分別為4。，8的中點(diǎn)，

：.HG//AC,HG=1AC,（三角形中位線定理），

2

.DN_DG

??而年

9：DG=GC,

:?DN=NM=±DM,

2

???四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，

：.HE//GF,BPHP//GQ.

,:HG〃AC,BPHG//PQ,

???四邊形"PQG是平行四邊形，（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），

???SoHPQG=HG?MN=AHG-DM,

???S"QC=LC?OM="G?DM,

2

S。HPQG=工aAOC,

2

同理可得，0P=

2

a=

SHEFG—S網(wǎng)邊形ABCD，

2

故答案為：三角形中位線定理，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）如圖，畫四邊形ABCD,且AC_LB。于O,點(diǎn)E,H,G,尸分別是邊AB,BC,CD,

D4的中點(diǎn)，順次連接上兄FG,GH,則四邊形EFG”為所求；

D

理由如下：???點(diǎn)E,H,G,尸分別是邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，

:.EF〃BD,HG//BD,EH//AC,FG//AC,

：.EF//HG,EH//FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC±BD,EF//BDf

：.ACLEF,

"G〃AC,

：.EFA-FG,

???平行四邊形EFGH是矩形；

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于AC+8Q,理由如下：

:四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，

:.點(diǎn)、E,H,G,尸分別是邊4B,BC,CD,0A的中點(diǎn)，

:.EF=LBD,GH=^BD,EH=-1AC,RO=—AC,

2222

.??瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EF+GF+GH+EH=2BnA8D+2AC+2AC=

AC+BD.

8.（2023?山西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開,

得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為△ABC和△￡>「￡,其中NACB=NO石尸=90°,NA

=ND,將△ABC和△OFE按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)尸重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）.當(dāng)

N48E=N4時(shí)，延長(zhǎng)￡>E交工。于點(diǎn)G,試判斷四邊形8CGE的形狀，并說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題；

深入探究：（2）老師將圖2中的七繞點(diǎn)5逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)七落在△45C內(nèi)部,

并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題.

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3,當(dāng)。時(shí)，過(guò)點(diǎn)4作4M_LBE交BE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)M,BM與AC交于點(diǎn)N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請(qǐng)

你解答此問(wèn)題；

②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4,當(dāng)NC8E=N8AC時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作Aa_LOE于點(diǎn)H,

若BC=9,AC=12,求4”的長(zhǎng).請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫出結(jié)果.

【答案】（1）結(jié)論：四邊形8CGE為正方形.理由見解析部分；

（2）①結(jié)論：AM=BE.理由見解析部分；

【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形8CGE為正方形.理由如下:

?；NBED=90°,

???N8EG=180°-BED=90°,

,:NABE=NA,

：.AC//BE,

：.ZCGE=ZBED=90°,

VZC=90°,

???四邊形BCGE為矩形.

,:△ACB9ADEB,

:.BC=BE.

，矩形8CGE為正方形；

(2)①結(jié)論：AM=BE.

理由：VZABE=ZBAC,

:,AN=BN,

VZC=90°,

???BC_LAN,

*：AM±BE,即4M_L8M

:,SAABF4AN-BC=4BN-AM?

"：AN=BN,

：.BC=AM.由(1)得BE=BC,

：.AM=BE.

②解：如圖：設(shè)48,OE的交點(diǎn)為M,過(guò)M作MG_LB。于G,

???△AC8絲△。血

:.BE=BC=9,DE=AC=\2,ZA=ZD,/ABC=/DBE,

:.NCBE=NDBM,

“：NCBE=NBAC,

:.ZD=ZBAC,

:?MD=MB,

VMG1-BD,

，點(diǎn)G是8D的中點(diǎn)，

由勾股定理得AB=VAC2+BC2=15>

i15

，,DG畸BD長(zhǎng)

??/_DGDE

,cosZD=DM

:.DM=K^=T^L=75，即BM=DM;譚，

o

AAM