一元二次不等式及分式不等式的解法

專題002：一元二次不等式及分式不等式的解法（師）考點(diǎn)要求：1．會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三個(gè)二次”間的關(guān)系問題．3．以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問題．4．結(jié)合“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法．5．熟練掌握分式不等式、含絕對(duì)值不等式的解法．知識(shí)結(jié)構(gòu)1．一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根．(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??說明：（1）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的確定受a的符號(hào)、b2－4ac的符號(hào)的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集．若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，化為ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其對(duì)應(yīng)的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，(x1＜x2)(此時(shí)Δ＝b2－4（2）1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況；2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏．雙基自測(cè)1．不等式x2－3x＋2＜0的解集為()．A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)解析∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集為(1,2)．答案D2．(2011·廣東)不等式2x2－x－1＞0的解集是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－eq\f(1,2).故原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)．答案D3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(1,3)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))D．R解析∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,3))).答案B4．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2＜x＜\f(1,4)))，則ab＝()．A．－28B．－26C．28解析∵x＝－2，eq\f(1,4)是方程ax2＋bx－2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a)＝－2×\f(1,4)＝－\f(1,2)，,－\f(b,a)＝－\f(7,4)，))∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.答案C5．不等式ax2＋2ax＋1≥0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為1≥0恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,4a2－4a≤0.))∴0＜a≤1，綜上0≤a≤1.答案[0,1]例題選講：例1：函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋x－3)＋log3(3＋2x－x2)的定義域?yàn)開_______．解析依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋x－3≥0，,3＋2x－x2＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)或x≥1，,－1＜x＜3.))∴1≤x＜3.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3)．答案[1,3)總結(jié)：解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式Δ的符號(hào)；(3)若Δ≥0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若Δ＜0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集．例2：求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．[審題視點(diǎn)]先求方程12x2－ax＝a2的根，討論根的大小，確定不等式的解集．解∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0時(shí)，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；②a＝0時(shí)，x2＞0，解集為{x|x∈R且x≠0}；③a＜0時(shí)，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).綜上所述：當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).總結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：(1)二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．例3：已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[審題視點(diǎn)]化為標(biāo)準(zhǔn)形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0與a≠0討論．當(dāng)a≠0時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0.))解原不等式等價(jià)于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，顯然a＝－2時(shí)，解集不是R，因此a≠－2，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＞0，,Δ＝42－4a＋2a－1＜0，))整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－2，,a－2a＋3＞0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－2，,a＜－3或a＞2，))所以a＞2.故a的取值范圍是(2，＋∞)．總結(jié)：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時(shí)，b＝0，c＞0；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0；))不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時(shí)，b＝0，c＜0；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))例4：已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．解一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝a.①當(dāng)a∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為[－3,1]．解二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,a＜－1，,g－1≥0.))解得－3≤a≤1.所求a的取值范圍是[－3,1]．例5：.【2012高考重慶文2】不等式的解集是為（A）（B）（C）（-2，1）（D）∪【答案】C【解析】原不等式等價(jià)于即，所以不等式的解為，選C.例6：【2012高考江西文11】不等式的解集是___________?！敬鸢浮俊窘馕觥吭坏仁降葍r(jià)為或，即或，解得或，所以原不等式的解集為。鞏固作業(yè)：（要求例題講解后完成，根據(jù)自己實(shí)際情況有針對(duì)性地選擇完成）A組：1．（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（5）不等式的解集為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【命題意圖】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.【解析】利用數(shù)軸穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故選C2.【2012高考湖南文12】不等式x2-5x+6≤0的解集為______.【答案】【解析】由x2-5x+6≤0，得，從而的不等式x2-5x+6≤0的解集為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法，考查簡(jiǎn)單的運(yùn)算能力.3.【2102高考福建文15】已知關(guān)于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】．【解析】恒成立，即，易得.4.(2011上海理)不等式的解為或。5、（2011安徽文）函數(shù)的定義域是.解：（－3,2）【命題意圖】本題考查函數(shù)的定義域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由可得，即，所以.6.函數(shù)的定義域?yàn)?.若不等式的解集是，則b=__-2____c=__-3____.8.關(guān)于的不等式的解集是空集，那么的取值區(qū)間是[0，4] 9.若關(guān)于x的不等式的解集為R，則的取值范圍是10.若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)p=.（答：）11.不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，則不等式cx2+bx+a＜0的解集是12.若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是13.解不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）原不等式化為，解集為（2）原不等式化為，解集為R（3）原不等式化為，解集為（4）由得點(diǎn)撥：解一元二次不等式要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)、對(duì)應(yīng)方程的判斷、以及對(duì)應(yīng)方程兩根大小的比較.B組：1.若0<a<1，則不等式的解是（A）A.B.C.D.2.若0＜a＜1，則不等式（x－a）(x－)>0的解集是（C）A．(a，)B．(，a)C．(－∞，a)∪(，+∞)D．(－∞，)∪(a，+∞)3.若不等式的解集為，則下列結(jié)論中正確的是（C）A.B.C.D.4．已知,,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（D）A．B．C．D．5．關(guān)于的不等式的解集是，則a＋b的值是（D）A．-24 B．－14 C．14 D．246.已知全集U=R,集合A={x|},B={x|},則CR等于(B)A. B.C. D.7.在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算：，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（C）..8.設(shè)，解關(guān)于的不等式：略解：9．解關(guān)于x的不等式(1－ax)2＜1.解由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，當(dāng)a＝0時(shí)，x∈?.當(dāng)a＞0時(shí)，由ax(ax－2)＜0，得a2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))＜0，即0＜x＜eq\f(2,a).當(dāng)a＜0時(shí)，eq\f(2,a)＜x＜0.綜上所述：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式解集為空集；當(dāng)a