人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)4：7 3 2 離散型隨機變量的方差練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.3.2離散型隨機變量的方差基礎(chǔ)達標一、選擇題1．設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和eq\o(A,\s\up6(－))，且P(A)＝m，令隨機變量X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)〖解析〗由題意知X服從兩點分布，故D(X)＝m(1－m)．〖答案〗D2．已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，則D(2X－5)＝()A．6 B．8C．3 D．4〖解析〗E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，∴D(X)＝eq\f(1,5)×〖(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2〗＝2，∴D(2X－5)＝4D(X)＝4×2＝8.〖答案〗B3．設(shè)隨機變量X的概率分布列為P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0，1)，則E(X)，D(X)的值分別是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p〖解析〗易知X服從兩點分布，∴E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．〖答案〗D4．以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩運動員在比賽中得分情況為X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽，派哪位運動員參加較好？()A．甲 B．乙C．甲、乙均可 D．無法確定〖解析〗E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好．〖答案〗A5．設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，隨機變量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均為0.2，隨機變量X2取值eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(x3＋x4,2)，eq\f(x4＋x5,2)，eq\f(x5＋x1,2)的概率也均為0.2，若記D(X1)，D(X2)分別為X1，X2的方差，則()A．D(X1)>D(X2)B．D(X1)＝D(X2)C．D(X1)<D(X2)D．D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1，x2，x3，x4的取值有關(guān)〖解析〗由題意可知E(X1)＝E(X2)，又由題意可知，X1的波動性較大，從而有D(X1)>D(X2)．〖答案〗A二、填空題6．若某事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差等于0.25，則該事件在一次試驗中發(fā)生的概率為__________．〖解析〗設(shè)該事件在一次試驗中發(fā)生的概率為p，事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)記為X，則X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.〖答案〗0.57．已知隨機變量X的分布列為X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)且E(X)＝1.1，則D(X)＝__________．〖解析〗由隨機變量分布列的性質(zhì)可得p＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,10)＝eq\f(1,2).又E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋x·eq\f(3,10)＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.〖答案〗0.498．隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若E(X)＝eq\f(1,3)，則D(X)＝______．〖解析〗由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，,c－a＝\f(1,3)，))解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).〖答案〗eq\f(5,9)三、解答題9．已知海關(guān)大樓頂端鑲有A，B兩面大鐘，它們的日走時誤差分別為X1，X2(單位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根據(jù)這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量．解由題意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．綜上可知，A大鐘的質(zhì)量較好．10．甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護區(qū)：Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．解甲保護區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學期望和方差為：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區(qū)違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學期望和方差為：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定．能力提升11．若X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3)C．3 D.eq\f(11,3)〖解析〗x1，x2滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3).))∵x1<x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.〖答案〗C12．為選拔奧運會射擊選手，對甲、乙兩名射手進行選拔測試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量X，Y，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的數(shù)學期望與方差，以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人．解(1)依題意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴X，Y的分布列分別為X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(環(huán))；E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(環(huán))；D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(X)>E(Y)，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又因為D(X)<D(Y)，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定．所以，甲比乙的技術(shù)好，故應選拔甲射手參加奧運會．創(chuàng)新猜想13．(多選題)已知隨機變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則下列式子正確的是()A．E(X)＝－eq\f(1,3) B．D(X)＝eq\f(23,27)C．P(X＝0)＝eq\f(1,3) D．P(X＝1)＝eq\f(1,2)〖解析〗由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故A正確；D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故B不正確；C顯然正確；P(X＝1)＝eq\f(1,6)，故D不正確．〖答案〗AC14．(多空題)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表所示．降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數(shù)Y的期望是________，工期延誤天數(shù)Y的方差為__________．〖解析〗由已知條件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<70