2025年高考數(shù)學模擬卷（二）含答案及解析

2025年高考數(shù)學全真模擬卷02（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?山西晉中?模擬預測）若（1—i）z=2,則|z+1|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

2.（5分）（2024?陜西咸陽?模擬預測）下列命題中，真命題是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要條件

B.Vx>0,ex>2X

C.Vx>0,2x>x2

D.。+匕=0的充要條件是￡=-1

3.（5分）（2024?黑龍江?模擬預測）已知向量同=3,|五一力=自+2耳,則麻+瓦=（）

A.V3B.2C.V5D.3

4.（5分）（2024?四川宜賓?模擬預測）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的

熱情，某校舉辦了“學黨史、育新人”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整

數(shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）

個頻率/組距

6a-------------

L/V_I——————I--------->

O丫405060708090100成瓦/分

A.a的值為0.005

B.估計這組數(shù)據的眾數(shù)為75分

C.估計成績低于60分的有250人

D.估計這組數(shù)據的中位數(shù)為竽分

5.（5分）（2024?貴州貴陽?三模）過點4（—3,—4）的直線1與圓C:（x—3）2+（y—47=9相交于不同的兩點

M,N,則線段的中點P的軌跡是（）

A.一個半徑為10的圓的一部分B.一個焦距為10的橢圓的一部分

C.一條過原點的線段D.一個半徑為5的圓的一部分

6.（5分）（2024?全國?模擬預測）若函數(shù)/（%）=V^sinw?>0）的圖象與函數(shù)g（%）=的圖象的

任意三個連續(xù)交點都是一個正三角形的三個頂點，則3=（）

ITIT717T

A.5B.4C.gD.8

7.（5分）（2024?內蒙古包頭?一模）如圖，底面4BCD是邊長為2的正方形，半圓面4PD,底面ABC。，

點尸為圓弧4。上的動點.當三棱錐P-BCD的體積最大時，PC與半圓面4PD所成角的余弦值為（）

A.—B.—C.—D.—

3663

8.（5分）（2023?四川成都?一模）已知函數(shù)y=（2—x）（lna）2-41na+;r+2,若久€[0,2]時,y20恒成立,

則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（0,e]B.[e,+oo）C.（0,1]D.[1,+oo）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.（6分）（2024?新疆喀什?三模）已知函數(shù)/（久）=V^sinxcosx-cos2%+T，則下列說法正確的是（）

A.f（x）=sin（2x_

B.函數(shù)/（久）的最小正周期為2TT

C.尤=方是函數(shù)/（久）圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)f（x）的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移工個單位長度得到

10.（6分）（2024?重慶?模擬預測）已知拋物線E：y2=8x的焦點為F,點F與點C關于原點對稱，過點C的

直線I與拋物線E交于4B兩點（點4和點C在點B的兩側），則下列命題正確的是（）

A.若BF為△力CF的中線，貝U|4F|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直線使得|4C|=四|4尸］

D.對于任意直線都有|4F|+|BF|>2|CF|

11.（6分）（2024?重慶?三模）已知函數(shù)/（x）=e2x-a%2?為常數(shù)），則下列結論正確的是（）

A.當a=l時，f（x）在（0/（0））處的切線方程為2x—y+l=0

B.若/（x）有3個零點，貝b的取值范圍為（e2,+8）

C.當a=e2時，x=1是/'（久）的極大值點

D.當a=：時，/（久）有唯一零點血，且—1<孫<—T

第H卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?四川宜賓?模擬預測）已知數(shù)列｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，的=1,且滿足a2"3,。6

成等比數(shù)列，則數(shù)列｛an｝前6項的和為.

13.（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知且1—cos2a=則黑獸=.

14.（5分）（2024?浙江臺州?二模）若排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有720種不同的

排法（用數(shù)字作答），其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?山東青島?三模）設三角形ABC的內角力、B、C的對邊分別為a、b、c且sin（B+C）=2

V3sin2p

（1）求角4的大小；

（2）若b=3,BC邊上的高為學，求三角形4BC的周長.

16.（15分）（2024?黑龍江?模擬預測）已知/O）=ax+bcosx在點處的切線方程為x+2y-it

=0.

⑴求a力的值；

（2）求/（%）在區(qū)間［O,TT］的單調區(qū)間和極值.

17.（15分）（2024?江西宜春?模擬預測）如圖1,在五邊形2BCDE中，AB=BD,ADLDC,￡4=ED且

EALED,將△AED沿4。折成圖2,使得EB=4B,F為AE的中點.

圖1圖2

（1）證明：BF〃平面ECD；

（2）若EB與平面A8CD所成的角為30。，求二面角4-EB-。的正弦值.

18.（17分）（2024?全國?模擬預測）2024年九省聯(lián)考后很多省份宣布高考數(shù)學采用新的結構，多選題由4

道減少到3道，分值變?yōu)橐活}6分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全部選對得6

分,有錯選或全不選的得0分.若正確答案是“兩項”的，則選對1個得3分；若正確答案是“三項”的，則選對1

個得2分，選對2個得4分.某數(shù)學興趣小組研究答案規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為p,正確

答案是三個選項的概率為1-P（其中0<p<1）.

（1）在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若「=求學生甲該題得

2分的概率；

（2）針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：

I：隨機選一個選項；II：隨機選兩個選項；in：隨機選三個選項.

①若P=且學生甲選擇方案i,求本題得分的數(shù)學期望；

②以本題得分的數(shù)學期望為決策依據，P的取值在什么范圍內唯獨選擇方案I最好?

19.（17分）（2024?江蘇蘇州?模擬預測）點列，就是將點的坐標按照一定關系進行排列.過曲線C：y=X3

上的點P1（X1，V1）作曲線C的切線A與曲線C交于「2（乂242），過點P2作曲線C的切線6與曲線C交于點「3（”3，乃），

依此類推，可得到點列：尸2（%2，，2），「3（%3》3），…，Pn&,yn），…，已知%1=1.

⑴求數(shù)列佛卜｛y九｝的通項公式；

（2）記點P九到直線。+1（即直線乙+1P九+2）的距離為〃，

（I）求證:十+2+…+:＞2；

（II）求證：t■+'T----＞《（1一］）,若71值（幾＞0,九€N*）與（I）相同，則求此時看+看H-------卜今的最小

值.

2025年高考數(shù)學全真模擬卷02（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?山西晉中?模擬預測）若（1—i）z=2,則|z+1|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

【解題思路】先由（l-i）z=2求出復數(shù)z,從而可求出z+1,進而求出|z+l|.

【解答過程】由（1—i）z=2,得2=2V=l+i,

所以z+1=2+i,

所以上+1|=，22+12=遮,

故選：A.

2.（5分）（2024?陜西咸陽?模擬預測）下列命題中，真命題是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要條件

B.Vx>0,ex>2X

C.\fx>0,2x>x2

D.。+6=0的充要條件是蔡=一1

【解題思路】舉反例來判斷ACD,利用指數(shù)函數(shù)的性質判斷B.

【解答過程】對于A,當a=2,6=1時，滿足ab>l,但不滿足a>1力>1,故"a>1力>1”不是“ab〉1”的

必要條件，故錯誤；

對于B,根據指數(shù)函數(shù)的性質可得，對于即e，>2。故正確；

對于C,當x=3時，2X<%2,故錯誤;

對于D,當a=b=O時，滿足a+6=0,但,=—1不成立，故錯誤.

故選：B.

3.（5分）（2024,黑龍江,模擬預測）已知向量|可=313-瓦二江+2瓦,則|五+瓦=（）

A.V3B.2C.V5D.3

【解題思路】對同-瓦=|2+2臼兩邊平方化簡可得片+2限石=0,再對同+向平方化簡后再開方即可.

【解答過程】由—向=同+2由兩邊平方得，a2+b2-2a-b=a2+4fo2+4a-b,

所以片+2a-b=0,

所以恒+評=a2+f+2a-b=\a\2=9,

所以同+同=3,

故選：D.

4.（5分）（2024?四川宜賓?模擬預測）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的

熱情，某校舉辦了“學黨史、育新人”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整

數(shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）

6a

5a

3a

2a

a

O"405060708090100成統(tǒng)/分

A.a的值為0.005

B.估計這組數(shù)據的眾數(shù)為75分

C.估計成績低于60分的有250人

D.估計這組數(shù)據的中位數(shù)為等分

【解題思路】對A,根據頻率和為1求解即可；對B,根據頻率分布直方圖的眾數(shù)判斷即可；對C,計算成

績低于60分的頻率，進而可得人數(shù)；對D,根據成績低于中位數(shù)的頻率為0.5計算即可.

【解答過程】對A,由題意，10x（2a+3a+3a+6a+5a+a）=1,解得a=0.005,故A正確；

對B,由直方圖可得估計這組數(shù)據的眾數(shù)為誓=75分，故B正確；

對C,由直方圖可得成績低于60分的頻率為10x(0.01+0.015)=0.25,故估計成績低于60分的有

1000x0.25=250人，故C正確；

對D,由A可得區(qū)間[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的頻率分別為0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05,

因為0.1+0.15+0.15+0.3>0.5,0.1+0.15+0.15<0.5,故中位數(shù)位于[70,80)內.

設中位數(shù)為X,?0.1+0.15+0.15+0.03x(X-70)=0.5,解得％=亍，故D錯誤.

故選：D.

5.(5分)(2024?貴州貴陽?三模)過點力(-3,-4)的直線/與圓。。-3)2+5-4)2=9相交于不同的兩點

M,N,則線段的中點P的軌跡是()

A.一個半徑為10的圓的一部分B.一個焦距為10的橢圓的一部分

C.一條過原點的線段D.一個半徑為5的圓的一部分

【解題思路】設P(x,y),根據垂徑定理得到CPL4P,再轉化為而?而=0,寫出相關向量，代入化簡即可.

【解答過程】設p(x,y),根據線段MN的中點為P,則CP1MN,即CP14P,

所以而AP=O,又4(-3,-4),C(3,4),而=(%+3,y+4),CP=(x-3,y-4),

所以(％+3)(x—3)+(y+4)(y—4)=0,即久2+y2=25,

所以點P的軌跡是以(0,0)為圓心，半徑為5的圓在圓C內的一部分，

6.(5分)(2024?全國?模擬預測)若函數(shù)/(%)=V^sin3%(3>0)的圖象與函數(shù)g(%)=逐cosa%的圖象的

任意三個連續(xù)交點都是一個正三角形的三個頂點，則3=()

IT71717T

A.5B.C.gD.g

【解題思路】解法一，令/'(x)=g(x)，可得a>x=kn+：(keZ),不妨取k=0,1,2,得三個連續(xù)的交點依

次為力C?旬，B(瑞-陶，。吃,遮)，求得△回，的高,再根據/(x)與g(x)圖象求得△4BC的高,建立

方程求得結果.

解法二，在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)/(%)=Vasins;和g(%)=遙cos3%的圖象，求得的高

為2遮，可得的邊長為4即/(久)的周期為4,得解.

【解答過程】解法一由咪《：理燒，令f(x)=g(%)，得tas=l,

所以3X=Mt+?keZ),不妨取k=0,1,2,得三個連續(xù)的交點依次為4七,⑹，B(g-V3),C

(”)，

因為△ABC為正三角形，"一套為△4BC的邊長，弓第一卷)為△ABC的高，

由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知在/(%)=V^sin3%和g(%)=遙Cosco%的圖象的交點處sin3%=cosoox=±

V2

所以△ABC的高為2xV6X^=2遮，

所以*伊一；)=2存

2\434"

解得3=

故選：A.

解法二：如圖，在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)/㈤=V^sina%和g(%)=V^cosa%的圖象，

設兩圖象的三個連續(xù)交點分別為4,B,C,連接AB,AC,BC,

則為正三角形，過點B作8D1/C,垂足為。，

由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知在f(%)=Vasins:和g(x)=V^cossr的圖象的交點處sins:=cosa%=±

V2

可

所以|BD|=2*返乂乎=271,

所以|陽=4,所以/(x)=Vasins的最小正周期T=4,即§=4,所以3=與

故選：A.

7.(5分)(2024?內蒙古包頭?一模)如圖，底面ZBCO是邊長為2的正方形，半圓面4尸。，底面ABCD,

點尸為圓弧力D上的動點.當三棱錐P-BCD的體積最大時，PC與半圓面APD所成角的余弦值為（）

【解題思路】過點P作。4。于點。，易得點P位于圓弧4。的中點時，，P_BCD最大，證明面P40,則

"PD即為PC與半圓面4PD所成角的平面角，再解四△PCD即可.

【解答過程】過點P作。P14。于點。，

因為面2PD1底面4BCD,面2PDC底面OPu面240,

所以。Pl平面4BCD,

則VP_BcD=|x|x2x2-0P=|0P<|,

當且僅當。p=l,即點P位于圓弧4）的中點時，Vp_BCD最大,此時。為2D的中點，

因為面4PD1底面4BCD,面力PDn底面ABC。=AD,CD1AD,CDu面4BCD,

所以CDJ.面PAD,

所以NCPD即為PC與半圓面力PD所成角的平面角，

在Rt△PCD中，CD=2,PD=V1+1=y/2,PC=V4+2=V6,

所以cos/CPD=等=乎，

即PC與半圓面APD所成角的余弦值為圣

故選：D.

8.（5分）（2023?四川成都?一模）已知函數(shù)y=（2—%）（lna）2-41na+x+2,若久E[0,2]時，yNO恒成立,

則實數(shù)Q的取值范圍為（）

A.(0,e]B.[e,+oo)C.(0,1]D.[1,+oo)

【解題思路】當x=0時，y=2(lna)2-41na+2=2(lna-l)2>0,所以問題轉化為-41na+420,求解即

可.

【解答過程】由y=(2-x)(lna)2-41na+x+2可得y=[l-(lna)2]%+2(lna)2-41na+2,

當a=e時，y=0符合題意；

當aKe時，y是關于x的一次函數(shù)，此時只需區(qū)間端點的函數(shù)值不小于0即可，

又當x=0時，y=2(lna)2-41na+2=2(Ina—l)2>0,

當x=2時，y=-41na+4,

所以—41na+420,即InaWl,解得0<a<e,

綜上，0<aWe.

故選；A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)(2024?新疆喀什?三模)已知函數(shù)/'(%)=V^sinxcosx-cos2久+，則下列說法正確的是()

A./(%)=sin(^2x—

B.函數(shù)/'(%)的最小正周期為2TT

C.久若是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)/'(%)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移工個單位長度得到

【解題思路】A由降哥公式，輔助角公式可得答案；

B由周期計算公式可得答案；

C將x=或弋入由A選項所得化簡式中可得答案；

D由函數(shù)圖象平移知識可得答案.

【解答過程】A選項，/(%)=V3sinxcosx-cos2x+1=^sin2x-|cos2x=sin(2x-故A正確；

B選項，由A選項結合周期計算公式可知最小正周期為三=it,故B錯誤；

C選項，將％=與代入2支三=去/(%)在此時得最大值，故％=方是函數(shù)f(%)圖象的一條對稱軸，故C正確；

D選項，y=sin2x的圖象向右平移已個單位得sin2(久=sin(2久一故D正確.

故選：ACD.

10.（6分）（2024?重慶?模擬預測）已知拋物線E:y2=8x的焦點為F,點F與點C關于原點對稱，過點C的

直線I與拋物線E交于48兩點（點4和點C在點B的兩側），則下列命題正確的是（）

A.若BF為△ACF的中線，貝“4F|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直線使得|4C|=或|力9|

D.對于任意直線Z,都有|4F|+|BF|>2|CF|

【解題思路】取4B兩點都在第一象限，設l:x=ky—2,k>0,4（的必）鳳%2）2），聯(lián)立拋物線，利用韋達定

理以及拋物線的定義來判斷各項正誤.

【解答過程】不妨取4B兩點都在第一象限，過4B分別作拋物線準線的垂線，垂足為DE,

設=ky-2,k>0,4（無1）1*（如丫2）血>%C（-2,0）,F（2,0）,

聯(lián)立E:y2=8%，得外―8ky+16=0且A=64（^2—1）>0,gpfc2>1,

所以yi+及=8fc,yiy2=16,

則+x2=k（y1+y2）-4=8k2-4,XIX2=。皆不=4,

對于A：若BF為△4CF的中線，則>2=矍，結合=16得，1二,所以｛,=,，

所以4（4,4近），B（l,2V2）,

此時|4F|=4+2=6,|BF|=1+2=3,所以|4F|=2|BF|,A正確；

對于B：由求根公式月=竺羅=虹/乎亙=4（k+癡二T）>4,

則X1=1>2,所以|AF|=刈+2>4,B正確;

對于C：若［4。|=四|4月，即M。=魚|2。|,明顯等腰直角三角形，

此時|C￡>|=|力即4仇一2,月），所以濟=8yi-16,解得yi=4,此時y2=4,

此時4B為同一點，不合題意，C錯誤；

2

對于D：|4F|+田?|=|力0+|BE|=Xi+x2+4=8k,

又2|CF|=8,結合/>1,都|4F|+|BF|>2|CF|恒成立，D正確;

故選：ABD.

11.(6分)(2024?重慶?三模)已知函數(shù)/(X)=e2x-a%2(a為常數(shù))，則下列結論正確的是()

A.當a=l時，f(x)在(0/(0))處的切線方程為2x—y+l=0

B.若/(約有3個零點，貝b的取值范圍為(e2,+8)

C.當a=e2時，x=1是/'(久)的極大值點

D.當寸，/(x)有唯一零點劭，M-l<x0<-|

【解題思路】根據導數(shù)的幾何意義，可判定A正確；根據題意，轉化為g(x)=詈與y=a的圖象有3個交點,

利用導數(shù)求得函數(shù)9(%)的單調性與極值，可判定B正確；當a=e2時，得到尸(%)=2(e2x-e2x),討論函數(shù)

/(約的單調性，結合極值點的定義，可判定C錯誤.當a=［時，得到廣(久)>0,函數(shù)f(x)單調遞增，結合

可判定D正確；

【解答過程】對于A中，當a=l時，可得f(x)=e2x—則f(0)=l/(x)=2e2x_2x，r(0)=2,所以切線

為2%-y+1=0,A正確：

對于B中，若函數(shù)/(%)=e2》-a%2有3個零點，即e?久=a"有三個解，

其中汽=0時，顯然不是方程的根，

2x

當工K0時，轉化為g(x)=*與y=a的圖像有3個交點,

2e2*x2-2e2*x=2e2x(x-l)

又由g'(x)=

X4X3

令g，(x)>0,解得％<0或x>l；令g，(x)<0,解得0<x<l,

所以函數(shù)9。)在(-8,0),(1,+8)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減;

所以當久=1時，函數(shù)g(x)取得極小值，極小值為g(l)=e2,

又由x70時，g(x)7+8,當x-—8時，g(x)7O且g(久)>0,

如下圖：

所以a>e2,即實數(shù)a的取值范圍為(e2,+8),所以B正確：

對于C中，當a=e?時，/(%)=e2x—e2%2,可得/(%)=2e2%—2e?%=2缶2工—e2%),

令0(%)=e2x—e2%,g'Qr)=202%七2在R上單調遞增，

且，(0)=2-e2<00(1)=e2>0,所以存在如G(0,1)使得歐⑹=0,

所以在(一8,第0)上夕(%)<0,g(%)單調遞減，

在(配,+8)上］(汽)>0,g(%)單調遞增，又g(l)=0,

所以在(%o，l)上g(%)V0,即/(%)單調遞減，

在(1,+8)上g(%)>0,即/(%)單調遞增，

所以％=1是/(%)的極小值點，所以C錯誤.

對于D中，當a=T時，p(x)=2e2x—x=2^e2x—

設h(%)=e2x-|x,可得〃(%)=2e2x-1,

當?shù)赩嗎時，"(%)<0,九(%)在(一8,嗚)單調遞減；當久>嗎時，"(%)>0旗%)在(嗚,+8)單調遞增，

所以當％=靖時，Wmin=^(ln=e21n2-1ln1=^+|ln2>0,所以h(%)>0,

所以((%)>0,所以函數(shù)/(%)在R上單調遞增，

又因為/(-1)=e-2-1<0/(-1)=e-/>0,EP/C-l)0,

所以/'(x)有唯一零點％o且-1<Xo<所以D正確；

故選：ABD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?四川宜賓?模擬預測)己知數(shù)列｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，即=1,且滿足a2，。3，。6

成等比數(shù)列，則數(shù)列｛時｝前6項的和為—二24_.

【解題思路】設數(shù)列｛斯｝公差為d,再根據。2/3,。6成等比數(shù)列求解可得d=-2,進而可得｛an｝的通項公式求

解即可.

【解答過程】設數(shù)列｛an｝公差為d,由。2&延成等比數(shù)列可得后=a2a6，

即(l+2d)2=q+d)(l+5d),BPd2+2d=0,因為公差不為0,故d=-2.

故冊=1-2(n—1)=-2n+3.

故｛即｝前6項的和為1-1-3-5-7-9=-24.

故答案為：-24.

13.（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知a,066中），且1—cos2a=*黑⑹，則言答襄=一！_

【解題思路】利用二倍角公式，同角關系，兩角和與差的正切公式變形求解.

sin2asin(5+0)7曰1-cos2acos/3

【解答過程】由1—cos2a=

-1+sin/?、sin2a1+si*

2siMQ二cos2g：sin25

2sinacos?-cos^f+sin^+2sinfcosf'

一一.sincrcos--sin-tan—tan-

所以號吧=力2,即tana=42=tan(：今

cosacos-+sin-1+tan-tan-

2242

又a-e&ir）,所以a=W+m即戊+與=季

tana+tan-

所以2=tan(a+1)

1—tanatan-=tan7=L

2

故答案為：1.

14.（5分）（2024?浙江臺州?二模）若排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有」22__種不同的

排法（用數(shù)字作答），其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為_|.

【解題思路】（1）直接利用排列數(shù)計算即可;

（2）相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，計數(shù)后，利用古典概型求概率.

【解答過程】排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有鹿=6x5x4x3x2xl=720種不同的

排法；

記事件/:恰有兩首歌曲相鄰，則事件/包含：甩x/x題=3x2x1x3x2x4x3=432

故P（4）=糕=1.

故答案為：720；I

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?山東青島?三模）設三角形ABC的內角力、B、C的對邊分別為a、b、c且sin（B+C）=2

V3sin21.

（1）求角力的大?。?/p>

（2）若b=3,BC邊上的高為亨，求三角形2BC的周長.

【解題思路】（1）利用內角和為180°化簡sin（B+C）=sin4利用二倍角公式化簡siM^=上箸，再利用

輔助角公式化簡即可求得4=3

（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.

【解答過程】（1）因為4B,C為的內角，所以sin（8+C）=sin4

因為sin2^=1一:\所以sin（B+C）=2V^sin2g可化為：sin4=g（1一cos4）,

即sinA+VScos/l=V3,即sin（4+勺=等，

因為4+三倍,?），解得：4+詈與，即2=1

（2）由三角形面積公式得Jb.csina=Jx*ia,b=3代入得：＜X3?csin￡=Jx蜉a,

NN7zoz7

所以＜2=孝的由余弦定理a?=爐+?2-26ccosA=為2得：c?+4c—12=0,

解得：c=2或c=一6舍去，即a=77,

所以△力BC的周長為5+V7.

16.（15分）（2024?黑龍江?模擬預測）已知/'（x）=ax+6cosx在點處的切線方程為久+2y-n

=0.

（1）求a,b的值；

（2）求f（久）在區(qū)間［O,TT］的單調區(qū)間和極值.

【解題思路】（1）由題意可得卜+2對1\=°,解方程組可求出a,b的值；

（2）由導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求出極值.

【解答過程】(1)由/'(x)=ax+bcosx,得((%)=a-6sinx,

因為f（久）=ax+6cosx在點g,/（3）

處的切線方程為x+2y-ir=0,

—71=0

所以2

—F2

所以2

a—bsin^=—a—b=--

解得a=,b=1；

(2)/(x)=-%+cosx,fr(x)—--sinx,令［(x)=0,

因為工€［0,伺，所以%1=5,或刀2=詈

當Xe（05）時，f（%）>0,/。）單調遞增，

當％69片）時，r（x）<0J（x）單調遞減，

當xe僧,冗）時，f（x）>0/（x）單調遞增.

所以人支）極大值為啜）=：X1="+容極小值為：X*+COS?=*容

綜上所述，/（%）在區(qū)間［0,1T］上的單調遞增區(qū)間為（0,g和償?shù)叮?，單調遞減區(qū)間為g,§；

極大值為"+手，極小值為冷孚

17.（15分）（2024?江西宜春?模擬預測）如圖1,在五邊形2BCDE中，AB=BD,ADVDC,EA=ED且

EA1ED,將△AED沿4）折成圖2,使得EB=AB,F為4E的中點.

圖1圖2

⑴證明：BF〃平面ECD；

（2）若EB與平面4BCD所成的角為30。，求二面角4-EB-D的正弦值.

【解題思路】（1）取4。的中點G,連接BG,FG,從而證明2G〃平面EC。，F(xiàn)G〃平面EC。，即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得證.

（2）推導出4E1平面BFG,BG1平面E4D,平面瓦4。J.平面4BCD,連接EG,以G為坐標原點，GB,GD,

GE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角4-EB-C的正弦值.

【解答過程】（1）取2。的中點G,連接8G,FG,

■■■AB=BD,G為4D的中點,■-■BGA.AD,

y.AD1DC,：.BG//CD.

又BGC平面ECD,CDu平面ECD,.?.BG〃平面ECD.

???F為4E的中點，.-.FG//ED.

又FGC平面EC。，EDu平面ECD,FG//平面EC。，

又BGCFG=G,BG,FGc^BFG,二平面BFG〃平面ECD,

又BFu平面BFG,；.8尸//平面ECO.

（2）-EAIED,由（1）知FG//ED,??.FG1AE,

又EB=4B,F為4E的中點，.-.BF1AE,

又BFCFG=F,8F,FGu平面BFG,.?.4E1平面BFG,

又BGu平面BFG,：.BGX.AE,

y.BG!AD,ADCtAE=A,4D/Eu平面EAD,BG1平面E2D,

又BGu平面ABC。，.??平面E4D1平面48C。，

連接EG,-：EA=ED,G為AD的中點，???EG14D,

又平面E40n平面48CD=AD,EGc平面比4D,

EG15FBJXBCD,BGu平面ABC。，:.EGLBG,

以G為坐標原點，GB,GD,GE所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

NEBG是EB與平面4BCD所成的角，即NE8G=30。,

■：EA=ED,設E4=t（t>0）,則4。=魚3EG=*EB=&t,BG=凈,

G（0,0,0）1E（0,0,gt）,力（0,—孝t,0）,D（0,日t,0）,B（乎t,0,0）,

???麗=（爭,0,—苧t）,族=（0,先?t）,反=（o,一畀苧t）,

設平面/BE的法向量為九1=

（ni-EB=—=0__

則TTAE-^tv+^tz-O'令"1=1'得用=（1，3，回‘

設平面DBE的法向量為尼=（x2,y2,z2）,

nJ?EB=~tX2-^tZ2=0廠一

則］—>%2被,令刀2=1，得行=（1,丹遙），

^-DE=-^ty2+^tz2=0

設二面角A—EB-D的平面角為仇

I而?何I11

???IcosOI=|cos（可，怒>|=而向=京萬=7

所以sine=所-cos2J=茅,即二面角a—EB—D的正弦值為竽.

18.(17分)(2024?全國?模擬預測)2024年九省聯(lián)考后很多省份宣布高考數(shù)學采用新的結構，多選題由4

道減少到3道，分值變?yōu)橐活}6分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全部選對得6

分，有錯選或全不選的得。分.若正確答案是“兩項”的，則選對1個得3分；若正確答案是“三項”的，則選對1

個得2分，選對2個得4分.某數(shù)學興趣小組研究答案規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為p,正確

答案是三個選項的概率為1-P(其中0<p<1).

(1)在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若「=求學生甲該題得

2分的概率；

(2)針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：

I：隨機選一個選項；II：隨機選兩個選項；in：隨機選三個選項.

①若P=且學生甲選擇方案i,求本題得分的數(shù)學期望；

②以本題得分的數(shù)學期望為決策依據，P的取值在什么范圍內唯獨選擇方案I最好？

【解題思路】(1)由全概率公式求解即可；

(2)①記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②記xyz分別為“從四個選項中隨機選擇一個選項、兩個選項和三個選項的得分”，求出xyz的數(shù)學威望,

2-<

fP1

由題意可得J|(i_p)<|,解不等式即可得出答案.

10<p<I2

【解答過程】(1)記事件4為“正確答案選兩個選項”，事件B為“學生甲得2分”.

P[B)=P(4)P(B|4)+P(X)P(BZ)=|x0+|x^=p

即學生甲該題得2分的概率為今

(2)①記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，貝!IX可以取0,2,3,

-121131-1o

P(X=0)=5X豆+5x豆=王P(X=2)=5X0+5x渡=土

P(X=3)=|x^+|x