2020-2021學(xué)年廣西來賓市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年廣西來賓市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合，再進(jìn)行集合的交運(yùn)算，即可得答案；【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B.2．已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程為（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)，，且線段為直徑，可知圓心及直徑，半徑，進(jìn)而得到圓的方程.【詳解】圓心坐標(biāo)為，，，所以以線段為直徑的圓的方程為，故選：B.【點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．3．已知，則（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】首先求出，再求出即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以．故選：A4．與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線的方程，常用的方法：待定系數(shù)法，先定式（從直線的五種形式中選擇一種作為直線的方程），后定量（求出直線方程中的待定系數(shù)）.5．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由單調(diào)性的定義求解即可【詳解】解：任取，且，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，，因?yàn)?，所以，，，所以．故選：D6．已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列正確的是（）．A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間直線與直線，直線與平面以及平面與平面位置關(guān)系分別判斷.【詳解】A選項(xiàng)中，、都與垂直，此時(shí)，可知A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)中，可以在平面內(nèi)，可知B選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)中，可以在平面內(nèi)，可知D選項(xiàng)錯誤；故選：C.7．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)為上的增函數(shù)，由，，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為．故選：D.8．已知某商品的進(jìn)貨成本為10（元/件），經(jīng)過長時(shí)間調(diào)研，發(fā)現(xiàn)售價(jià)x（元）與月銷售量y（件）滿足函數(shù)關(guān)系式．為了獲得最大利潤，商品售價(jià)應(yīng)為（）A．80元 B．60元 C．50元 D．40元【答案】D【分析】依題意可得利潤函數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，利潤，令，則．當(dāng)且僅當(dāng)即（元）時(shí)利潤最大．故選：D.9．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由表示圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以最短距離為，最大距離為，所以的取值范圍為．故選：C10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，則，，的大小關(guān)系為（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)和對數(shù)運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，又，，又因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．故選：A11．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先取正方形的中心，連接，由知為異面直線與所成的角，再在中求的正弦即可.【詳解】連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，．故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.12．已知函數(shù)，若函數(shù)無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，代入解得，若使方程無解，只需即可，解得參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)，則的解為，由題意可知，無解，即，解得．故選：A二、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零可得出關(guān)于的不等式，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可知，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14．已知圓柱的底面半徑為1，若圓柱的側(cè)面展開圖的面積為，則圓柱的高為________．【答案】4【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式直徑求解.【詳解】設(shè)圓柱的高為，有，得．故答案為：4.15．若函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】-1或1【分析】根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以，得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故答案為：-1或116．如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，四邊形為矩形，，則四棱錐的外接球的表面積為________．【答案】【分析】先根據(jù)面面垂直，取平面的外接圓圓心G，平面的外接圓圓心H，分別過兩點(diǎn)作對應(yīng)平面的垂線，找到交點(diǎn)為外接球球心，再通過邊長關(guān)系計(jì)算半徑，代入球的表面積公式即得結(jié)果.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，在上取點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作平面、平面的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)，顯然點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，由，，可得，，，則半徑，故四棱錐外接球的表面積為．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.三、解答題17．計(jì)算下列各式的值（1）；（2）．【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】解：（1）；（2）．18．已知函數(shù)（且）．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）．【分析】（1）由不等式轉(zhuǎn)化為，分，兩種情況求解.（2）根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)，由求解.【詳解】（1）不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，此時(shí)不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，此時(shí)不等式的解集為.（2）,因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)，且，，所以，解得．19．如圖，在三棱柱中，，．（1）若三棱柱的體積為1，求三棱錐的體積；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)三棱柱的體積為1，由三棱錐的體積為三棱柱三棱柱的求解.（2）取的中點(diǎn)，連，，易得，則，,利用線面垂直的判定定理證得平面即可.【詳解】（1）設(shè)三棱柱的高為，的面積為，由三棱柱的體積為1，可得，可得三棱錐的體積為.（2）如圖所示：取的中點(diǎn)，連，,∵，∴，∴,∵，，∴∵，，∴,∵，，平面，，∴平面∵平面，平面，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明線線垂直的方法（1）定義：兩條直線所成的角為90°.（2）平面幾何中證明線線垂直的方法．（3）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b.（4）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.20．如圖，在長方體中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求點(diǎn)E到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)G，連GF，AG，可得GF為的中位線，即且，又E為AB的中點(diǎn)，則可證明四邊行AEFG為平行四邊形，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，可求得，再求得的面積，利用等體積法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)G，連GF，AG，如圖所示：∵G為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴且，∵E為AB的中點(diǎn)，，，∴且∴四邊行AEFG為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）由長方體的性質(zhì)可得：平面，∵平面，∴，在中，由，，可得，在中，由，，可得，又設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為d由，有，可得故點(diǎn)E到平面的距離為．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理，并靈活應(yīng)用，在求解點(diǎn)到平面距離時(shí)，常用等體積法求解，考查推理證明，計(jì)算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.21．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，M為圓C的圓心，過原點(diǎn)O的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均不在x軸上）．（1）若，求直線l的方程；（2）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線l的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離及，化簡計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)弦長公式及三角形面積，設(shè)，化簡面積可得,利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最值.【詳解】解：由直線l與圓C相交于兩點(diǎn)，直線l的斜率必定存在，設(shè)直線l的方程為（1）當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，由圓C的半徑為1，可知．圓心到直線l的距離為有，解得故直線l的方程為．（2）由圓心到直線l的距離為，可得設(shè)的面積為，有設(shè)，可得，有可得當(dāng)時(shí)，，故面積的最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.22．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）關(guān)于的方程恰有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值集合；（3）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）令，換元后結(jié)合二次函數(shù)知識可得值域；（2）先求出的解（用換元法），，這樣問題轉(zhuǎn)化為或恰有三個(gè)解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得方程有兩個(gè)等根．由此可得的值；（3）設(shè)，轉(zhuǎn)化