平面向量的概念、線性運算及其坐標運算-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第01講平面向量的概念、線性運算及其坐標運算

（5類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標表示向量垂直的坐標表示

向量垂直的坐標表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標表示

利用向量垂直求參數(shù)

2022年新U卷，第4題,5分平面向量線性運算的坐標表示數(shù)量積及向量夾角的坐標表示

數(shù)量積的坐標表示

2021年新n卷,第10題,5分坐標計算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡、求值

二倍角的余弦公式

向量加法的法則

2020年新II卷，第3題,5分無

向量減法的法則

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1了解向量的實際背景，理解平面向量的基本概念，理解向量的幾何表示

2掌握向量的加、減運算并理解其幾何意義

3掌握向量的數(shù)乘運算并理解其幾何意義以及兩個向量共線的含義

4理解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義

5會向量間的坐標運算

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運算及坐標運算，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)

知識點1向量的有關(guān)概念

知識點2向量的線性運算

核心知識點知識點3向量共線定理

知識點4向量的坐標運算

平面向量的概念、

考點1平面向量基本概念的綜合考查

線性運算及其坐標運算

考點2相等向量及其應(yīng)用

考點3平面向量線性運算的綜合考查

核心考點

考點4平面向量共建定理與點共線問題

考點5平行向量(共線向量)求叁數(shù)

知識講解

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

⑶單位向量：長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

二

a交換律：a+b=b+a；

加法求兩個向量和的運算三角形法則結(jié)合律：

(a+〃)+c=a+(〃+c)

a

平行四邊形法則

求。與〃的相反向量

減法〃一〃=〃+(一〃)

~b的和的運算a

三角形法則

|Xa|=m|a|,當(dāng)AO時,

A(/Z4)=(丸〃)4；(2+=

求實數(shù)2與向量。的貓與。的方向相同;當(dāng)

數(shù)乘

積的運算水0時，相與”的方向粗

k(a~\~b)—Xa~\~Xb

反;當(dāng)7=0時，Aa—O

1.平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”.對平面向量減法應(yīng)抓

住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果.

2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個字母看待即可，其運算方法類似于代數(shù)中合并同

類項的運算，在計算時可以進行類比.

3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)力,使得b=癡.

向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可由共線求參數(shù)；對于線段的定比分點問題，

用向量共線定理求解則更加簡潔.

(1)若扇=4而+〃(文U，〃為常數(shù))，則B,C三點共線的充要條件是4+〃=1.

->1->>

(2)尸為線段力5的中點=0尸=a(CU+05).

4.向量的坐標運算

(1)兩點間的向量坐標公式：

，(西，yJ,B(x2,y2),罰=終點坐標一始點坐標=&一占,％-%)

(2)向量的加減法

。=(刈，乂)，b=(x2,y2):.a+b=(x1+x2,a-b=(xl-x2,-j2)

(3)向量的數(shù)乘運算

a=(x,v)，貝I：=2(x,j)=(/Lx,Ay)

(4)向量的模

a=(x,j),則a的模H=+y2

(5)相反向量

已知a=(x,y~),貝U—a=；已知

(6)單位向量

a=(x,y)

同向單位向量為

反向單位向量為/f，/一」

(7)向量的平行關(guān)系

a=(XQi)b=(x2,y2)a//ba=Abxvy2=x2yx

考點一、平面向量基本概念的綜合考查

典例引領(lǐng)

1.關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A.向量可以比較大小B.向量的?？梢员容^大小

C.速度是向量，位移是數(shù)量D.零向量是沒有方向的

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.

【詳解】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯誤，B正確；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；

零向量方向任意，D錯誤.

故選：B

2.下列結(jié)論正確的是：（）

A.若-與B都是單位向量，貝￡=九

B.若々與B是平行向量，貝壯=九

C.若用有向線段表示的向量而與不相等，則點7，N重合

D.直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的相關(guān)定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A、B,只有當(dāng)0與B的方向相同且模長相等時才有故A、B均錯誤；

對于C,若向量而=左，又因為/是公共點，所以M與N重合，故正確；

對于D,因為x軸與V軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故D錯誤；

故選：C.

3.（多選）下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；

B.若工.人則入3不是共線向量；

c.若|次卜叵q,則四邊形是平行四邊形；

D.汗與B同向，且同＞忖，則

【答案】BCD

【分析】根據(jù)平面向量的表示，共線向量的定義，以及向量的性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷

和選擇.

【詳解】對A：表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，故A正確；

對B：若"wB，也有可能Z,B長度不等，但方向相同或相反，即共線，故B錯誤；

對C：若|方卜|覺|,則刀，刀可以方向不同，所以四邊形43。不一定是平行四邊形，故C錯誤;

對D：因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，故D錯誤.

故選：BCD.

即0型測

1.下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行

C.模為1的向量都是相等向量

D.向量的模可以比較大小

【答案】D

【分析】由向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.

【詳解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯；

由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯；

長度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長為1的向量只規(guī)定了長度相等，方向不一等相同，故C錯;

向量的模長是一個數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.

故選：D.

2.下列說法正確的是（）

A.若1/區(qū),&//c>則a//2B.若3=B,則2）<3*

a

C.對任意非零向量汗，同是和它同向的一個單位向量D.零向量沒有方向

【答案】C

【分析】結(jié)合共線向量、單位向量、零向量的定義逐項判斷即得.

【詳解】對于A,當(dāng)各時，任意向量都與B共線，則不一定共線，A錯誤；

對于B,向量不能比較大小，B錯誤；

a

對于C,對任意非零向量I,同是和它同向的一個單位向量，C正確；

對于D,零向量有方向，其方向是任意的，D錯誤.

故選：C

3.下列說法錯誤的是（）

A.|CD|=|DC|

B.q,e2是單位向量，則同=同

C.若網(wǎng)＞|西,則益〉而

D.兩個相同的向量的模相等

【答案】C

【分析】由向量的模、單位向量等概念對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】對于A,|麗卜|皮|,故A正確；

對于是單位向量，則囿=同=故正確；

B,et,e21，B

對于C,若|萬卜口耳，則在，歷不能比較大小，故C錯誤；

對于D,兩個相同的向量的模相等，故D正確.

故選：C.

4.（多選）下列說法錯誤的是（）

A.若a與否都是單位向量，則a=3

B.方向為南偏西60。的向量與北偏東60。的向量是共線向量

C.直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量

D.若用有向線段表示的向量而與新不相等，則點M與N不重合

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的相關(guān)定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A,因為3與B的方向可能不同，故錯誤；

對于B,因為這兩個向量的方向是相反的，所以是共線向量，故正確；

對于C,因為x軸、y軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故錯誤；

對于D,假設(shè)點M與點N重合，則向量為7=前，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即點M與N不重合,

故正確；

故選：AC

考點二、相等向量及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

ab

1.（23-24高三上?遼寧?階段練習(xí)）設(shè)3,B都是非零向量，下列四個條件中，能使同=同一定成立的是

（）

A.a=-2bB.a2=b2C.&=近D.同=|可

【答案】C

【分析】根據(jù)非零向量的方向是否相同分別判斷各個選項即可.

ab_

【詳解】因為同=同，故落人同向.

對于A:3=-2b，a.b方向相反,A選項錯誤；

對于B/=M，得出同=瓦不能得出方向，B選項錯誤；

.ab

對于C:3=2譏。力方向向相同，則時=同成立，C選項正確；

對于D:同=「，不能確定原B的方向，D選項錯誤.

故選：C.

2.2024高三?上海?專題練習(xí)）已知向量,，程不共線，實數(shù)》,y滿足（％-歹后+（%+歹）最=,+3《，則》+2%

（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求％,y,進而求出答案.

【詳解】由q,e]不共線，實數(shù)工,歹￥兩足（1-jOq+（x+y）e2=ex+3e2,

\x—y=\

得解得％=2,k1,

[x+y=3

所以x+2y=4.

故選：A

即時檢測

I__________________

ab

1.（2023?北京大興?三模）設(shè)Z，B是非零向量，"1=0"是紜=曠’的（）

H\b\

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.

ab__

【詳解】由口二利表示單位向量相等，則。/同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出￡=

__ab

由3=3表示a,6同向且模相等，則母=間，

ab

所以"R=M"是3=3"的必要而不充分條件.

故選:B

2.已知平行四邊形/BCD的頂點/(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點。的坐標為

【答案】(1,5)

【分析】設(shè)出點。，利用向量的坐標的求法求出兩個向量的坐標，再利用向量相等的坐標關(guān)系列出方程組,

求出點的坐標.

【詳解】設(shè)。(x,y)則

在平行四邊形/BCD中

VZ§=（4,1）,DC=（5-X,6-7）

又：方=皮

4=5-xx=1

…解得

歹=5

故答案為：(1,5)

【點睛】本題考查向量的坐標的求法；相等向量的坐標相同.

考點三、平面向量線性運算的綜合考查

典例引領(lǐng)

1.(廣東考真題)如圖所不，已知在中，Z)是邊上的中點，則CD=()

—,1—?

B.-3C+-

22

--1—,----1--

C.-BC--D.紀+,期

22

【答案】B

【分析】由題意得而=工豆，再由麗=池+麗=-瑟+■1■詼，即可得到答案.

22

—?1.

【詳解】由于。是邊48上的中點，則區(qū)0=彳8N.

2

CD=CB+RD=-BC+-BA.

2

故選：B.

2.（海南?高考真題）在小8C中，。是AB邊上的中點，則而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】c

【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.

C

【詳解】/\

/—i—X

^=C3+15=C4+2I5=C4+2（CD-G4）=2C5-G4

故選：C

【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.

3.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）在梯形/BCD中，AB//CD,且/3=2C。，點”是的中點，則痂=

（）

2—1—1—■2-

A.-AB——ADB.-AB+-71D

3223

—1—3—1-

C.AB+—ADD.—AB+—^4D

242

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.

［詳解］依題意可得而=；下+：就方+（（而+皮）

=-AD+-AB+-AB=-AB+-AD.

24242

DC

故選：D

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知“（4,-2）,N（-6,-4）,且而=-;麗，則點P的坐標為（）

A.（1,1）B.（9,-1）C.（-2,2）D.（2,-1）

【答案】B

【分析】由的坐標得出-;胸，設(shè)點尸（尤/）,得出礪，根據(jù)稱=-g而列出方程組求解即可.

【詳解】因為M（4,-2）,N（-6,-4）,

所以一;荻=一；（一10,-2）=（54），

設(shè)P（x,y）,則A/P=（x-4,y+2）,

yjMP=--MN,

2

（x-4=5fx=9

所以、I，解得，，

[y+2=ib=-i

所以點尸的坐標為

故選：B.

即0唧（

1.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知向量刀=（2,-1）,就=（3,2）,點C（T,2）,則點2的坐標為（）

A.（-2,-1）B.（0,5）C,（2,-5）D.（2,-1）

【答案】A

【分析】由向量坐標的線性運算求解即可.

【詳解】由題意得，無=通-就=（2,-1）-（3,2）=（-1,-3）,

設(shè)點8的坐標為（x,y）,則。=（x+l/-2）=（-l,-3）,所以點2的坐標為（-2,-1）.

故選：A.

2.（山東?高考真題）已知平行四邊形/BCD,點、E,尸分別是43,8c的中點（如圖所示），設(shè)萬=&,

AD=b,則而等于（）

A

A.B.C,D.

【答案】A

【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；

【詳解】連結(jié)NC,則4c為“8C的中位線，

:.W=-AC=-a+-b9

3.(2024?河南三門峽?模擬預(yù)測)在。中，AN=3NC,BP=4PN,則萬=()

1―?3—?3—?4―?

A.-AB+-CAB.-AB——CA

5555

3—?1—?1—?3—?

C.-AB——CAD.-AB——CA

5555

【答案】D

【分析】運用平面向量加法、減法、數(shù)乘運算即可.

【詳解】如圖，

------??>，“”.”\1>》

因為麗=4而，WAP=AB+BP=AB+TN=4B+M（AN-4B）=M4B+MAN,

__3__

又而=3汨，所以NN=a/C，

—1—3—1—-3—

所以AP=—AB+—/C=—--CA.

5555

故選：D.

4.（2024?浙江紹興?二模）已知四邊形48CD是平行四邊形，反=2礪，DF^2FC，記市=￡,AD=b，

則麗=（）

1一2/1-2

A.——a+—bB.——a—

3333

2-1T2-17

C.—a+—bD.—a——b

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算求解即得.

【詳解】在。48co中，EC=2BE,京=2衣,AB=a,AD=b.

所以而=醞一赤=!①一工而=-‘2+2譏

3333

DFC

'E

AB

故選：A

考點四、平面向量共線定理與點共線問題

■典例_引__領(lǐng)___

1.（2022?四川綿陽?二模）已知平面向量a,6不共線，方=丘+6別BC^-a+3b^CD=a+3b,貝U（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量共線的定義一一判斷求解.

【詳解】對A,詬=前+麗==+3為+（2+3可=6反與重不共線，A錯誤；

對B,方=42+6友團==+3石則方與而不共線，B錯誤；

對于C,前==+3大麗=2+3右則就與而不共線，C錯誤；

對于D,就=與+正=43+6刃+卜"+3q=35+9刃=3函，

即K//麗，又線段/C與CD有公共點C,所以aC,D三點共線，D正確.

故選：D.

2.2024?浙江?模擬預(yù)測）已知向量耳，瓦是平面上兩個不共線的單位向量，且方=耳+2瓦，前=-3耳+2a,

山=3耳-6瓦,則（）

A.A、B、C三點共線B.A、B、。三點共線

C.A、C、。三點共線D.B、C、。三點共線

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線則￡=刀。€勺判斷即可.

【詳解】對A,因為方=可+2可，前=-3耳+2瓦，不存在實數(shù)彳使得方=彳數(shù)，故A、B、C三點不共

線，故A錯誤；

對B,因為方=百+2瓦，刀=3耳-6a,不存在實數(shù)2使得罰=文方，故A、B、。三點不共線，故B錯

誤；

_____2__.

對C,因為/=刀+就=-2耳+4瓦，刀=34-6耳，貝1%=-1方3,故A、C、。三點共線，故C正確;

對D,因為灰?=一3瓦+2瓦，麗=_方_刀=方=_3不+6瓦一百一2瓦=-4不+4無，不存在實數(shù)4使得

BC=ARD，故B、C、。三點不共線，故D錯誤.

故選:C

1

3.2024?貴州黔東南?二模）已知向量赤=（1,-3）,衣=（-1制11￡）,48?三點共線，則1211,+\卜.

【答案】1/0.5

【分析】由點共線可得tana=3,再利用兩角和的正切公式即可求得結(jié)果.

【詳解】因為4瓦。三點共線，所以益〃X，

所以tancr=-3x（-1）=3,

（3、tana+tan型],,

—可侍3（s彳3兀卜）in.h4E3P-1T51

4

故答案為：;

即時檢測

1.已知行為不共線向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD^3（a-by貝I]（）

A.4瓦。三點共線B.48,C三點共線

C.瓦C,。三點共線D.4C,。三點共線

【答案】A

【分析】運用向量的加法運算，求得而=與，從而得出結(jié)論.

【詳解】因為麗=灰?+麗=-2々+麗+3￡-35=￡+5否=石，所以4瓦。三點共線，

故選：A.

2.（2024?遼寧?二模）（多選）08C的重心為點G,點。，尸是“8C所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足

OP^OA+OB+OC，貝I（）

A.O,P,G三點共線B.OP=2OG

C.2OP=AP+1BP+CPD.點尸在AA8C的內(nèi)部

【答案】AC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷.

【詳解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因為點6為小8。的重心，

所以而+通+數(shù)=6,所以方=3面，

所以。,P,G三點共線，故A正確，B錯誤；

AP+BP+CP=AO+OP+Bd+OP+Cd+OP

=（Ad+Bd+CO）+?,OP,

S^JOP=OA+OB+OC

所以（前+麗+函）+3。？=一方+3麗=2而，2OP=AP+BP+CP,故C正確；

因為赤=3詬，

所以點尸的位置隨著點。位置的變化而變化，故點尸不一定在“8C的內(nèi)部，故D錯誤；

故選：AC.

考點五、平行向量（共線向量）求參數(shù)

典例引領(lǐng)

■——

1.（2024?上海?高考真題）已知％eR,-=（2,5）,B=（6,笈）,且3/區(qū)，則上的值為.

【答案】15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.

【詳解】-.-a/lb，：.2k=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

2.（2024?浙江杭州三模）已知不共線的平面向量B滿足夕+刀）〃（蘇+2否），則正數(shù)7=（）

A.1B.C.5/3D.2

【答案】B

【分析】思路一：根據(jù)向量共線的判定條件即可解出彳.思路二：由共線向量基本定理即可得解.

【詳解】方法一：由已知有1?2=①彳，2>0,解得力=JL

方法二：設(shè)（￡+/14=〃（/1￡+2/；）,〃€1<,由題意］;_￡>0，解得2=血.

故選：B.

3.（23-24高一下?廣東河源，期中）已知是兩個不共線的向量，a=ex-?>e2,b=kex+e2,若己與B是共線

向量，貝！］左=.

【答案】-:

【分析】根據(jù)向量共線可設(shè)B=進而對比系數(shù)列式求解即可.

【詳解】因為,,4是兩個不共線的向量，5=^-3e2,b=kex+e2,

G

若2與B是共線向量，設(shè)3=23,2R,則左q+4=A（^e1-3e2^=Ae1-3Ae2,

[k=A1

則I",解得一=-不

[1=-3X3

故答案為：

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量3=（-1,2）,B=（X,6）,若（”2a/儂-見貝口=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標表示，及向量平行的坐標表示進行計算即可.

【詳解】由題意得a—2b=（-1,2）—2（x,6）=（―1—2x,—10）,

25-5=（-2,4）-6）=（-2-x,-2）.

又（”2到/（20-彼），

所以一10（-2-外=一2（-1-2x）,

解得x=-3.

故答案為：-3.

即時

1.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）設(shè)向量3=（1b=（2,k*12）,若,/底，則實數(shù)人的值為（）

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】D

【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.

【詳解】a//b，故左2-2（左一;）=0,解得左=1.

故選：D

2.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知平面向量,，色不共線，。=（2左-1）,+2%,石=,-%，且3〃3，貝！]左=

（）

13

A.—B.0C.1D.一

22

【答案】A

【分析】依題意可得3=），根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.

【詳解】因為4=（2左一1鳩+2。，[=,-62且）〃石,

所以a=正,即（2左一1鳩+24=t（ex-e2j,

又4,最不共線,

t=—2

2k-l=t

所以2「解得k=-\

故選：A

3.(2024?江蘇?二模)已知非零向量a=(cos2a,sin(a+；)),b=(sin(?+^),1),若展//B，則sin2a=()

43

A.-1D.-----C.一D.-

1055

【答案】D

■JT|

【分析】利用兩個向量平行的性質(zhì)可得sin2（a+R=cos2a,化簡可得tana=§,利用齊次式即可得到答

案.

Tlk,TC

cos2aw0a^-+-L-

42(左￡Z,左2￡Z)

【詳解】因為Z，書為非零向量，所以sm(a+扣O,即'

71.

aw~—+K2TI

兀1-cos|2aH—

因為Z//B，所以5山2（戊+:）=852環(huán)則I2,

4=cos2a

2

即1+sin2a=2cos2。,

即sin26Z+COS26Z+2sin6ifcos6Z=2cos2a-2sin2a,由于cos。w0,所以兩邊同除cos2a，

可得：3tan2a+2tana-1=0,解得：tana=：或tana=-1(舍去),

2

.2tana§3

所以sm2a1不「=*='?

1+tana[+15

9

故選：D

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（23-24高三下?江蘇揚州?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若卜卜W，則B.若卜卜W，則

C.若a=1,則a//BD.若々〃癡//",則a!1c

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【詳解】對于A：若同=W，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；

對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；

對于c：若［=3,貝！］方向相同，c正確；

對于D：若［//“//",如果3為零向量，則不能推出平行，D錯誤.

故選：C.

2.（22-23高一下?貴州遵義?階段練習(xí)）在四邊形/BCD中，若正=刀+筋，貝U（）

A.四邊形/3CD是平行四邊形B.四邊形/5C。是矩形

C.四邊形4BCD是菱形D.四邊形48CD是正方形

【答案】A

【分析】由就=礪+五5推出前=而，再根據(jù)向量相等的定義得BC=/O且8C///。，從而可得答案.

【詳解】因為就=刀+1萬，故就-礪=1萬，即就=N萬，

故3C=4）且8C//4D,故四邊形A8CD一定是平行四邊形，

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.

故選：A.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)。,E,尸分別為的三邊8C,C4/8的中點，則而+元=（）

1----1——

A.4DB.—ADC.-BCD.BC

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運算可得結(jié)果.

【詳解】EB+FC=^EC-BC^+^FB+BC）^EC+FB

=3萬+；工=:（方+硝=詬，

故選：A.

4.（2021?全國?二模）已知向量。和。不共線，向量您=0+加6，豌=5a+3b，麗=-3。+3Z?，若A、3、。

三點共線，則加=（）

A.3B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)4、B、。共線的條件得到而=4方，進而得到2〃+66=痛+加助，根據(jù)平面向量基本定理

中的分解唯一性，得到關(guān)于加,丸的方程組，求解即得.

【詳解】因為A、3、。三點共線，

所以存在實數(shù)九使得麗=4方，

BD=BC+CD=2a+6b^

所以2。+66=X。+mAb,

f2=2

?，-Vi，解得m=3.

[6=mA

故選：4

5.（2024?陜西西安?一模）已知點尸是。的重心，貝!J（）

―?1―?1—?—?1—?1—?

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP=-AC+~BCD.AP=-AB+-BC

3333

【答案】D

【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運算，即可求得答案.

【詳解】設(shè)3C的中點為。，連接4。，點尸是的重心，則P在N。上,

B.AP=-AD=-x^(AB+AC)=-(2AB+BC}=-AB+-BC

'332、,3、'33

2—?—?1-.?—>1—?

=-(AC+CB)+-BC=-AC——BC,

3333

6.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知點“（2,6）,8（-2,-3）,C（0,l）,。（（同，則與向量方+2而同方向

的單位向量為（）

【答案】A

【分析】由單位向量的定義、向量坐標的線性運算以及向量模的坐標公式即可求解.

【詳解】由題意益=（-4,-9）,函=《,5）,所以益+25=（3,1）,

AB+2CD

從而與向量方+2而同方向的單位向量為

AB+2CD\

故選：A.

7.（22-23高一下?江西九江?期中）設(shè)Z］為兩個非零向量，貝廣￡=2023『'是"￡=="的（）

\a\|^|

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合共線向量的定義分析判斷

【詳解】因為￡=2023坂，所以同向共線，所以冬=々，

\a\\b\

因為￡=g,所以同向共線，此時￡=2023各不一定成立，

\a\1*1

所以5=20233"是=2"的充分不必要條件.

\a\\b\

故選：A

二、多選題

8.（22-23高一下?吉林四平,階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

【答案】ACD

【分析】根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，判斷出A項的正誤；根據(jù)共線向量與相等向量的定義，判斷出B、D兩

項的正誤；根據(jù)單位向量的定義，判斷出C項的正誤.

【詳解】解：對于A,零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項正確；

對于B,根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故B項錯誤；

對于C,根據(jù)單位向量的定義，可知C項正確；

對于D,方向相同且模相等的兩個向量相等，因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D項正確.

故選:ACD.

三、填空題

9.（22-23高三上?福建廈門?開學(xué)考試）寫出一個與向量5=（1,2）共線的向量刃=.

【答案】（2,4）（答案不唯一）

【分析】根據(jù)共線向量定理求解即可

【詳解】與向量7=0,2）共線的向量為。=4（1,2）.

取4=2,可得出一個與向量2=（1,2）共線的向量為5=（2,4）

（答案不唯一，滿足筋（XeR）即可）.

故答案為：（2,4）（答案不唯一）

10.（2024?陜西西安?一模）已知平面向量工=（2,-1）1=（-4,x）,若石與M+刃）共線，則實數(shù)%=.

【答案】2

【分析】利用向量共線的坐標表示可得答案.

【詳解】a+b=（2,—1）+（—4,x）=（―2,x—1）,

若B與伍+@共線，貝卜4（l）+2x=0,

解得％=2.

故答案為：2.

■能力提-升--______

一、單選題

1.給出下列命題：

①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.

②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.

③2a=6（X為實數(shù)），則幾必為零.

④凡〃為實數(shù)，若須=成,貝壯與石共線.

其中正確的命題的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】因為兩個向量終點相同，起點若不在一條直線上，則也不共線，命題錯誤；由于兩個向量不能比

較大小，但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若；（幾為實數(shù)），則1也可以零，因此命題也

是錯誤的；若4〃為0,盡管有2a=〃5,則值與5也不一定共線，即命題也是錯誤的，應(yīng)選答案A.

2.已知，/（2,3）,川-4,5）,則與次共線的單位向量是（）

35巫、亞，叵］或八3屈屈、

A.e=B.e=

,-1010J

iolo>10廠而,

C.5=(-6,2)D.2=(-6,2)或。=(6,2)

【答案】B

AB

【分