2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之填空題：函數(shù)概念與性質(zhì)（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(填空題)：函數(shù)概念與性質(zhì)(10

題)

一.填空題(共10小題)

1.(2024?莆田模擬)己知函數(shù)/(x)=logax--(。>0且Z?>0).若/(x)W-1恒成立，則ab

的最小值為.

2.(2024?遼寧模擬)已知函數(shù)人龍)的定義域為R,滿足人x+l)-乎x)=0,且當xe(0,l］時,/(x)=Q"-京12,

貝U求一〃竽)的值為-

3.(2024?朝陽區(qū)校級模擬)若對任意的方>0,不等式(尤-0)/+1+.三0恒成立,則4的最大整數(shù)值為.

4.(2024?永州三模)已知函數(shù)“X)的定義域為R,f(x)=1,f(x)=2/(y),且對于04i

1

WX2W1,恒有/(尤1)W/(X2),貝行(前為：)=?

5.(2024?子長市校級三模)已知函數(shù)無)的定義域為R,滿足“龍)=0,/(-x)=-八元)，

當x?0,2］時，f(x)的定義域為R,f(x)=-/+2x+〃，則/(2023)=.

6.(2024秋?三元區(qū)校級月考)已知a,b為實數(shù)，若不等式|2o?+(4a+6)無+4a+b&2|尤+1］對任意xe［-,,1］

恒成立，則3a+b的最大值是.

7.(2024?三臺縣校級模擬)已知函數(shù)/(x)的定義域為R的奇函數(shù)，/(3)=0,對任意兩個不等的正實

數(shù)a,b都有"①一>0,則不等式/(2X-1)<0的解集為_________.

a—b

8.(2024?織金縣校級模擬)已知函數(shù)/(無)滿足/(x)=/(2-x),且/(x)是偶函數(shù)，在［0,1］上有了

(無)=2z-1,則/(5)=.

9.(2024?湖北模擬)己知函數(shù)/0)=/0出(4，+28+1+1)-%,若/(2a-l)<f(o+3),則實數(shù)a的取

值范圍為.

10.(2024?濰坊二模)請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式/(x)=.

Q/(1-%)=/(1+x)；

@f(x)至少有兩個零點;

③/(X)有最小值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(填空題)：函數(shù)概念與性質(zhì)(10

題)

參考答案與試題解析

一.填空題(共10小題)

1.(2024?莆田模擬)已知函數(shù)/(x)=log“-/(〃>0且Z?>0).若/(尤)W-1恒成立，則次?

的最小值為e.

【考點】函數(shù)恒成立問題.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】e.

【分析】分析可知a>\,求導(dǎo)分析可知，blna=\,由此可得ab=焉，設(shè)g(a)=磊,a>l,利用導(dǎo)

數(shù)求出函數(shù)g(。)的最小值即可.

【解答】解：函數(shù)/G)的定義域為(0,+8),

當OV〃V1時，易知/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則/(a)=loga。一d=1-CLb>0,不合題意；

當a>］時，//(%)=—r---bxb~r=-(-7^----xb),

J')xLnaxKblnaJ

i1

令/(xo)=0,則無o=(限)"

當xE(0,xo)時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當xWGo,+8)時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

則f(X)max=f(X0),

又/(x)W-1恒成立，且/(1)=-1,

則/0)=-1,gpblna=l,

kx0=1

則帥=品

設(shè)9(a)=篇，a>l,

易知當(1,e)時，g’(a)<0,g(〃)單調(diào)遞減,

當(e,+8)時，gr(〃)>0,g(a)單調(diào)遞增，

則g(〃)min=g(e)=e,即出？的最小值為e.

故答案為：e.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

2.（2024?遼寧模擬）已知函數(shù)次龍）的定義域為R,滿足火龍+1）-"x）=0,且當xe（0,1］時,/（x）

貝U武=1”義吳）的值為竿.

【考點】函數(shù)的值.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

…255

【答案】—.

【分析】根據(jù)已知條件分別求出后），渴），…，/（學(xué)），相加可得答案.

【解答】解：因為函數(shù)/（無）的定義域為R,滿足/（x+1）-2/（%）=0,

且當XW（0,1］時，/（%）=,%—4汽2,

所以解）=也A&）3=*,

潟）=尺+1）=2渴）可，

〃|）="|+1）=2渴）=1,

底）="|+l）=2f（|）=2,

煨）=抬+1）=2/弓）=4,

/（當=儲+1）=2煨）=8,

f號）=7?號+1）=2〃當=16,

〃苧）=/得+1）=2/號）=32,

所以丁=1+|+1+2+4+8+16+32=

255

故答案為：.

4

【點評】本題考查了函數(shù)求值應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.（2024?朝陽區(qū)校級模擬）若對任意的天＞0,不等式5-々），+1+°20恒成立,則4的最大整數(shù)值為2.

【考點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；直觀想象;

數(shù)學(xué)運算.

【答案】2.

【分析】分離參數(shù)aW蕓苧，利用換元法得aW華竽構(gòu)造函數(shù)/?）=華字利用導(dǎo)數(shù)研

究其單調(diào)性結(jié)合隱零點求最小值即可.

xex+l

【解答】解：原不等式等價于a4在x>0時恒成立,

ex-l

令必則上式化為aw嗎1

t—1

構(gòu)造函數(shù)f(t)=當竽

則/=t-2-lnt^

(if

(t)=t—2—Int(t>1)=g/(t)=--{->0,

所以g（t）在（1,+°°）上單調(diào)遞增,

又因為g(3)=1-歷3V0,g(4)=2-2/H2>0,

故小oe(3,4)使得g(to)=0,

故/G）在（1,如）上單調(diào)遞減，在（m，+8）上單調(diào)遞增,

tg/ntg+ltg(tg—2)+1

即f(t)>/(t)==%-1,

0%一1%-1

所以a^to-1f

又加（3,4）=^to-IE（2,3）,故〃的最大整數(shù)值為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的綜合運用，屬于中檔題.

4.（2024?永州三模）已知函數(shù)/（%）的定義域為R,f（x）+f（l-x）=1，/（x）=2/（y）,且對于0W元i

11

Wx2Wl,恒有/（xi）W/（冗2）,則=77?

【考點】抽象函數(shù)的周期性；函數(shù)的值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

1

【答案】—?

16

【分析】由題意可得〃寧）+哈=從而可得/（0）+渴）=］結(jié)合/（0）4/（1）=1,可得渴）=.

由此可得當xe&,今時，f（久）=再根據(jù)〃忐）=1/（2^4）=1/（2^4）=聶（翳）求解即可。

【解答】解：???/（>）=1-/（I-x）=1-2/（寧）=2/（貢，

?"(號)+吟=I-/(0)+解)=i

又,：f(0)+f<1)=1，

"⑴-渴)=：，/(I)=1+解)=2哈，

...當xe&,今時，f(x)=

???/囪加=2八旃)=4f(旃)=寸靖對=16-

,,』一,1

故答案為：—.

16

【點評】本題主要考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查了賦值法、迭代法的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.(2024?子長市校級三模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足“x)tf(4-x)=0,/(-%)=~f(x\

當x6[0,2]時，f(x)的定義域為R,f(x)=-^+2x+n,則/(2023)=-1.

【考點】抽象函數(shù)的周期性；函數(shù)的值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】-L

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及周期性即可代入求解.

【解答】解：-無)=-/(%),故/(無)為R上的奇函數(shù)，

(0)—n—0,則/(無)=-X2+2X,

,：f(x)=-/(4-x)=f(x-4),；.T=4,/(x)為周期為4的周期函數(shù)，

f(2023)=/(-1)=(1)=-1.

故答案為：-L

【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題.

6.(2024秋?三元區(qū)校級月考)已知a,b為實數(shù)，若不等式|2o?+(4a+6)x+4a+b&2|尤+1]對任意xe[-*,1]

恒成立，則3a+b的最大值是6.

【考點】函數(shù)恒成立問題.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】6.

【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為12a(x+1)+黑+加2,令r=x+l,f⑺=2a(?+1)+b,結(jié)合對勾函數(shù)

的性質(zhì)可求得-(/)<2,再令3〃+b=M(4〃+Z?)+〃(5Q+Z?),整理可得答案.

13

【解答】解：x1]=>X+1E[-,2],

414,

由12ax(4a+b)x+4〃+b|42|x+l|,得12a(x+1)2+b(x+1)+2〃|《2"+1|,

即12a(x+l)++Z?|W2.

3i

令/=x+l,貝lj正[一，2],即[2〃(r+4)+"W2.

4L

1

令f(/)=2〃(，+/)+/?,

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得t+3[2,f].

因為If(f)l42,即-24fG)<2,

所以「紀m

1—245a+匕42

令3a+b=m(4〃+Z?)+n(5。+/7),

則｛4〈+5九：3,解得｛爪=2

im+n=1in=—1

所以3〃+b=2(4〃+b)-(5?+/?)44+2=6,當且僅當4=-4,Z?=18時取等號，

故3a+b的最大值是6.

故答案為：6.

【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力，屬于中檔題.

7.(2024?三臺縣校級模擬)已知函數(shù)了(無)的定義域為R的奇函數(shù)，/(3)=0,對任意兩個不等的正實

數(shù)a,b都有*[君)>0,則不等式/(2*-1)<0的解集為(0,2).

【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(0,2).

【分析】先根據(jù)條件確定函數(shù)單調(diào)性，然后畫出函數(shù)的草圖，利用圖象解不等式.

【解答】解：不妨設(shè)a>b>0,則“砌一，(")>0等價于/Q)>/(&),

：.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)了(無)為奇函數(shù)，??./(X)在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增，

,//(3)=0,：.f(-3)=0,作出/(x)的圖象如下：

結(jié)合/(x)的圖象得不等式/(2廠1)<0=2*-1<-3或0<2'-1<3

則不<-2或

：.20<2X<22,

：.0<x<2,

故答案為：(0,2).

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.(2024?織金縣校級模擬)已知函數(shù)無)滿足/(x)=/(2-%),且/(X)是偶函數(shù)，在［0,1］上有了

(x)=2八1,則/(5)=1.

【考點】抽象函數(shù)的奇偶性；抽象函數(shù)的周期性.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】1.

【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性及對稱性即可求解.

【解答】解：因為函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(2-%),且/(無)是偶函數(shù)，在［0,1］上有/(無)=2T-1,

所以7(5)=/(2-5)=/(-3)=/(3)=/(2-3)=/(-1)=/(1)=2-1=1.

故答案為：L

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及對稱性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2024?湖北模擬)已知函數(shù)/(久)=］0。2(4久+2>1+1)-%,若</(a+3),則實數(shù)°的取

值范圍為(-多4).

【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(-1,4).

【分析】由〃久)=/。出(2工+2-，+2),根據(jù)奇偶性、單調(diào)性定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷了(x)性質(zhì)，

再由性質(zhì)得|2a-l|<|a+3|即可求范圍.

【解答】解：由題設(shè)/(久)=x定義域為

log2cjx)=log2(2+2T+2),R,

xX

/(-x)=log2(2-+2+2)=/(x),即/(無)為偶函數(shù)，

在(0,+8)上，令/=2工+2)+2,且尤1>%2>0,

則ti—12=2%+29—2,2-2』=（2%—2*）（1--A^）,

1

由2%>2不,1-—r—>0,故n>/2,即函數(shù)/=2'+2）+2在（0,+8）上遞增，

2*1十42

而y=log2f在定義域上遞增，故/（x）在（0,+8）上遞增，

所以了（2。-1）</Q+3）,可得|2a-1|<|什3|今（2a-1）2<Q+3）2,

整理可得3a2-10a-8<0,

即（3a+2）（a-4）<0,可得一（VaV4.

故答案為:（-1,4）.

【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2024?濰坊二模）請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式/（x）=/-2x（答案不唯一）

@f（1-尤）=/（1+x）；

@f（%）至少有兩個零點；

@f（x）有最小值.

【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】/-2X（答案不唯一）.

【分析】舉例二次函數(shù)/（無）=7-2x,驗證其滿足題意即可.

【解答】解：取/（X）=/-2x,其對稱軸為x=l,滿足dy（l-x）=/（1+%）,

令/（x）=7-2尤=0,解得尤=0或2,滿足②/'（%）至少有兩個零點，

2

f（X）=x-lx—（尤-1）2-12-1,當尤=1,f（X）min--1,滿足③/■（X）有最小值.

故答案為：7-2元（答案不唯一）.

【點評】本題考查函數(shù)的對稱性，零點問題，屬于基礎(chǔ)題.

考點卡片

1.函數(shù)解析式的求解及常用方法

【知識點的認識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解.

求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有

1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等.

【解題方法點撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對稱軸，函數(shù)與坐標軸的

交點等；利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時利用待定系數(shù)法.

【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一，在三角函數(shù)的解析式中常考.是基礎(chǔ)題.

2.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【知識點的認識】

對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是

要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用.在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)/

(尤)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個X,都有-X)=小x),其圖象特點是關(guān)于(0,0)

對稱.②偶函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個羽都有-無)=/(尤)，其圖象特

點是關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用/(x)=-/(-%)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(%)=/(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

例題：如果/(x)=憑為奇函數(shù)，那么—.

解：由題意可知，/(%)的定義域為R,

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)=去*=一/(-苫)=>a=l

【命題方向】

奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視

這一個知識點.

3.抽象函數(shù)的奇偶性

【知識點的認識】

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù).由于抽象函數(shù)

表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一.

【解題方法點撥】

①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f(X+J)=f(X)tf(y)，它的原型就是y

=ALT；

②可通過賦特殊值法使問題得以解決

例：f(xy)=f(x)+f(y),求證/(1)=/(-1)=0

令x=y=l,則/(I)=2f(1)=>/(1)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；

【命題方向】

抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種.高考中一般以中檔題

和小題為主，要引起重視.

4.抽象函數(shù)的周期性

【知識點的認識】

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù).由于抽象函數(shù)

表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一.

【解題方法點撥】

①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f(x+y)=/(x)+f(y),它的原型就是y

=kx；

②可通過賦特殊值法使問題得以解決

例：f(xy)=f(x)+f(y),求證/(1)=/(-1)=0

令x=y=l,則/(I)=2f(1)=>/(1)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；

【命題方向】

抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種.高考中一般以中檔題

和小題為主，要引起重視.

5.函數(shù)恒成立問題

【知識點的認識】

函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的

參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適

當?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程.

【解題方法點撥】

-分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件.

-利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為.

一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量

【命題方向】

題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力.

關(guān)于X的不等式（1+相）尤1r+〃2</+1,對x€R恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是.

解：：（1+機）jc+mx+m<jc+1,對尤CR恒成立，

mx+mx+m<1,

i_、、

X/xE.R,m<f----恒成立，

xz+x+l

,?*J?+%+1—（X+］）2+［之4,

14

A0<,,<X