專題410數(shù)學歸納法(B)-《2022-2023學年高二數(shù)學人教A版2019選擇性單元測試AB卷》

專題4.10數(shù)學歸納法(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·四川·射洪中學高二階段練習（理））對某些，，用數(shù)學歸納法可以證明不等式：成立，第一步驗證不等式成立，正確的是（

）．A．時， B．時，C．時， D．時，【答案】D【分析】根據(jù)確定第一步對應的即可【詳解】由題，，時對應，分母每次增加1，故時，為第一步.故選：D2．（2022·甘肅慶陽·高二期末（理））用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊增加了（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當時，寫出左端，并當時，寫出左端，兩者比較，可得答案.【詳解】當時，左端，那么當時

左端，故由到時不等式左端的變化是增加了，兩項，同時減少了這一項，即，故選：．3．（2022·遼寧·東北育才學校高二期中）已知經(jīng)過同一點的個平面，任意三個平面不經(jīng)過同一條直線，若這n個平面將空間分成個部分．現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明這一命題，證明過程中由到時，應證明增加的空間個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)學歸納法的概念求解【詳解】當時，這三個平面將空間分成了8部分，若時，平面將空間分成個部分，則再添加1個面時，與其他個面共有條交線，此條交線過同一個點，將該平面分成個部分，每一部分將所在的空間一分為二，故．故選：A4．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，表示前n項和，且，，成等差數(shù)列，通過計算、、的值，猜想等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差中項求出，的關系，然后求出，，的值，化簡表達式的分子與分母，然后猜想結果．【詳解】由題意可知．當時，，時，，．，，分別為：、、．猜想當時，．故選：B5．（2022·全國·高二課時練習）欲用數(shù)學歸納法證明“對于足夠大的正整數(shù)n，總有”，則驗證不等式成立所取的第一個，最小應當是（

）．A．1 B．大于1且小于6的某個正整數(shù)C．10 D．大于5且小于10的某個正整數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，結合本題的題意，是要驗證，，…，時，命題是否成立，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，首先要驗證當取第一個值時命題成立；結合本題，要驗證時，左，右，成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，不成立，時，左，右，成立，當時，恒成立，所以．故選：C6．（2022·福建師大附中高二期末）用數(shù)學歸納法證明時，假設時命題成立，則當時，左端增加的項為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出時，不等式的左邊，再求出當時，不等式的左邊，得到當時，即可推出不等式的左邊比時增加的項.【詳解】當時，不等式左邊等于，當時，不等式左邊等于當時，不等式的左邊比時增加.故選：D7．（2022·全國·高二課時練習）函數(shù)，，…，，…，則函數(shù)是（

）．A．奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B．偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【答案】A【分析】因為是奇函數(shù)，可得也是奇函數(shù)，再根據(jù)數(shù)學歸納法證明對任意的

，有

是奇函數(shù).【詳解】易知是奇函數(shù)，，，，滿足，所以也是奇函數(shù)，假設

是奇函數(shù)，則

，即也是奇函數(shù)，因此對任意的

，有

是奇函數(shù)，故：也是奇函數(shù).故選：A8．（2019·浙江·溫州中學高二開學考試）已知數(shù)列滿足：，，記的前項和為，且，其中，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由已知遞推關系歸納出數(shù)列的通項公式，然后計算，由歸納法歸納出并用數(shù)學歸納法進行證明，從而得出后可得值．【詳解】，則，所以，，所以，，，，依此類推得，即，時，，時，，，由，得，是遞增數(shù)列，因此時，，時，時，，假設時，，則時，，綜上，時，，所以，顯然，即，所以．故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查求數(shù)列的通項公式與前項和，解題方法是歸納法，一是用歸納法求出通項公式，二是對數(shù)列的前項和，利用歸納法得出一般結論并用數(shù)學歸納法證明．對學生的運算求解能力、邏輯思維能力要求較高，屬于難題．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·全國·高二課時練習）對于不等式，某同學運用數(shù)學歸納法的證明過程如下：①當時，，不等式成立.②假設當時，不等式成立，即，則當時，，所以當時，不等式成立.上述證法（

）A．過程全部正確 B．時證明正確C．過程全部不正確 D．從到的推理不正確【答案】BD【分析】直接利用數(shù)學歸納法的步驟進行判斷即可.【詳解】易知當時，該同學的證法正確.從到的推理過程中，該同學沒有使用歸納假設，不符合數(shù)學歸納法的證題要求，故推理不正確.故選：BD.10．（2022·全國·高二專題練習）設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當成立時，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立B．若成立，則當時，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當時，均有成立【答案】AD【分析】由逆否命題與原命題為等價命題可判斷AC，再根據(jù)題意可得若成立，則當時，均有成立，據(jù)此可對B作出判斷；同理判斷出D的正誤.【詳解】對于A：當成立時，總有成立.則逆否命題：當成立時，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對于B：若成立，則當時，均有成立，故B錯誤；對于C：當成立時，總有成立.則逆否命題：當成立時，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯誤；對于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結合，所以當時，均有成立，故D正確.故選：AD11．（2022·山東濰坊·高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．是遞增數(shù)列C．是遞增數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)所給的遞推公式，利用基本不等式判斷A，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷B，利用特例判斷C，利用數(shù)學歸納法判斷D【詳解】對于A，由可得，故即，當且僅當即時取等號，故A正確；對于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，故為遞增數(shù)列，故B正確；對于C，由，由題意，，即，所以，，可知不是遞增數(shù)列，故C錯誤；對于D，由C可得，，滿足，當時，因為是遞增數(shù)列，所以，即，所以由可得，所以即，假設時，不等式成立，即，所以，所以當時，命題也成立，故D正確，故選：ABD12．（2020·山東·青島二中高三期中）已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前項和，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．存在常數(shù)，使得【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項公式，再逐項分析判斷作答.【詳解】，數(shù)列滿足，，即有，而，因此數(shù)列是常數(shù)列，有，則數(shù)列的通項公式是，對于A，令時，，而，即當時，不成立，A錯誤；對于B，，令，，即，數(shù)列是遞增的，有，即，B正確；對于C，用數(shù)學歸納法證明：當時，，當時，，即當時，不等式成立，假設當時，不等式成立，即，則，即當時，不等式成立，因此，成立，當時，，而，不等式成立，當時，，，所以，，C正確；對于D，，取，則，顯然當時，數(shù)列是遞增的，無最大項，所以不存在常數(shù)，使得成立，D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點睛：涉及數(shù)列最大最小項問題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國·高二單元測試）（，），則______．【答案】【分析】由題意先求出，兩式相減即可得出答案.【詳解】因為，所以，，所以：.故答案為：.14．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明“能被3整除”的第二步中，時，為了使用歸納假設，應將變形為______，從而可以用歸納假設去證明．【答案】或(寫出其中一個即可)【分析】使用數(shù)學歸納法時，需要用到時的結論，即，故應將變形為含有的等式.【詳解】假設時命題成立，即：能被3整除；當時，；或.故答案為：或.(寫出其中一個即可)15．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明“”時，當時，應證明的等式為______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學歸納法的定義及證明命題的方法步驟直接寫出結論作答.【詳解】依題意，當時，應證明的等式為：.故答案為：16．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)，若，，…，，猜想的函數(shù)表達式為______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】，，假設，即成立，則，對于也成立.所以一定有：故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：．【答案】證明見解析【分析】先證明當時，不等式成立，再假設當時，不等式成立，然后證明當時，不等式也成立，則由數(shù)學歸納法可知，不等式成立.【詳解】（1）當時，，不等式成立；當時，，不等式成立；當時，，不等式成立．（2）假設當時不等式成立，即．則當時，．因為，所以，從而，所以．即當時，不等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可以斷定，對任何都成立．18．（2022·河南·鄧州市第一高級中學校高二期末（理））設，，．(1)當時，試比較與1的大??；(2)根據(jù)（1）的結果猜測一個一般性結論，并加以證明．【答案】(1)；；；；(2)當，時，有，證明見解析.【分析】（1）求出的值即得；（2）利用數(shù)學歸納法證明即得.(1)∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．(2)猜想：當，時，有．證明：①當時，猜想成立．②假設當（，）時猜想成立，．當，．∵，∴，則，即，∴當時，猜想成立.由①②知，當，時，有．19．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列，滿足，．(1)求，，，的值；(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；(3)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，，，，(2)，證明見解析，(3).【分析】（1）分別令，2，3，4，結合已知遞推式可求出，，，的值；（2）根據(jù)（1）可得，然后利用數(shù)學歸納法證明即可，（3）由（1）得，然后利用錯位相減可求出結果.（1）因為，所以．因為，所以當時，，得，當時，，得，當時，，，當時，，得（2）猜想數(shù)列的通項公式．用數(shù)學歸納法證明如下：證明：①當時，由（1）知結論成立；當時，，結論成立．②假設時，結論成立，即．當時，．所以，即當時，結論也成立．根據(jù)①和②可以斷定，結論對一切正整數(shù)n都成立．（3）由（2）知，．所以，所以，所以，所以．20．（2022·全國·高一課時練習）是否存在常數(shù)a、b，使等式對一切正整數(shù)n都成立？猜測并用數(shù)學歸納法證明你的結論．【答案】或，證明見解析【分析】由、分別代入可得的值，進而猜想結論成立，最后用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】解：將、分別代入，得即所以或猜測對一切正整數(shù)都成立．證明：①當時，顯然成立；②假設時，成立；則當時，左邊右邊，所以時，等式也成立．綜合①②，等式對一切正整數(shù)n都成立．21．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學高二開學考試）數(shù)列對任意且，均存在正整數(shù)，滿足，，．(1)求可能值；(2)若，成立，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用遞推關系式可得，然后計算的值即可；（2）由題意可得，，然后利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項公式．（1）解：由，可得，所以或；（2）因為，，，，，以下用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當，明顯成立，假設時命題成立，即，則，則，命題得證．回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項公式：①若，則矛盾，②若，則，，，此時，，③若，則，，，，，事實上：矛盾．綜上可得．【點睛】本題主要考查數(shù)列中的遞推關系式，數(shù)列中的推理問題，數(shù)列通項公式的求解等知識，屬于難題．22．（2020·河南信陽·高二期中（理））已知，（其中）.(1)當時，計算及；(2)記，試比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）利用賦值法令求出，再令、兩式相減，即可求出；（2）令，可得，令，可得，即可得