第05講平面向量-2022年高一數(shù)學(xué)寒假課（2019）(原卷版)

第05講平面向量【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解向量的概念。2．掌握向量的運(yùn)算。3.掌握向量基本定理及坐標(biāo)表示。4.能利用向量解決相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題?！净A(chǔ)知識(shí)】一．位移與向量1.位移被“方向”和“距離”唯一確定，其中“距離”也被稱為位移的大小.一般的，像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量（也稱為矢量），向量的大小也稱為向量的模；只有大小的量稱為標(biāo)量，長(zhǎng)度、面積等都是標(biāo)量。2.我們用有向線段來(lái)直觀的表示向量，通常有向線段不帶箭頭的端點(diǎn)被稱為向量的始點(diǎn)（或起點(diǎn)），帶箭頭的端點(diǎn)被稱為向量的終點(diǎn).始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的有向線段所表示的向量，可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為，此時(shí)，向量的模用表示.3.始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，表示為：，4.模長(zhǎng)等于1的向量稱為單位向量，表示為：，二．向量的相等與平行1.一般的，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量，向量等于向量，記作，2.如果兩個(gè)非零向量的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量平行，向量與向量平行，記作，，兩個(gè)向量平行也稱為兩個(gè)向量共線。注意：零向量的方向是任意方向，所以規(guī)定零向量與任何向量都平行。三．向量加法的三角形法則1.向量加法的定義一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作，，作出向量,則向量稱為向量與的和（也稱為向量與的和向量）。向量與的和向量記作,因此,2.三角形法則一般的，當(dāng)與不共線時(shí)，求它們的和可用下圖所示．因?yàn)榇藭r(shí),正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則。

3.對(duì)任意向量，有4.向量的模與向量的模之間滿足不等式四．向量加法的平行四邊形法則1.一般地，當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，可以通過(guò)作平行四邊形的方法來(lái)得到它們的和：如圖所示，平面上任意給定兩個(gè)不共線向量,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作，，以，為鄰邊作一個(gè)平行四邊形,作出向量,因?yàn)?因此.上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則.

2.交換律：對(duì)任意向量，都有五．多個(gè)向量相加1.結(jié)合律：對(duì)任意向量，都有2.因?yàn)橄蛄康倪\(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，所有有限個(gè)向量相加的結(jié)果是唯一的，可以調(diào)換其中向量的位置，也可以決定相加的順序。為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量收尾相接，那么第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和。六．向量的減法的三角形法則1.向量加法的定義一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作，，作出向量,則向量稱為向量與的差（也稱為向量與的差向量）。向量與的差向量記作,因此,2.三角形法則一般的，當(dāng)與不共線時(shí)，求它們的差可用下圖所示．因?yàn)榇藭r(shí),正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量差法的三角形法則。3.相反向量給定一個(gè)向量，把與這個(gè)向量方向相反大小相等的向量稱為相反向量。向量的相反向量記作4.對(duì)任意向量，有5.向量的減法可看做向量加法的逆運(yùn)算，即6.對(duì)任意向量，滿足不等式七．?dāng)?shù)乘向量1.數(shù)乘向量的定義一般地，給定一個(gè)實(shí)數(shù)與任意一個(gè)向量,規(guī)定它們的乘積是一個(gè)向量，記作,其中：（1)當(dāng)且時(shí)，的模為,而且的方向如下：①當(dāng)時(shí)，與的方向相同；②當(dāng)時(shí)，與的方向相反．（2)當(dāng)或時(shí)，.上述實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量。由定義不難看出，數(shù)乘向量的結(jié)果是一個(gè)向量，而且這個(gè)向量與原來(lái)的向量共線（平行），即；數(shù)乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小。特別地，一個(gè)向量的相反向量可以看成－1與這個(gè)向量的乘積，即.當(dāng)和都是實(shí)數(shù)，且是向量時(shí)：是向量，也是向量；是實(shí)數(shù)，但是向量?？梢钥闯?2.向量平行如果存在實(shí)數(shù)，使得，則。3.三點(diǎn)共線一般地，如果存在實(shí)數(shù)，使得，則與平行且有公共點(diǎn)A，所以，三點(diǎn)共線。八．向量的加法與數(shù)乘向量的混合運(yùn)算1.一般地，對(duì)于實(shí)數(shù)和，以及向量，有.2.一般地，對(duì)于實(shí)數(shù)，以及向量與向量，有.九.向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法、數(shù)乘向量以及他們的混合運(yùn)算，統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。九．共線向量基本定理數(shù)乘向量一般地，有如下共線向量基本定理：如果且,則存在唯一的實(shí)數(shù)入，使得.在共線向量基本定理中：（1)時(shí)，通常稱為能用表示。（2)其中的“唯一”指的是，如果還有,則有.這是因?yàn)椋河煽芍?如果,則,與已知矛盾，所以,即.十．平面向量基本定理一般地，有如下平面向量基本定理：如果平面內(nèi)兩個(gè)向量與不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì),使得.平面向量基本定理中，當(dāng)與不共線時(shí)，“唯一的實(shí)數(shù)對(duì)”指的是用表示時(shí)，表達(dá)式唯一，即如果,那么.基底：平面向量基本定理是說(shuō)，在給定的平面內(nèi)，當(dāng)向量與不共線時(shí)，任意一個(gè)向量,都可以寫(xiě)成與的線性運(yùn)算（簡(jiǎn)稱為用與表示向量),而且表達(dá)式唯一，因此，平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量與組成的集合,常稱為該平面上向量的一組基底，此時(shí)如果,則稱為在基底下的分解式。十一．平面向量的坐標(biāo)如果平面向量的基底中，，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解。一般地，給定平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，對(duì)于平面內(nèi)的向量，如果，則稱為向量的坐標(biāo)，記作十二．平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系假設(shè)平面上兩個(gè)向量，滿足，則（1）；（2）；（3），；（4），；十三．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)為平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)為M,則（1）（2）十四．平面向量平行的坐標(biāo)表示；【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：向量的概念與表示例1．下列物理量：①質(zhì)量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3變1．以下選項(xiàng)中，都是向量的是（）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度考點(diǎn)二：向量的模、零向量與單位向量例2．下列說(shuō)法：①零向量是沒(méi)有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個(gè)向量共線.其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3變2．下列說(shuō)法正確的是（）A．向量與向量的長(zhǎng)度相等B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C．零向量沒(méi)有方向D．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)考點(diǎn)三：向量相等與向量平行（共線）例3．下列說(shuō)法正確的是（）A．向量與共線，與共線，則與也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量與不共線，則與都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行變3．已知向量，且，則向量的方向（）A．與向量的方向相同 B．與向量的方向相反C．與向量的方向相同 D．不確定考點(diǎn)四：向量加法的三角形法則例4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（）A． B． C． D．變4．在平行四邊形中，，，則等于（）A． B．C． D．考點(diǎn)五：向量加法的平行四邊形法則例5．已知點(diǎn)O是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（）．A． B．C． D．變5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D.設(shè)，，則向量＝（）A． B．C． D．考點(diǎn)六：向量加法的運(yùn)算律例6．化簡(jiǎn)：（）A． B． C． D．變6．向量化簡(jiǎn)后等于（）A． B． C． D．考點(diǎn)七：向量減法的法則例7．如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（）A． B．C． D．變7．在中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，則等于（）A． B． C． D．考點(diǎn)八：相反向量例8．若非零向量和互為相反向量，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）．A． B． C． D．變8．向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．考點(diǎn)九：向量減法的運(yùn)算律例9．化簡(jiǎn)（）A． B． C． D．變9．化簡(jiǎn)：（）A． B． C． D．考點(diǎn)十：向量數(shù)乘有關(guān)的計(jì)算例10．設(shè)是非零向量，，是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A．與的方向相同 B．與的方向相反C．與的方向相同 D．變10．設(shè)是非零向量,是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．考點(diǎn)十一：向量數(shù)乘幾何應(yīng)用例11．若，則下列各式中不正確的是（）．A． B． C． D．變11．已知，設(shè)，則（）．A． B． C． D．考點(diǎn)十二：平面向量的線性運(yùn)算例12．等于（）A． B． C． D．0變12．在中，D是AB邊上的一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．考點(diǎn)十三：基底的概念及辨析例13．若是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面的一組基底的是（）A． B．C． D．變13．設(shè)，是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，則以下各組向量中不能作為基底的是（）A．與 B．與C．與 D．與考點(diǎn)十四：利用平面向量基本定理求參數(shù)例14．如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C．1 D．變14．如圖，在中，，，若，則值為（）A． B． C． D．考點(diǎn)十五：用坐標(biāo)表示平面向量例15．如圖，向量，，的坐標(biāo)分別是________，___________，_____________．變15．在平面直角坐標(biāo)系中，若，，則________．考點(diǎn)十六：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例16．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐標(biāo)．變16．已知向量，，則（）A． B．5 C．7 D．25考點(diǎn)十七：直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式例17．求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）．變17．已知，，且C與A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，求C的坐標(biāo).考點(diǎn)十八：由向量平行（共線）求參數(shù)例18．已知向量，，且，則（）A． B． C．4 D．8變18．若向量，，，則（）A． B． C． D．考點(diǎn)十九：由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問(wèn)題例19．若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則（）A．2 B．4 C．3 D．5變19．若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值是（）A．6 B． C． D．2考點(diǎn)二十：向量在平面幾何中的應(yīng)用例20．如圖所示，分別在平行四邊形的對(duì)角線的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)和點(diǎn)，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.變20．設(shè)P，Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)（1）試用向量證明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.考點(diǎn)二十一：向量在平面幾何中的應(yīng)用力的合成例21．如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直于斜面向上的彈力．已知，求和的大?。?1．如圖，一個(gè)三角形角鐵支架ABC安裝在墻壁上，AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B處掛一個(gè)6kg的物體，求角鐵AB與BC所受力的大?。ㄈ。菊骖}演練】1.（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．2．（2021·山東·高考真題）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（）A． B．C． D．3.（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，，_______．4．（2021·全國(guó)·高考真題（文））若向量滿足，則_________.5．（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知向量，若，則__________．6.（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為_(kāi)___________；的最小值為_(kāi)___________．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．（2021·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高二階段練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則t的取值范圍為（）A． B．C． D．2．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別交AB，AC兩邊于與M，N（三角形頂點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)，且，，則2x+y的最小值為（）A． B． C． D．3．（2022·北京朝陽(yáng)·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．4．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．16 B．12 C．5 D．45．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高一期末）在中，，．若邊上一點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．6．（2021·貴州金沙·高二階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，，，是平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．若，則的最小值為（）A． B． C．0 D．2二、多選題7．（2021·湖北·公安縣教學(xué)研究中心高三階段練習(xí)）已知平面向量，且，則（）A． B．向量與的夾角為C． D．三、填空題8．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高一期末）下列命題中，正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____．①單位向量都相等；②若向量，滿足，則；③向量就是有向線段；④模