浙江省中考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)：解直角三角形及其應(yīng)用大題綜合（原卷版+解析）

05解直角三角形及其應(yīng)用大題綜合

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會實(shí)踐活動時(shí)，想利用

所學(xué)知識測量鐵塔的高度，他們先在點(diǎn)D處用測角儀測得塔頂B的仰角為65。,再沿CD

方向前行40米到達(dá)點(diǎn)A處，在點(diǎn)A處測得塔頂B的仰角為45。，已知測角儀AE高為1.5

米.請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù),求此塔3F的高.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sm65°?0.91,

2.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）圖1是一個(gè)太陽能面板，其側(cè)面如圖2,點(diǎn)C是的

中點(diǎn)，8C=30cm,支架CD可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)太陽光線與面板垂直時(shí)，吸收光能的效

率最高.若太陽光與地面夾角為54。，要想吸收光能的效率最高，求A端離地面的高

度.（參考數(shù)據(jù)：sin54°?0.81,cos54°?0.59,tan54°?1.38）

圖1圖2

3.（2023?浙江麗水?統(tǒng)考一模）如圖1,是一臺小型輸送機(jī)，其示意圖如圖2所示.已

知兩個(gè)支架的端點(diǎn)的距離AB=240cm,傳輸帶AE與支架所成的角/ABC=70。，支

架端點(diǎn)A離地面CD的高度AD=15cm,求支架端點(diǎn)8離地面的高度BC.（結(jié)果精確到

0.1m；參考數(shù)據(jù)sin70。a0.94,cos70。20.34,tan70°?2.75).

4.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）虎年歲末，臺州進(jìn)入輕軌時(shí)代，極大地方便了市民的出

行，如圖1是臺州市城鐵路S1線恩澤醫(yī)院站出入口的自動扶梯，圖2是其截面示意圖，

已知扶梯8C與購票廳地面的夾角N3CD=130。，扶梯的長度為12m,求扶梯的底端C

距離入口平臺的高度.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos50°?0.64,

tan50°?1.19）

正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

5.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺燈，圖2是臺燈的結(jié)構(gòu)圖，AC

是可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，是可以繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)的支架，C為燈泡的位置.量得

AB=10cm,AC=20cm,當(dāng)NC4B=127。時(shí)，求點(diǎn)C到以'的距離.（參考

數(shù)據(jù)，sin37°?0.6,cos37。它0.8,tan37°?0.75)

圖1圖2

6.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其

基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變-43C的大?。庑蔚倪?/p>

長不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅、C之間的距離）.經(jīng)測量，可在20。和

160。之間發(fā)生變化，（包含20。和160。），">=40cm.

（1）當(dāng)NADC=120。時(shí)，求此時(shí)3D的長；

⑵當(dāng)—ADC從20。變?yōu)?60。時(shí)，這個(gè)千斤頂升高了多少cm?（sin80°=0.98,

cos80°=0.17,tan80°=5.67）

7.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考二模）圖示為某校園的閘口，其雙翼展開時(shí)為兩個(gè)30。圓心角

的扇形，PC=OQ=60cm,C、。處于同一水平線上且距離地面高度為18cm,8水

平距離為62cm.

（1）求A點(diǎn)距離地面的高度（精確到1cm）

（2）為了起到有效的阻隔作用，要求4?45cm,請通過計(jì)算說明該設(shè)備的安裝是否符合

要求.（參考數(shù)據(jù)退合1.73）解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.

8.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）讀書架也稱臨帖架、書托架，可幫助我們解放雙手和保

護(hù)眼睛，非常適合書法人群和學(xué)生使用.圖1是實(shí)木讀書架實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意

圖，其工作原理是通過調(diào)節(jié)點(diǎn)。在CE上的位置，來改變A3的傾斜角度.已知

A?=30cm,AD=20cm,當(dāng)點(diǎn)。調(diào)節(jié)到圖2位置時(shí)，測得/ABE=65。，ZCAD=50°,

NDEB=30°.

圖1圖2

⑴求點(diǎn)A到破的距離.

(2)求DE的長.(參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.91,cos65°?0.42,tan65°?2.14)

9.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）某次科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小王將某個(gè)棱長為10cm正方體木塊

固定于水平木板加上，05=50cm,將木板。“繞一端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)40。至Q0'（即

ZMOM'=40°）（如圖為該操作的截面示意圖）.

（1）求點(diǎn)C到C'豎直方向上升高度（即過點(diǎn)c,C'水平線之間的距離）；

⑵求點(diǎn)。到。，豎直方向上升高度（即過點(diǎn)。，以水平線之間的距離）.

（參考數(shù)據(jù)：Sin40°y0.64,cos40020.77,tan40°，0.84,（1）（2）題中結(jié)果精確至IJ個(gè)位）

解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.

10.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個(gè)

位置的示意圖.A3是緩降器的底板，壓柄可以繞著點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，液壓伸縮連接桿DE

的端點(diǎn)。、石分別固定在壓柄3C與底板45上，已知

BE=12cm.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,當(dāng)壓柄8C與底座垂直時(shí)，NDEB約為226。,求30的長;

⑵現(xiàn)將壓柄從圖2的位置旋轉(zhuǎn)到與成37。角（即NABC=37。），如圖3的所示,

求此時(shí)液壓伸縮連接桿OE的長.（結(jié)果保留根號）

5175

(參考數(shù)據(jù)：sin22.6。Q—,cos22.6°?,tan22.6。2一

131312

343

sin37O?-,cos37o~-,tan370?-)

554

11.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖為某學(xué)校安裝的紅外線體溫檢測儀（如圖1）,該

設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫，其紅外線探測點(diǎn)

?？梢栽诖怪庇诘孛娴闹U。尸上下調(diào)節(jié)（如圖2）,已知探測最大角（NO3C）為58.0°,

探測最小角（NQ4C）為26.6。.

圖1圖2

（1）若該設(shè)備的安裝高度OC為1.6米時(shí)，求測溫區(qū)域的寬度4B.

（2）該校要求測溫區(qū)域的寬度為2.53米，請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度

0c.（結(jié)果精確到001米，參考數(shù)據(jù):sin58.0°?0.85,cos58.0°?0.53,tan58.0°?1.60,

sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.50)

12.（2023?浙江舟山?統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺燈，圖2是臺燈的結(jié)構(gòu)圖，AC

是可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，點(diǎn)C為燈泡的位置，燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).量得AB=10cm,

AC=20cm,此時(shí)NABF=37。，且CE_LDE.

（1）當(dāng)NA=90。，CDLAC時(shí)（圖2）,求燈泡C所在的高度；

⑵在（1）的條件下，旋轉(zhuǎn)支架AC（AB固定）.當(dāng)NA從90。變成57°（圖3）時(shí)，且

的度數(shù)不變，CE'LD'E',求DE-DE的值.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：

sin37°?0.60,cos37°~0.80,tan37°?0.75,sin20°~0.34,cos20°~0.94,tan20°~0.36）

圖3

13.（2023?浙江寧波??？家荒＃┠撤N落地?zé)羧鐖D1所示，AB為立桿，其高為70cm,BC

為支桿，它可繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)，其中8C長為50cm,DE為懸桿，支桿3C與懸桿OE之間

的夾角ZBCD為60。.

圖I圖2圖3

⑴如圖2,當(dāng)支桿3C與地面垂直，且燈泡懸掛點(diǎn)。距禺地面的圖度為100cm,求CO

的長；

⑵在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20。，如圖3,求此時(shí)燈泡懸掛

點(diǎn)D到地面的距離.（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.94,

tan20°?0.36,sin40°?0.64,cos40°它0.77,tan40°?0.84）

14.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖，從點(diǎn)。處觀測樓房A3的樓頂端點(diǎn)B的仰角為63。,

從點(diǎn)。處沿著直線A￡＞直走18m到達(dá)點(diǎn)E,從點(diǎn)E處觀測樓頂端點(diǎn)8的仰角為35。，觀

測廣告牌端點(diǎn)C的仰角為38。,求樓房AB的高度和廣告牌BC的高度（結(jié)果精確到0.1m；

參考數(shù)據(jù)：sin35。aQ57,cos35°?0.82,tan35°?0.70,sin38°?0.62,cos38°?0.79,

tan38°?0.78,sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96）.

8

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

15.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖1是一架踏板式人字梯，如圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示

意圖，左支撐架A2和右支撐架AC長度都為100cm,最上一層的踏板側(cè)面DE平行于地

^BC,AD=20cm,若支撐架的張角ZBAC=40°.

⑴求BC的長.

(2)求踏板DE到地面的距離(結(jié)果精確到1cm)(參考數(shù)據(jù):

sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan80°?0.36)

16.（2023?浙江臺州?臺州市書生中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖是汽車尾門向上開啟時(shí)的截面圖，

已知車高鉆=1.8m,尾門AC=1.2m,當(dāng)尾門開啟時(shí)，4c=110。，求點(diǎn)C離地面

的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.93,tan200?0.36,結(jié)果精確到0.1m）

17.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）圖1是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕

使用者的頸椎壓力.圖2是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖.已知AC,BD

互相平分于點(diǎn)。，AC=BD=24cm,若NAO3=60。，ZDCE=28°.

⑴求。的長.

（2）求點(diǎn)。到底架CE的高。尸.（結(jié)果精確到Qla〃；參考數(shù)據(jù):sin28°?0.47,

cos28°u0.88,tan28°?0.53)

18.（2023?浙江湖州?統(tǒng)考一模）如圖1是某小車側(cè)面示意圖，圖2是該車后備箱開啟

4

側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）且.〃BE,sinZBAF=~,箱蓋開啟

過程中，點(diǎn)2,E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動相同角度，分別到點(diǎn)3',E'的位置，點(diǎn)E'在

線段EB的延長線上.若直線

圖1圖2

⑴求旋轉(zhuǎn)角/E4E'的度數(shù).（2）若BE'=28,求AB的長度.

19.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考一模）如圖1,一吸管杯放置在水平桌面上，矩形ABCD為

其橫截面，OE為吸管，其示意圖如圖2所示,

AD=20cm,AB=6cm,OE—4cm,Z.EOB=36°.

（1）當(dāng)杯子蓋上時(shí)，吸管OE繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動到處，求OE掃過的面積.

（2）當(dāng)杯子繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動到OE與水平線CM平行時(shí)（如圖3）.

①求杯子與水平線CM的夾角NBCM的度數(shù).

②由圖2到圖3,點(diǎn)A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？（結(jié)果精確到

0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin36°?0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)

20.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖是某風(fēng)車平面示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分

布，水平地面上的點(diǎn)〃在旋轉(zhuǎn)中心。的正下方.某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉

片OAOB,此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)形成線段CE,。的對應(yīng)點(diǎn)為。，測得

MC=4m,CE=16m,此時(shí)太陽的與地面的夾角為30。（即NODW=30。）.

（1）求旋轉(zhuǎn)中心到地面的距離的值.

（2）風(fēng)車轉(zhuǎn)動時(shí)，要求葉片外端離地面的最低高度高于2.5米，請判斷此風(fēng)車是否符合要

求.

21.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）若小紅的眼睛離地面的距離為1.7米，在一處用眼睛看

籃球框，測得仰角30。，繼續(xù)向正前方走1.6米再看籃球框，測得仰角60。，問籃球框距

地面的高度是多少米？

22.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖1,是一個(gè)自動伸縮晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的

支架左側(cè)平面示意圖，當(dāng)C,在上滑槽上左右滑動時(shí)，A,8同時(shí)在與平

行的下滑槽E/上滑動，帶動整個(gè)支架改變菱形內(nèi)角度數(shù)，從而調(diào)節(jié)支架的高度，圖2

中R4=PB=OC=OD=15cm,中間7個(gè)菱形的邊長均為15cm.

圖1圖2

（1）當(dāng)NAPfi調(diào)節(jié)至120。時(shí)，求兩滑槽間的距離（即MN與所之間的距離）；

（2）根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)一個(gè)身高160cm的人，頭頂與下滑槽所的距離不超過30cm時(shí),

曬衣服比較方便，若上滑槽距離地面270cm,那么至少調(diào)整到多少度？

（參考數(shù)據(jù)：sinl9.5°=0.33,cos70.5°=0.33,tan70.5°=2.82）

23.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）桑梯——登以探桑，它是我國古代勞動人民發(fā)明的一

種采桑工具.圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖

如圖2所示，已知四=AC=1.6米，AD=L2米，設(shè)NB4c=&,為保證安全，a的調(diào)

整范圍是30。<&<90。.

（1）當(dāng)》=60。時(shí)，若人站在AD的中點(diǎn)E處，求此人離地面（8C）的高度.

⑵在安全使用范圍下，求桑梯頂端D到地面的距離范圍.（參考數(shù)據(jù)：sin75°。0.97,

cos75°?0.26,tan75°?3.73,尺1.73,0^1.41，精確到0.1米）

24.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖①是一把折疊躺椅，其示意圖如圖②所示，其中DE

平行地面，人們可通過調(diào)整/FDE和NDEG的大小來滿足不同需求，經(jīng)測量兩支腳

AB=AC=50cm,支點(diǎn)。在AC上且AD=10cm,椅背。尸=80cm,躺椅打開時(shí)兩支腳

的夾角/BAC=80。.

圖①圖②

（1）求躺椅打開時(shí)兩支腳端點(diǎn)B、C之間的距離；

（2）躺椅打開時(shí)，調(diào)整椅背使N￡D尸=140。，求此時(shí)椅背的最高點(diǎn)尸到地面的距離.（參

考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84）

通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

25.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考一模）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽棚》中，計(jì)劃在移門上方

安裝一個(gè)可伸縮的遮陽棚（如圖1）,其中AC為移門的高度，8為遮陽棚固定點(diǎn)，BD為

遮陽棚的寬度（可變動）AB=50cm,AC=210cm,

ZCBD=80°.

小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門在正午完全透光時(shí)太陽高度角與遮陽棚寬度的關(guān)系”，查

閱得到如下信息：太陽高度角是指太陽光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽

高度角。最?。s35。）；夏至日正午的太陽高度角。最大（約80。）.請你協(xié)助該小組，

完成以下任務(wù)：

【任務(wù)1］如圖2,在冬至日正午時(shí)要使太陽光完全透過移門，3。應(yīng)該不超過多少長

度（結(jié)果精確到Qlcm）

【任務(wù)2］如圖3,有一小桌子在移門的正前方，桌子最外端E到移門的距離為180cm,

桌子高度MV=80cm.若要求在夏至日正午時(shí)太陽光恰好照射不到桌面，則80應(yīng)該多

長？（結(jié)果精確至iJCUcm.參考數(shù)據(jù)：sin55°?0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.43,

sinl0°?0.17,cosl0°?0.98,tanl0°?0.18,虎=1.41）.

05解直角三角形及其應(yīng)用大題綜合

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會實(shí)踐活動時(shí)，想利用所學(xué)

知識測量鐵塔的高度，他們先在點(diǎn)。處用測角儀測得塔頂8的仰角為65。，再沿CD方向前

行40米到達(dá)點(diǎn)A處，在點(diǎn)A處測得塔頂8的仰角為45。，已知測角儀AE高為1.5米.請根

據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)，求此塔斯的高.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.91,

【答案】76.6米

［分析］根據(jù)題意得到NBDC=65°,AD=40,ABAC=45°,分別在Rt^BCD和RtAACB

中，得到8C=tan65。-CD,BC=AC=tan65°x,據(jù)此列出方程，解之可得x,從而求出BC,

再加上CT即可.

【詳解】解：由題意可得：NBDC=65。,AD=40,ZBAC=45°,

設(shè)CD=x,在RtAiBCD中，8C=tan65°-CD=tan65°x,

在RtAACB中，BC=AC=tan65°x,

由題意列方程得：tan65°x=x+40,

解得：35.09,

BC=tan650r?75.09,

.??塔高為75.09+1.5?76.6米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，涉及到等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）圖1是一個(gè)太陽能面板，其側(cè)面如圖2,點(diǎn)C是A3的中點(diǎn)，

BC=30cm,支架CD可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)太陽光線與面板垂直時(shí)，吸收光能的效率最高.若

太陽光與地面夾角為54。，要想吸收光能的效率最高，求A端離地面的高度.（參考數(shù)據(jù)：

sin54°?0.81,cos540工0.59,tan54°=1.38）

圖1圖2

【答案】35.4cm

【分析】作于點(diǎn)利用三角函數(shù)解即可.

【詳解】解：如圖，作AELBD于點(diǎn)

由題意知，ZABE=180°-54°-90°=36°,

Z.BAE=90°-ZABE=54°,

???點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，5C=30cm,

AB=2BC=60cm,

AE

在RIAAEB中，cos/BAE=——,

AB

AE=AB-cosZBAE=60xcos54°?35.4（cm）,

即A端離地面的高度為35.4cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，通過作

輔助線構(gòu)造直角三角形.

3.（2023?浙江麗水?統(tǒng)考一模）如圖1,是一臺小型輸送機(jī)，其示意圖如圖2所示.已知兩

個(gè)支架的端點(diǎn)的距離AB=240cm,傳輸帶AE與支架8C所成的角NABC=70。，支架端點(diǎn)A

離地面8的高度AD=15cm,求支架端點(diǎn)5離地面的高度BC.（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)

?sin700-0.94,cos700-0.34,tan70°72.75）.

【答案】BC=1.0m

【分析】過點(diǎn)A作AFL3c于點(diǎn)F,可得CF=AD=15cm,在Rt~45/利用三角函數(shù)求

出BF,利用3C=b+3尸即可得解.

【詳解】解：過點(diǎn)A作A/IBC于點(diǎn)F，可得CF=AD=15cm,

在中，ZAfiF=70°,Afi=240cm

BF=AB-cosNABF?240x0.34=81.6cm

BC=CF+BF=15+81.6=96.6cm=1.0m

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，記住銳角三角函數(shù)的定義，屬于中考常考題型.

4.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）虎年歲末，臺州進(jìn)入輕軌時(shí)代，極大地方便了市民的出行,

如圖1是臺州市城鐵路S1線恩澤醫(yī)院站出入口的自動扶梯，圖2是其截面示意圖，已知扶

梯8C與購票廳地面的夾角N3CD=130。，扶梯的長度為12m,求扶梯的底端C距離入口平

臺的高度.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19）

AB

【答案】扶梯的底端C距離入口平臺AB的高度約為9.2m.

【分析】過點(diǎn)8作5ELCD,交。C的延長線于點(diǎn)E.由題意可求N3CE=50。，再結(jié)合銳

角三角函數(shù)即可求出BE的長，即扶梯的底端C距離入口平臺AB的高度.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8作BE,CD,交。C的延長線于點(diǎn)E.

VZBCD=130°,

/BCE=180°-/BCD=50°.

由題意可得3C=12m,

在RaBCE中，BE=SC-sinZBCE=12sin50°?9.2m.

，扶梯的底端C距離入口平臺AB的高度約為9.2m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

5.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺燈，圖2是臺燈的結(jié)構(gòu)圖，AC是

可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，A8是可以繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的支架，C為燈泡的位置.量得

AB=10cm,AC=20cm,當(dāng)NC4B=127。時(shí)，求點(diǎn)C到收的距離.（參考數(shù)據(jù)，

sin37°?0.6,cos37°~0.8,tan37°?0.75)

c

圖1

【答案】22cm

【分析】過點(diǎn)C作CDL54交54的延長線于點(diǎn)。，根據(jù)解直角三角形的AD長，求出點(diǎn)C

到3廠的距離即可.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CD，區(qū)4交胡的延長線于點(diǎn)￡）,

則"=90。，

...ZDCA=ABAC-ZD=127°-90°=37°，

在RtAACD中,

AD=ACxsin/DCA?20x0.6=12cm,

???點(diǎn)C到BF的距離為D4+AB=12+10=22cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本

形狀是一個(gè)菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變-ADC的大小（菱形的邊長不變）,

從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅、C之間的距離）.經(jīng)測量，/ADC可在20。和160。之間發(fā)生

變化，（包含20。和160。），AD=40cm.

（1）當(dāng)/ADC=120。時(shí)，求此時(shí)8。的長;

（2）當(dāng)/ADC從20。變?yōu)?60。時(shí)，這個(gè)千斤頂升高了多少cm?（sin80°=0.98,cos80°=0.17,

tan80°=5.67）

【答案】（l）40cm

（2）64.8cm

【分析】（1）連接AC交3。于點(diǎn)E,由四邊形ABCD是菱形得到ACIBD,AC=2AE,

BD=2DE,ZADB=-ZADC,當(dāng)ZADC=120。時(shí)，ZAD￡=60°,由AB=AD得到AADB

2

是等邊三角形，則B￡>=AT）=40（cm）；

（2）當(dāng)ZADC=20。時(shí)，在Rt^ADE中，ZADB=^ZADC=10°,貝l]AE=6.8,貝ij

AC=2AE=13.6（cm）,當(dāng)ZADC=160。時(shí)，R5ADE中ZAD3=80。，則可得到AE=39.2,

得到AC=2AE=78.4（cm）,即可得到答案

【詳解】（1）連接AC交3。于點(diǎn)E,

:四邊形ABC。是菱形，AAC1BD,AC=2AE,BD=2DE,ZADB=-ZADC,

2

當(dāng)ZADC=120。時(shí)，ZADE=|ZADC=60°,

又：AB=AD,

AADB是等邊三角形，

/.BD=AD=40（cm）；

（2）當(dāng)Z4DC=20。時(shí)，

RtzXADE中，ZADB=-ZADC=10°,ZDAC=90°-ZADB=80°,

2

???AE=ADcos80°=40x0.17=6.8,

AC=2AE=13.6（cm）,

當(dāng)NADC=160。時(shí)，

RtZ\ADE中，NADB=|ZADC=80°,

/.AE=ADsin80°=40x0.98=39.2,

/.AC=2AE=78.4（cm）

這個(gè)千斤頂升高了78.4—13.6=64.8（cm）,

答：這個(gè)千斤頂升高了64.8cm.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

7.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考二模）圖示為某校園的閘口，其雙翼展開時(shí)為兩個(gè)30。圓心角的扇

形，PC=DQ=60cm,C、。處于同一水平線上且距離地面高度為18cm,。水平距離為

（2）為了起到有效的阻隔作用，要求45cm,請通過計(jì)算說明該設(shè)備的安裝是否符合要

求.（參考數(shù)據(jù)石"73）【答案】⑴70cm

（2）該設(shè)備的安裝符合要求

【分析】（1）過點(diǎn)A作AM±PC于M點(diǎn)，在中，求出CM的長，即可得出

結(jié)果;

(2)作BN，。。于N點(diǎn)，分別求出AM,BN的長，進(jìn)而求出AB的長，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)A作AMLPC于M點(diǎn).

在RtZVIMC中，AC=PC=60,ZACP=30°.

MC=AC-cos30°=60乂立~~52cm，

2

：C點(diǎn)距離地面的高度為18cm

點(diǎn)距離地面的高度為52+18=70(cm)

(2)解：作于N點(diǎn)，在RtZ^AMC中，AC^PC=6,ZACP=30。.

AM=AC-sin30°=60x|=30(cm).

同理=BD?sin30°=60x1=30(cm).

CD=62(cm)

AB=62-30x2=2(cm)

2cm<5cm該設(shè)備的安裝符合要求.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.

8.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)讀書架也稱臨帖架、書托架，可幫助我們解放雙手和保護(hù)眼

睛，非常適合書法人群和學(xué)生使用.圖1是實(shí)木讀書架實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其工

作原理是通過調(diào)節(jié)點(diǎn)。在CE上的位置，來改變的傾斜角度.己知A3=30cm,

AD=20cm,當(dāng)點(diǎn)。調(diào)節(jié)到圖2位置時(shí)，測得NABE=65。，ZCAD=50°,"￡6=30。.

(1)求點(diǎn)A到BE的距離.

(2)求DE的長.(參考數(shù)據(jù)：sin65°~0.91,cos65°~0.42,tan65°?2.14)

【答案】⑴27.3(cm)

(2)18.2(cm)

【分析】(1)如圖，過點(diǎn)人作?助于點(diǎn)尸，解尸，即可求解；

(2)延長AD交3E于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作于點(diǎn)H.根據(jù)已知得出NABG=NAGB,

進(jìn)而得出AG=至=30cm,在RtADHG中，求得DH,在RtADHE中，根據(jù)含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)A作”XBE于點(diǎn)尸.

在RMAB尸中，ZABF=65°,

AF=AB-sinZABF?30x0.91=27.3(cm).

A

BFHGE

（2）延長AO交5E于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作石于點(diǎn)H.???NABG=65。，ZCAD=50°,

ZAGB=180?！猌ABG-ACAD=65°.

，ZABG=ZAGB.

AG=AB=30cm.

DG=AG-AD=30-20=10（cm）.

在中，DH=DG-sinZDGH?10x0.91=9.l（cm）.

在RtADHE中，???ZDEB=30°

z.。石=2DH=2x9.1=18.2（cm）.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）某次科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小王將某個(gè)棱長為10cm正方體木塊固定

于水平木板上，（9B=50cm,將木板繞一端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)40。至W（即/MOM'=40。）

（如圖為該操作的截面示意圖）.

⑴求點(diǎn)C到C'豎直方向上升高度（即過點(diǎn)C,C'水平線之間的距離）;

⑵求點(diǎn)。到次豎直方向上升高度（即過點(diǎn)￡>,次水平線之間的距離）.

(參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos400?0.77,tan40°?0.84,(1)(2)題中結(jié)果精確到個(gè)位)

【答案】(l)38cm

(2)36cm

【分析】(1)過點(diǎn)C作C'ELOW,在RtAC'OE中，利用銳角三角函數(shù)求出C'E的長度即

可.

(2)過點(diǎn)M作D'FLC'E,交EC的延長線于點(diǎn)尸，設(shè)C'E交AD于點(diǎn)H,分別求出C'F,C'H

的長，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)C'作C'ELOM于點(diǎn)E,

:正方體木塊的棱長為10cm,OB=50cm,

OC=OB+BC=60cm,

:旋轉(zhuǎn)，

OC=OC=60cm,

在RMC'OE中，C'E=OC'?sin40°=60x0.64?38cm；

..?點(diǎn)c到C豎直方向上升高度為38cm；

(2)過點(diǎn)。，作。交EC的延長線于點(diǎn)/，設(shè)C'E交AD于點(diǎn)H

則：四邊形A/7EB矩形，HE=AS=10cm,

D'

;旋轉(zhuǎn),

：.C'D'=10cm,ND'C'B'=90°,

ZD'CF=90°-NOC'E=ZC'OC=40°,

在RtAZXFC'中，C'V=CD'-cos40°g10x0.77=7.7cm,

/.FH=C'F+（CE-HE）?7.7+38-10?36cm；

...點(diǎn)D到DC豎直方向上升高度為36cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.

10.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個(gè)位置

的示意圖.A2是緩降器的底板，壓柄BC可以繞著點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)，液壓伸縮連接桿DE的端點(diǎn)

D、E分別固定在壓柄BC與底板上，已知

（1）如圖2,當(dāng)壓柄8c與底座AB垂直時(shí)，NDEB約為22.6。,求&）的長；

（2）現(xiàn)將壓柄8C從圖2的位置旋轉(zhuǎn)到與A3成37。角（即NABC=37。），如圖3的所示，求

此時(shí)液壓伸縮連接桿DE的長.（結(jié)果保留根號）

5p5343

(參考數(shù)據(jù)：sin22.6°?—,cos22.6°?—,tan22.6°?—；sin37°?cos37°?,tan370?-)

「'''131312554

【答案】（l）5cm

（2）773cm

【分析】（1）根據(jù)正切即為對邊與鄰邊的比可得答案；

（2）過點(diǎn)。作。垂足為在RtZXB?！敝?，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出

班的值，根據(jù)段=班—求出的長度，然后根據(jù)勾股定理可得DE的長度.

【詳解】（1）解：在RL^BDE中，BD=BEtanABED=12xtan22.6°?12x-^=5,

答：此時(shí)BD的長約為5cm；

（2）過點(diǎn)。作垂足為a,

在RtABDH中，BH=BDcosNDBE=5cos37°?4,

DH=BD-sinZDBE=5sin37°?3,

EH=BE—BH=12—4=8,

在RtZsZ）瓦/中，DE=\lDH2+EH2=773>

答：此時(shí)液壓伸縮連接桿OE的長約為"cm.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以

及勾股定理，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

11.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖為某學(xué)校安裝的紅外線體溫檢測儀（如圖1）,該設(shè)備

通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫，其紅外線探測點(diǎn)?？梢?/p>

在垂直于地面的支桿。尸上下調(diào)節(jié)（如圖2）,已知探測最大角Q0BC）為58.0°,探測最

小角(ZOAC)為26.6°.

p

圖1圖2

(1)若該設(shè)備的安裝高度OC為L6米時(shí)，求測溫區(qū)域的寬度A2.

(2)該校要求測溫區(qū)域的寬度AB為2.53米，請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC.(結(jié)

果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：sin58.0°?0.85,cos58.0°q0.53,tan58.0°?1.60,

sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89，tan26.6°?0.50）

【答案】(1)2.2米

（2）1.84米

【分析】(1)根據(jù)題意可得OC，AC,ZOBC=58.0°,NQ4C=26.6。，OC=1.6米，利

用銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可;

(2)根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意可知:

OC±AC,NO8C=58.0°,NOAC=26.6°,OC=L6米,

OC1.61.6

在RtZXOBC中，BC=--------?------=1.00（米），

tanZOBCtan58.0°1.60

OC1.61.6

在RWAC中，AC=--------H------=3.20（米），

tanZOACtan26.6°0.50

;.AB=AC—3。=3.2—1=2.20（米）.

答：測溫區(qū)域的寬度A3為2.2米;

(2)根據(jù)題意可知:

AC=AB+BC=2.53+BC,

OC

在RtZXOBC中，BC=

.-.(9C=1.60BC,在RMQ4c中，OC=AC-tanZOAC~(2.53+BQx0.50,

.-.1.60BC=（2.53+BC）x0.50,

解得3c=1.15米，

,OC=L605C=1.84（米）.

答：該設(shè)備的安裝高度OC約為L84米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程.

12.（2023?浙江舟山?統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺燈，圖2是臺燈的結(jié)構(gòu)圖，AC是

可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架,點(diǎn)C為燈泡的位置，燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).量得Afi=10cm,AC=20cm,

此時(shí)ZAB產(chǎn)=37。，且CEJ_DE.

（1）當(dāng)NA=90。，CDLAC時(shí)（圖2）,求燈泡C所在的高度；

⑵在（1）的條件下，旋轉(zhuǎn)支架AC（A3固定）.當(dāng)—A從90。變成57。（圖3）時(shí)，且ZDCE

的度數(shù)不變，C'E'ID'E',求座-DE的值.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75,sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36）

圖3

【答案】（1）燈泡C所在的高度為22cm；

⑵12.3cm.

【分析】（1）過點(diǎn)A作ANLDR于N,40，?！暧趯?，利用直角三角形求出4V,CM的

長度即可求解；

（2）由（1）可知，CE=22cm,Z.CDE=AC'D'E'=2>T,過點(diǎn)A作于Q,AP±C'E'

于尸，同（1）方法相同，求出C'E,進(jìn)而求出DE,DE即可求解.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作4V_LDF于N,AM_LCE于Af,

?/CELDE,

四邊形4VEM為矩形，

則NM4N=90°,AN=ME,

在Rt^ABN中，；NAB尸=37°,AB=10cm,

ZBAN=53°,ME=AN=ABsinZABF=10x0.6=6cm,

則NBAM=37。，

:ZSAC=90°,

NM4c=53°,貝lJZACM=37°,

CM=AC-cosZACM=20x0.8=16cm,

...燈泡C所在的高度為：CM+ME=16+6=22cm；

即：燈泡C所在的高度為22cm；

(2)由(1)可知，ZACM=37。,CDLAC,CE=CM+ME=\6+6=22cm

CF

：.ZDCE=53°,則NCDE=37。，DE=------------,

tanZCDE

當(dāng)—A從90。變成57。時(shí)，且ZD'C'E'的度數(shù)不變,

則NCDE=37。，過點(diǎn)A作A。，。尸于Q,AP_LCE于尸,

?."C'E'LD'E',

四邊形AQEP為矩形，貝I]A尸〃EQ,AQ=PE',

：.ZBAP=ZABF=3T,

?.*ABAC=ST,

：.ZPAC=20°,在RSAB。中，CP=AC-sinZPAC',

在RtAABQ中，；ZAB尸=37。，AB=10cm,

/.ZBAQ=53°,PE'=AQ=ABsinZABF,

：.C'E'=CP+PE'=AC-sinZPAC+ABsinZABF=20sin20°+lOsin37°；

C'E'

則D'E'=

XanAC'D'E'

CECE

DE-D'E'=

tanZ.CDEtan"'。?

1

(22-20.sin20。-10.sin37°)

tan37°

=12.3cm

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程.

13.（2023?浙江寧波??？家荒＃┠撤N落地?zé)羧鐖D1所示，AB為立桿，其高為70cm,BC為

支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中BC長為50cm,DE為懸桿，支桿BC與懸桿DE之間的夾角

N3CD為60°.

(1)如圖2,當(dāng)支桿8C與地面垂直，且燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度為100cm,求。的長；

(2)在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20。，如圖3,求此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)。

到地面的距離.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin200~0.34,cos200~0.94,tan20°?0.36,

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°q0.84)

【答案】⑴CD的長為40cm

(2)此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為86cm.

【分析】(1)過點(diǎn)￡＞作OGLAC于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作與于點(diǎn)R從而可求出CG的長

度，然后利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

(2)過點(diǎn)。作于點(diǎn)尸,過點(diǎn)C作廠于點(diǎn)過點(diǎn)。作于點(diǎn)

過點(diǎn)8作BN1.C”于點(diǎn)N,從而可知四邊形和四邊形物巴4是矩形，利用銳角三角

函數(shù)的定義可求出QV,CH,CM,MH的長度即可求出答案.

【詳解】(1)過點(diǎn)。作OGLAC于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作。尸，AF于點(diǎn)E

四邊形GDE4是矩形，

/.G4=r）F=100（cm）,

?.*CA=CB+BA,

AC4=50+70=120（cm）,

/.CG=CA-DF=n0-100=20（cm）,

/BCD=60°,

ZCDG=30°,

/.CD=2CG=40(cm),

答：8的長為40cm；

(2)過點(diǎn)。作AF于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作C”，AF于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作DM，C”于點(diǎn)M,

過點(diǎn)B作BNLC”于點(diǎn)M,

，四邊形MDFH和四邊形BNHA是矩形，

由題意可知：ZBCN^2Q0,/BCD=60。,Z.ZMCD=60°-20°=40°,

在Rt&BCN中，

cos/BCN=cos20°=,

BC

CN=BCcos20°?50x0.94?47(cm),

/.CH=CN+NH=CN+AB^47+10=117(cm),

在RtZiCDM中，

cosZMCD=cos40°=—,

CD

：.CM=CDcos40°~40x0.77~31(cm),

MH=CH-CM=117-31=86(cm),

答：此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為86cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義.

14.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)如圖，從點(diǎn)。處觀測樓房A3的樓頂端點(diǎn)8的仰角為63。,

從點(diǎn)。處沿著直線AD直走18m到達(dá)點(diǎn)E,從點(diǎn)E處觀測樓頂端點(diǎn)8的仰角為35。，觀測廣

告牌端點(diǎn)C的仰角為38。，求樓房AB的高度和廣告牌BC的高度(結(jié)果精確到0.1m；參考

數(shù)據(jù)：sin35°“0.57,cos35°?0.82,tan350~0.70,sin38°?0.62,cos38°?0.79,

tan38°?0.78,sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96).

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

【答案】樓房A3的高度為19.6m,廣告牌BC的高度為2.2m

【分析】設(shè)AD=x(m),利用正切定義，表示出A3和AE的長，根據(jù)AO+DE=鉆，列

方程求出AB和AE的長，在RSACE中，利用正切定義求出AC的長，根據(jù)3C=AC-AB,

可求出廣告牌的高度.

【詳解】解：由題意，得/AD3=63。，NAEB=35°,設(shè)AD=x(m),則

1丫

AB=xtan63°?1.96x(m),AE=—:------?2.8x(m).

tan35°