2023-2024學(xué)年浙江省寧波市余姚市子陵中學(xué)教育集團(tuán)子陵校區(qū)七年級(jí)（下）競賽數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年浙江省寧波市余姚市子陵中學(xué)教育集團(tuán)子陵校區(qū)七年級(jí)（下）競賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列各式中，屬于二元一次方程的是（）A．2x+y B．xy﹣1＝y(tǒng) C． D．3x﹣2y＝52．（3分）科學(xué)家在實(shí)驗(yàn)中檢測出某微生物細(xì)胞直徑約為0.0000035米，將0.0000035用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.5×10﹣6 B．3.5×106 C．3.5×10﹣5 D．35×10﹣53．（3分）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．4．（3分）若分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠﹣2 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x＝25．（3分）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠3+∠4＝180° D．∠2+∠3＝180°6．（3分）下列分式的變形中，正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，將△ABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)D處，且∠C＝66°，則∠CFD的度數(shù)為（）A．24° B．33° C．48° D．66°8．（3分）閱讀下列詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，四只棲一樹，還閑一棵樹，請(qǐng)你仔細(xì)數(shù)，樹有y棵，則下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，一個(gè)大正方形由四個(gè)相同的長方形和一個(gè)小正方形組成，大正方形邊長為a，若用x，y表示四個(gè)長方形的邊長（x＞y）；②x2﹣y2＝ab；③；④；其中正確關(guān)系式的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．110．（3分）已知a，b為實(shí)數(shù)，設(shè)（x+a）（3x+b）展開后x的一次項(xiàng)系數(shù)為m，（3x+a）（x+b），若m+n＝4，且m，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)b與的最大值和最小值都相等 B．a(chǎn)b與的最大值和最小值都不相等 C．a(chǎn)b與的最大值相等，最小值不相等 D．a(chǎn)b與的最小值相等，最大值不相等二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）若是二元一次方程x+2y＝a的一個(gè)解，則a的值為．12．（4分）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件“只含有字母x，且當(dāng)x＝1時(shí)，分式的值為0”的分式．13．（4分）若，則代數(shù)式（5﹣a）（5﹣b）的值為．14．（4分）關(guān)于x的分式方程有增根，則a的值為．15．（4分）若，，則12x2﹣27y2的值為．16．（4分）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)F，線段AF上有一點(diǎn)G，滿足∠ABG＝3∠FBG，使∠GBM＝∠DCE，則的值為．三、解答題（共66分）17．（6分）計(jì)算：（1）（﹣3a3）÷a+（﹣2a）2（2）18．（6分）因式分解：（1）ax2﹣6ax+9a（2）4a2（x﹣y）+9（y﹣x）19．（8分）解方程（組）：（1）（2）20．（6分）先化簡：，再從﹣2，﹣1，121．（8分）如圖，AB∥DE，∠ADE+∠AFG＝180°．（1）判斷AD與FG的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠AFG＝140°，求∠BGF的度數(shù)．22．（10分）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）（1）若該廠倉庫里有100張正方形紙板和200張長方形紙板．問豎式和橫式紙箱各加工多少個(gè)，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？（2）該工廠原計(jì)劃用若干天加工紙箱200個(gè)，后來由于對(duì)方急需要貨，實(shí)際加工時(shí)每天加工速度是原計(jì)劃的1.5倍，且總共比原計(jì)劃多加工40個(gè)，問原計(jì)劃每天加工紙箱多少個(gè)？23．（10分）對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解（1）判斷方程3﹣2（1﹣x）＝4x與是否為“相似方程”；（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．24．（12分）【學(xué)習(xí)材料】拆項(xiàng)法在對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，需要把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，再分組進(jìn)行因式分解．例1因式分解：x2+6x﹣7解：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）例2因式分解：x3+5x﹣6解：原式＝（x3﹣x）+（6x﹣6）＝x（x+1）（x﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x+1）+6]＝（x﹣1）（x2+x+6）【知識(shí)應(yīng)用】請(qǐng)根據(jù)以上材料中的方法，解決下列問題：（1）因式分解：x2+14x﹣15＝；（2）運(yùn)用拆項(xiàng)法因式分解：x3﹣8x+7；（3）化簡，并求該式的最小值．四、選擇題（共5分）25．（5分）如圖①，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，∠C＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，那么∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°五、填空題（5分）26．（5分）已知：x﹣y+2a＝5，4xy+12a2﹣4a＝﹣33，則a的值為．六、解答題(20分)27．（10分）用若干塊如圖所示的正方形或長方形紙片拼成圖（1）和圖（2）．（1）如圖（1），若長方形ABCD的面積為35，其中陰影部分的面積為20；（2）如圖（2），若AD的長度為5，AB的長度為n．當(dāng)m＝，n＝時(shí)，a，b的值有無數(shù)組．28．（10分）（1）證明恒等式：a4+b4+（a+b）4＝2（a2+ab+b2）2．（2）計(jì)算：．

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市余姚市子陵中學(xué)教育集團(tuán)子陵校區(qū)七年級(jí)（下）競賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列各式中，屬于二元一次方程的是（）A．2x+y B．xy﹣1＝y(tǒng) C． D．3x﹣2y＝5【解答】解：∵2x+y是多項(xiàng)式，不是方程，∴A選項(xiàng)不是二元一次方程，不符合題意；∵xy﹣1＝y(tǒng)是二元二次方程，∴B不是二元一次方程，不符合題意；∵+y＝2是分式方程，∴C選項(xiàng)不符合題意；∵3x﹣4y＝5是二元一次方程，∴D選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（3分）科學(xué)家在實(shí)驗(yàn)中檢測出某微生物細(xì)胞直徑約為0.0000035米，將0.0000035用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.5×10﹣6 B．3.5×106 C．3.5×10﹣5 D．35×10﹣5【解答】解：0.0000035＝3.6×10﹣6，故選：A．3．（3分）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．【解答】解：A、a（x+y）＝ax+ay不符合因式分解的定義；B、x2+3x﹣4＝x（x+3）﹣2不符合因式分解的定義，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、x5﹣4x+4＝（x﹣3）2符合因式分解的定義，故該選項(xiàng)是正確的；D、不是整式，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；故選：C．4．（3分）若分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠﹣2 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x＝2【解答】解：∵分式有意義，∴2x+4≠2，解得x≠﹣2．故選：A．5．（3分）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠3+∠4＝180° D．∠2+∠3＝180°【解答】解：A、∵∠1＝∠5，不符合題意；B、∵∠2＝∠4，不符合題意；C、∠3+∠8＝180°是鄰補(bǔ)角，符合題意；D、∵∠2+∠3＝180°，不符合題意，故選：C．6．（3分）下列分式的變形中，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤；B、，故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)的變形正確．故選：D．7．（3分）如圖，將△ABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)D處，且∠C＝66°，則∠CFD的度數(shù)為（）A．24° B．33° C．48° D．66°【解答】解：∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C＝66°，由折疊得：∠EFD＝∠AFE＝66°，∴∠CFD＝180°﹣∠EFD﹣∠AFE＝180°﹣66°﹣66°＝48°，故選：C．8．（3分）閱讀下列詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，四只棲一樹，還閑一棵樹，請(qǐng)你仔細(xì)數(shù)，樹有y棵，則下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：依題意，可設(shè)鴉有x只．則，故選：A．9．（3分）如圖，一個(gè)大正方形由四個(gè)相同的長方形和一個(gè)小正方形組成，大正方形邊長為a，若用x，y表示四個(gè)長方形的邊長（x＞y）；②x2﹣y2＝ab；③；④；其中正確關(guān)系式的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：結(jié)合圖形信息，∵大正方形邊長為a，若用x，∴x﹣y＝b，∴①是正確的；∵大正方形邊長為a，小正方形邊長為b，y表示四個(gè)長方形的邊長（x＞y），∴x2﹣y2＝2×ab＝4ab≠ab，故②是錯(cuò)誤的；∵大正方形邊長為a，小正方形邊長為b，y表示四個(gè)長方形的邊長（x＞y），∴③是正確的；∵大正方形邊長為a，小正方形邊長為b，y表示四個(gè)長方形的邊長（x＞y），∴a2﹣b7＝4個(gè)長方形的面積＝，∴，∴④是正確的；故選：B．10．（3分）已知a，b為實(shí)數(shù)，設(shè)（x+a）（3x+b）展開后x的一次項(xiàng)系數(shù)為m，（3x+a）（x+b），若m+n＝4，且m，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)b與的最大值和最小值都相等 B．a(chǎn)b與的最大值和最小值都不相等 C．a(chǎn)b與的最大值相等，最小值不相等 D．a(chǎn)b與的最小值相等，最大值不相等【解答】解：∵（x+a）（3x+b）＝3x8+（3a+b）x+ab，（3x+a）（x+b）＝7x2+（a+3b）x+ab，∴6a+b＝m，a+3b＝n，∵m+n＝4，∴n＝6﹣m，，解得：，∵m+n＝4，且m，∴，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)ab＝0，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)ab＝0，；綜上所述，當(dāng)m＝n＝2時(shí)；當(dāng)m＝1、n＝8時(shí)；當(dāng)m＝n＝2時(shí)，有最大值1、n＝2時(shí)，，因此，ab與，都等于0，故選：D．二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）若是二元一次方程x+2y＝a的一個(gè)解，則a的值為4．【解答】解：∵是二元一次方程x+7y＝a的一個(gè)解，∴﹣2+2×2＝a，∴a＝4．故答案為：4．12．（4分）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件“只含有字母x，且當(dāng)x＝1時(shí)，分式的值為0”的分式（不唯一）．【解答】解：“只含有字母x，且當(dāng)時(shí)分式的值為0”的分式為，故答案為：（答案不唯一）．13．（4分）若，則代數(shù)式（5﹣a）（5﹣b）的值為25．【解答】解：∵，∴ab＝5（a+b），∴（3﹣a）（5﹣b），＝25﹣5b﹣3a+ab，＝25﹣5（a+b）+5（a+b），＝25，故答案為：25．14．（4分）關(guān)于x的分式方程有增根，則a的值為2．【解答】解：，去分母得：a﹣x＝x+1+7，整理得：，∵關(guān)于x的分式方程有增根，∴增根是x＝﹣7：把x＝﹣1代入，解得：a＝2，故答案為：2．15．（4分）若，，則12x2﹣27y2的值為﹣18．【解答】解：∵，，∴，，∴，，∴12x7﹣27y2＝3（7x+3y）（2x﹣6y）＝＝3×3×（﹣4）＝﹣18故答案為：﹣18．16．（4分）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)F，線段AF上有一點(diǎn)G，滿足∠ABG＝3∠FBG，使∠GBM＝∠DCE，則的值為5或．【解答】解：如圖1，當(dāng)M在BG下方時(shí)，設(shè)∠ABC＝4x，∵∠ABG＝5∠FBG，∴∠ABG＝3x，∠FBG＝x，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠EAF＝∠AFB，∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)F，∴∠EAF＝∠BAF，∵CE∥AF，∴，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠GBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝5x，∴∠ABM＝∠ABG+∠GBM＝3x+2x＝8x，∠FBM＝∠GBM﹣∠GBF＝2x﹣x＝x，∴；如圖2，當(dāng)M在BG上方時(shí)，同理得：∠ABM＝∠ABG﹣∠GBM＝3x﹣4x＝x，∠FBM＝∠GBM+∠GBF＝2x+x＝3x，∴；綜上所述，的值為7或，故答案為：3或．三、解答題（共66分）17．（6分）計(jì)算：（1）（﹣3a3）÷a+（﹣2a）2（2）【解答】解：（1）（﹣3a3）÷a+（﹣2a）2＝﹣3a4+4a2＝a5；（2）＝4+2024﹣1＝2024．18．（6分）因式分解：（1）ax2﹣6ax+9a（2）4a2（x﹣y）+9（y﹣x）【解答】解：（1）ax2﹣6ax+4a＝a（x2﹣6x+3）＝a（x﹣3）2；（2）3a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝2a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝（x﹣y）（8a2﹣9）＝（x﹣y）（4a+3）（2a﹣2）．19．（8分）解方程（組）：（1）（2）【解答】解：（1），①+②：3x+y+（﹣x﹣y）＝2﹣8，2x＝﹣2，x＝﹣5，將x＝﹣1代入①得：﹣1×8+y＝2，解得：y＝5，∴方程組的解為；（2），x﹣2（x﹣3）＝﹣3，x﹣3x+12＝﹣3，﹣3x＝﹣15，x＝6，將檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解，∴原方程的解是x＝5．20．（6分）先化簡：，再從﹣2，﹣1，1【解答】解：原式＝＝＝?＝，∵a+2≠0，a﹣2≠5，∵a不可取﹣2，2，3，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，原式＝．21．（8分）如圖，AB∥DE，∠ADE+∠AFG＝180°．（1）判斷AD與FG的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠AFG＝140°，求∠BGF的度數(shù)．【解答】解：（1）位置關(guān)系：AD∥FG（或平行），理由：∵∠ADE+∠AFG＝180°，∠BFG+∠AFG＝180°，∴∠ADE＝∠BFG，∵AB∥DE，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BFG，∴AD∥FG；（2）∵∠AFG＝140°，∴∠BFG＝180°﹣∠AFG＝40°，∴∠ADE＝∠BFG＝40°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝80°，∵AD∥FG，∴∠BGF＝∠ADB＝180°﹣∠ADC＝100°．22．（10分）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）（1）若該廠倉庫里有100張正方形紙板和200張長方形紙板．問豎式和橫式紙箱各加工多少個(gè)，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？（2）該工廠原計(jì)劃用若干天加工紙箱200個(gè)，后來由于對(duì)方急需要貨，實(shí)際加工時(shí)每天加工速度是原計(jì)劃的1.5倍，且總共比原計(jì)劃多加工40個(gè)，問原計(jì)劃每天加工紙箱多少個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)加工豎式紙箱x個(gè)，橫式紙箱y個(gè)，由題意，得，解得，答：加工豎式紙盒20個(gè)，橫式紙盒40個(gè)；（2）設(shè)原計(jì)劃每天加工紙箱a個(gè)，由題意，得，解得：a＝20，經(jīng)檢驗(yàn)：a＝20是原方程的根，且符合題意．答：原計(jì)劃每天加工紙箱20個(gè)．23．（10分）對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解（1）判斷方程3﹣2（1﹣x）＝4x與是否為“相似方程”；（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．【解答】解：（1）是“相似方程”，理由如下：3﹣2（6﹣x）＝4x，解得x＝0.5，，8x6+4﹣（4x+2）＝2x（4x+2），8x2+3﹣4x﹣1＝7x2+2x，﹣7x+3＝0，解得x＝5.5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝0.2是方程的解，∵若兩個(gè)方程有相同的解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；∴方程3﹣2（3﹣x）＝4x與是“相似方程”．（2）mx+7＝x+4m，（m﹣1）x＝5m﹣6，，∵x，y，m均為整數(shù)，∴m﹣5＝±1，m﹣1＝±2，∴m＝0，m＝2，m＝3，∵m為正整數(shù)，∴m＝2或3．24．（12分）【學(xué)習(xí)材料】拆項(xiàng)法在對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，需要把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，再分組進(jìn)行因式分解．例1因式分解：x2+6x﹣7解：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）例2因式分解：x3+5x﹣6解：原式＝（x3﹣x）+（6x﹣6）＝x（x+1）（x﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x+1）+6]＝（x﹣1）（x2+x+6）【知識(shí)應(yīng)用】請(qǐng)根據(jù)以上材料中的方法，解決下列問題：（1）因式分解：x2+14x﹣15＝（x+15）（x﹣1）；（2）運(yùn)用拆項(xiàng)法因式分解：x3﹣8x+7；（3）化簡，并求該式的最小值．【解答】解：（1）x2+14x﹣15＝x2+14x+49﹣64＝（x+4）2﹣88＝（x+7+8）（x+6﹣8）＝（x+15）（x﹣1）；（2）x8﹣8x+7＝（x2﹣x）﹣（7x﹣7）＝x（x+5）（x﹣1）﹣7（x﹣5）＝（x﹣1）[x（x+1）﹣2]＝（x﹣1）（x2+x﹣4）；（3）＝＝＝＝x2+x+4＝＝，當(dāng)時(shí)，最小值為．四、選擇題（共5分）25．（5分）如圖①，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，∠C＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，那么∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：由折疊可得：∠GEF＝∠1＝25°，∵AD∥BC，