浙江省中考數(shù)學考前沖刺復(fù)習：二次函數(shù)大題綜合（原卷版+解析）

07二次函數(shù)大題綜合

1.（2023?統(tǒng)考二模）二次函數(shù)＞=加+樂+3（*0）的圖象經(jīng)過點4（1,0）,3（3,0）.

（1）求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸.

（2）設(shè)P（私%）,+L%）（根＞2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點.當％WrWm+1時,函

數(shù)的最大值與最小值的差為5,求m的值.

2.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=-4?u-4（〃沖0且加為常數(shù)）與＞軸

交于點A,其對稱軸與x軸交于點2.

⑴求點A，B的坐標；

（2）若m＜-2,判斷二次函數(shù)圖象的頂點位于哪個象限，并說明理由；

（3）若方程32-4〃a-4=0（〃件0）有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根都在1,3之間（包

括1,3）,結(jié)合函數(shù)的圖象，求加的取值范圍.

3.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=Y-（a+2）x+2a+l,

（1）若。=4,求函數(shù)的對稱軸和頂點坐標.

（2）若函數(shù)圖象向下平移一個單位，恰好與無軸只有一個交點，求。的值.

（3）若拋物線過點（T%）,且對于拋物線上任意一點（4，珀都有yT%,若點

A（見”）,8（2-加,p）是這條拋物線上不同的兩點，求證：n+p＞-8.

4.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考三模）如圖，已知二次函數(shù)y=g--x+c的圖象經(jīng)過點

（1）求該二次函數(shù)的表達式.

（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標.

（3）點。（見，。在該二次函數(shù)的圖象上，若試根據(jù)圖象直接寫出機的取值范圍.

5.（2023?浙江湖州?統(tǒng)考一模）為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺相關(guān)政策,

本市企業(yè)提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，政府還給予大學畢業(yè)生一定補貼.已知某種

品牌服裝的成本價為每件100元，每件政府補貼20元，每月銷售量》（件）與銷售單

價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-3x+9OO.

（1）若第一個月將銷售單價定為160元，政府這個月補貼多少元？

（2）設(shè)獲得的銷售利潤（不含政府補貼）為w（元），當銷售單價為多少元時，每月可獲

得最大銷售利潤？

（3）若每月獲得的總收益（每月總收益=每月銷售利潤+每月政府補貼）不低于28800元，

求該月銷售單價的最小值.

6.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)）=依2+2%+1（。工0）.

（1）若試求該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標.

⑵若該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（SJ）,求證：f=s+l.

（3）若。＜0,且當自變量尤滿足OVxV”?時，-2WyW2,求相的值.

7.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）對于拋物線y=ox2-4x+3（a>0）.

（1）若拋物線過點（4,3）,

①求頂點坐標；

②當0WxV6時，直接寫出》的取值范圍為；

（2）已知當OVxVm時，lVyW9,求。和"z的值.

8.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=+23+九（m,〃為常數(shù)）.

⑴若二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（l，0），3（2,0）兩點，求二次函數(shù)的表達式；

（2）若〃?+力=1,試說明該函數(shù)圖象與無軸必有兩個不同的交點；

⑶若小一14*4〃7+左（左>。）時，函數(shù)的最大值為p,最小值為q,且0-4=3左，求左

的值.

9.（2023?浙江?模擬預(yù)測）在直角坐標系中，設(shè)函數(shù)丁=辦2+法+。（a,b,c是常數(shù),

〃。0）.

（1）當〃=—1時，

①若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2,且過點（1,4）,求該函數(shù)的表達式；

②若該函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，求證：b+4c<^-；

4

（2）已知該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（小m）,（n,n）（m^n）.若bvO,m+n=3,求〃的取

值范圍.

掌握二次函數(shù)圖象上的點滿足其解析式是解題關(guān)鍵.

10.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=ox?+。0）與無軸交于A（l,0）,

兩點.

(1)當a=1,匕=2時，求機的值.

(2)當0<a<2,c=2時，

①求證：jn>1.

②點。(玉,乂),。(*2，%)在該拋物線上，且為>%，為+%<2,試比較為與%的大小.

11.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)烏饅頭是江北慈城地方特色點心，用麥粉發(fā)酵，再摻

以白糖黃糖，蒸制而成.因其用黃糖，顏色暗黃，所以稱之謂“烏饅頭”.某商店銷售烏

饅頭，通過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)，烏饅頭的日銷售量y(盒)是銷售單價x(元/盒)的一

次函數(shù)，銷售單價、日銷售量的部分對應(yīng)值如下表，已知銷售單價不低于成本價且不高

于20元，每天銷售烏饅頭的固定損耗為20元，且銷售單價為18元/盒時，日銷售純利

(2)“端午烏饅重陽粽”是慈城的習俗.端午節(jié)期間，商店決定采用降價促銷的方式回饋

顧客.在顧客獲得最大實惠的前提下，當烏饅頭每盒降價多少元時，商店日銷售純利潤

為1480元？

(3)當銷售單價定為多少時，日銷售純利潤最大，并求此日銷售最大純利潤.

12.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模)如圖，二次函數(shù)y=Y+辦+》的圖像與直線y=-x+3

的圖像交于A,8兩點，點A的坐標為(-4,7),點8的坐標為(1,2).

(1)求二次函數(shù)>=/+依+6的表達式.

(2)點M是線段A3上的動點，將點M向下平移h{h>0)個單位得到點N.

①若點N在二次函數(shù)的圖像上，求〃的最大值.

②若力=4,線段與二次函數(shù)的圖像有公共點，請求出點M的橫坐標機的取值范圍.

13.(2023?浙江臺州?臺州市書生中學統(tǒng)考一模)幾何畫板具有繪圖功能，可以方便地

繪制一個動態(tài)函數(shù)>=?2+法+。的圖象，并可通過改變系數(shù)。也c的值來探索函數(shù)圖象

的相關(guān)性質(zhì).步驟如下：

步驟一：在平面直角坐標系中，點A,B,C為無軸上的三個動點，橫坐標分別記為。，

b,c,JEL0<O<Z><C；

步驟二：繪制函數(shù)丁=加+法+c的圖象；

例:如圖，當點A,B,C分別移動到(1,0),(2,0),(4,0)的位置時,相應(yīng)的。=1,匕=2,°=4,

此;時函數(shù)解析式為y=x2+2x+4.

步驟三：任意移動A,B,C三點的位置，函數(shù)圖象的形狀、大小、位置會隨之改變.

⑴當點4氏C分別移動到(0,0),(2,0),(4,0)的位置，則函數(shù)解析式為,函數(shù)圖

象與無軸的交點坐標為;

(2)若點AC分別移動到(0,0),(4,0)的位置，函數(shù)>=依2+法+。的圖象與x軸的交點為

D(m,0),求優(yōu)的取值范圍；

(3)在點A的移動過程中，

①若點C移動到(4,0)的位置，且滿足AB=3C,此時函數(shù)y=a?+bx+c的最小值為§,

O

求點B的坐標；

②若滿足03=左.。。,。4=公。3(女為常數(shù))，試判斷函數(shù)y=o?+灰+。的值能否達

到手？請說明理由.

4

14.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模)二次函數(shù)尤-2)2-2a(分0)的圖象與y軸的交點

為(0,1).

⑴求。的值.

(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值.

(3)對于任意實數(shù)匕規(guī)定：當-時，關(guān)于無的函數(shù)%=%-質(zhì)的最小值記作：

%，求X的解析式.

15.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)如圖，y=-x2+mx+3(〃?>0)與y軸交于點C,與x

軸的正半軸交于點K,過點C作CB〃x軸交拋物線于另一點8,點。在x軸的負半軸

上，連接5。交y軸于點A,若AB=2AD.

⑴用含機的代數(shù)式表示8C的長.

(2)當機=2時，判斷點。是否落在拋物線上，并說明理由.

(3)過點B作成〃y軸交無軸于F,延長所至E,使得匹=gBC,

連接。E交V軸于

點G,連接AE交無軸于M.若ADOG的面積與AMFE的面積相等,求加值.

16.(2023?浙江金華?統(tǒng)考一模)如圖1,某公園有一個圓形噴水池，噴水池中心有一個

垂直于地面自動升降的噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線.如圖2,以噴水池中心。為原

點，水平方向為無軸，1米為1個單位長度建立平面直角坐標系，噴頭A的坐標為

(0,設(shè)拋物線的函數(shù)表達式中二次項系數(shù)為a.

圖1

(1)當水柱都滿足水平距離為4米時，達到最大高度為6米.

①若年1時，求第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達式.

②用含f的代數(shù)式表示(2)為了美化公園，對公園及噴水設(shè)備進行升級改造，。與f

1Q

之間滿足4々-3/+2=0,且當水平距離為6米時，水柱達到最大高度.

①求改造后水柱達到的最大高度.

②若水池的直徑為25米，要使水柱不能落在水池外，求f的取值范圍.

17.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系尤0y中，已知拋物線y=--2fx+l.

（1）求該拋物線的對稱軸（用含/的式子表示）；

⑵若點M（r-2,m）,N（r+3,在拋物線丫=/-2a+1上，試比較7”,〃的大小；

（3）P（“％）,Q（X2,%）是拋物線＞=x2-2江+1上的任意兩點，若對于-14再＜3且

%=3,都有％（必，求t的取值范圍；

（4）P（t+l,%）,。（2/-4,%）是拋物線y=/—2a+l上的兩點，且均滿足％求

r的最大值.

18.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）為了有效地應(yīng)對高樓火災(zāi)，某消防中隊進行消防技能

比賽.如圖，在一個廢棄高樓距地面10m的點A和:15m的點8處，各設(shè)置了一個火源,

消防員來到火源正前方，水槍噴出的水流看作拋物線的一部分（水流出口與地面的距離

忽略不計）.第一次滅火時站在水平地面的點C處，水流恰好到達點A處，且水流的最

大高度為16m,水流的最高點到高樓的水平距離為4m,建立如圖所示的平面直角坐標

系，水流的高度y（m）與到高樓的水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x-hf+k.

(1)求消防員第一次滅火時水流所在拋物線的解析式;

(2)待A處火熄滅后，消防員前進2m到點。處進行第二次滅火，若兩次滅火時水流所

在拋物線的形狀相同，請判斷水流是否到達點8處，并說明理由；

(3)若消防員站在到高樓的水平距離為Um~l2m的地方，調(diào)整水槍，使噴出的水流形狀

發(fā)生變化，水流的最高點到高樓的水平距高始終是4m,當-gw。V-g時，求水流到達

墻面高度的取值范圍.

19.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模)如圖1,有一座拋物線形拱橋，某正常水位時，橋下的

水面寬20米，拱頂?shù)剿娴木嚯x為6米，到橋面的距離為4米，相鄰兩支柱間的距離

⑵求支柱"N的長度.

(3)隨著水位的上升，橋下水面的寬度逐漸減小.一艘貨船在水面上的部分的橫截面是

邊長為5米的正方形，當水位上升0.75米時，這艘貨船能否順利通過拱橋？請說說你

的理由.

20.(2023?浙江湖州?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線y=g(x+/)(x+-5)與x軸的交點為8,

3

A(8在A左側(cè))，過線段Q4的中點M作M尸，x軸，交雙曲線y=-,無＞0)于點P.

（1）當r=l時，求AB長；

⑵當點/與對稱軸之間的距離為2時，求點尸的坐標.

（3）在拋物線平移的過程中，當拋物線的對稱軸落在直線x=2和x=4之間時（不包括邊

界），求f的取值范圍.

21.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線y=-=/+：x+3交無軸的正半軸

44

于點A,交y軸于點2,動點。（加,0）（。＜根＜4）在無軸上，過點C作x軸的垂線交線段AB

于點。，交該拋物線于點尸，連接。尸交AB于點E.

（1）求點A,B的坐標.

（2）當機=2時，求線段PE的長.

（3）當ABOE是以防為腰的等腰三角形時，求機的值.（直接寫出答案即可）

22.（2023?浙江湖州?統(tǒng)考一模）一張矩形紙片A3CD（如圖1）,AB=6,AD=3.點

E是BC邊上的一個動點，將AABE沿直線AE折疊得到△AEF,延長AE交直線。于

點G,直線AF與直線CO交于點。.

初步探究

(1)求證：AAQG是等腰三角形；

(2)設(shè)/。=加，當BE=2CE時，計算"Z的值；

深入探究

(3)將矩形紙片放入平面直角坐標系中(如圖2所示)，點8與點。重合，邊OC、Q4分

別與x軸、y軸正半軸重合.點打在0C邊上，將△AOH沿直線折疊得到VAPH.

①當AP經(jīng)過CD的中點N時，求點P的坐標；

②在①的條件下，己知二次函數(shù)＞=-/+6x+c的圖象經(jīng)過A、。兩點.若將直線A"右

側(cè)的拋物線沿對折，交y軸于點請求出AM的長度.

23.(2023?浙江麗水?統(tǒng)考一模)某天，小明在足球場上練習“落葉球”(如圖1),足球

運動軌跡是拋物線的一部分，如圖2,足球起點在A處，正對一門柱C。，距離AC=12m,

足球運動到B的正上方,到達最高點2.5m,此時A5=10m.球門寬=5m,高CD=2m.

(1)以水平方向為尤軸，A為原點建立坐標系，求足球運動軌跡拋物線的函數(shù)表達式.

(2)請判斷足球能否進球網(wǎng)？并說明理由.

(3)小明改變踢球方向，踢球時，保持足球運動軌跡拋物線形狀不變的前提下，足球恰

好在點E處進入球網(wǎng).若離A點8m處有人墻GH,豆GH//CF,人起跳后最大高度為

2.2m,請?zhí)角蟠藭r足球能否越過人墻，并說明理由.

解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

24.(2023?浙江杭州?杭州育才中學?？家荒?己知函數(shù)y=62+(l-3a)x-4(0是常

數(shù)，且。中0).

(1)若點(L-1)在二次函數(shù)v的圖象上，

①求該函數(shù)的表達式和頂點坐標；

②若點和Q(5,〃)在函數(shù)的圖象上，且相＜〃，求馬的取值范圍；

(2)若函數(shù)y的圖象過(孫幻和(范，％)兩點，且當&時，始終都有%＞上，求

a的取值范圍.

3

25.(2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，直線y=]X+3與x軸、y軸交于點A、C,

拋物線＞=-3/+云+。經(jīng)過點A、C,與無軸的另一個交點是8,點尸是直線AC上的

一動點.

(1)求拋物線的解析式和點B的坐標；

(2)如圖1,求當OP+PB的值最小時點P的坐標；

(3)如圖2,過點尸作功的垂線交y軸于點。，是否存在點P,使以尸、D、8為頂點的

三角形與AAOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

26.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖1,拋物線＞=3/+&+。（°＜0）與x軸交于A,

B兩點（點A在點8的左側(cè)），與y軸交于點C,過點。作8〃彳軸，與拋物線交于另

一點。，直線8C與AD相交于點

⑴已知點C的坐標是（0,-4）,點8的坐標是（4,。），求此拋物線的解析式；

（2）若6=；c+l,求證：AD1BC；

（3）如圖2,設(shè)第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G,點尸是拋物線上在對稱軸

右側(cè)部分的一點，點P的橫坐標為r,點Q是直線8C上一點，是否存在這樣的點P,

使得△尸GQ是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足NGQP=NOC4,若存在，請直

接寫出f的值；若不存在，請說明理由.

27.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知拋物線y=

（1）當拋物線過點（2,1）時，求拋物線的表達式：

（2）拋物線上任意不同兩點都滿足：當王＜Z＜。時，

（王―%）（%—%）＞。；當。＜玉＜電時，（尤1一々）（乂一%）＜。，試判斷點尸（2，-9）在不在

此拋物線上；

（3）拋物線上有兩點E（0,〃）,尸（6,加），當bW-2時，mV”恒成立，試求。的取值范圍.

利用拋物線的對稱性求出對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，是解題的關(guān)鍵.

28.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線y=存在

兩點4（切一1,%）,B（m+2,y2）.

（1）求拋物線的對稱軸；（用含機的式子表示）

（2）記拋物線在A,8之間的部分為圖象尸（包括A,8兩點），,軸上一動點C（O,a）,

過點C作垂直于，軸的直線/與F有且僅有一個交點，求a的取值范圍；

⑶若點”（2,%）也是拋物線上的點，記拋物線在A,V之間的部分為圖象G（包括M,

A兩點），記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為心若叱卜-％|，求

m的取值范圍.

熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解是解題的關(guān)鍵.

29.（2023?浙江溫州?校考一模）如圖，已知二次函數(shù)圖像與x軸交于點A（-3m,O）,5（1,0）,

交y軸于點C（0,2m）（m>0）.

（1）當爪=1時，求拋物線的表達式及對稱軸；

2

（2）P為拋物線在第二象限上的一點，成交拋物線對稱軸于點。.若tan/PA4=g,

PD=^DB,求優(yōu)的值.

30.（2023?浙江舟山?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)丁二辦之+樂+K〃w0）.

⑴若，=-1,且函數(shù)圖象經(jīng)過（0,3）,（2,-5）兩點，求此二次函數(shù)的解析式；并根據(jù)圖

象直接寫出函數(shù)值y23時自變量》的取值范圍;

（2）在（1）的條件下，已知拋物線y=/+6尤+。（。彳0）與無軸交于A,8兩點（點A

在點B的左側(cè)），將這條拋物線向右平移相（加>0）個單位，平移后的拋物線于x軸交

于C,D兩點（點C在點。的左側(cè)），若3,C是線段AD的三等分點，求機的值.

（3）己知a=b=c=l,當x=",q（0,g是實數(shù)，。盧4）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分

另1J為尸，Q.若P+4=2,求證尸+Q>6.

07二次函數(shù)大題綜合

1.(2023?統(tǒng)考二模)二次函數(shù)》=加+為+3("0)的圖象經(jīng)過點A(1,O),8(3,0).

(1)求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸.

⑵設(shè)尸(根,％),。(機+1,刈)(加>2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點.當相時，函數(shù)

的最大值與最小值的差為5,求加的值.

【答案】⑴y=f_4x+3,x=2

(2)m=4

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解析式，進而化為頂點式，求得對稱軸即可求解；

(2)根據(jù)m>2,則當根時，y隨著x的增大而增大，分別求得最小值與最大值,

根據(jù)題意列出方程解方程即可求解.

【詳解】(1)解：將點4(1,0),3(3,0)代入>=加+及+3(?0),

.(a+b+3=0

^[9a+3b+3=Qf

[〃=1

解得：7/

[b=-4

??y=%?—4x+3=(%-2)-1,

**-y=—4x+39對稱軸直線1=2對稱.

(2)*/m>2,

J當相WxWm+l時，y隨著x的增大而增大，

；?y最大=(〃?+1)2-4(m+1)+3，

y最小=，/一4m+3.

V函數(shù)的最大值與最小值的差為5,

+—4（m+l）+3—m2+4m—3=5,

...加=4.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=:依2一4/7式-4（機/0且優(yōu)為常數(shù)）與y軸交于

點A,其對稱軸與x軸交于點8.

⑴求點A,B的坐標；

（2）若初<-2,判斷二次函數(shù)圖象的頂點位于哪個象限，并說明理由；

（3）若方程M—4皿-4=0（m/0）有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根都在1,3之間（包括1,

3）,結(jié)合函數(shù)的圖象，求機的取值范圍.

【答案】⑴（0T）,（2,0）；

（2）第一象限，理由見解析；

4

（3）--<m<-l.

【分析】（1）根據(jù)題中的條件求解即可；

（2）把二次函數(shù)解析式化成頂點式，求出頂點坐標即可求解；

2

（3）根據(jù)條件可知，b-4ac>Q,求出機的取值范圍，再根據(jù)方程*2一4皿-4=0的兩

根都在1,3之間，即可求解.

【詳解】（1）解：由題意可得：令尤=0,得到y(tǒng)=T,

的坐標為（0,-4）,

對稱軸尤=一==2,所以5的坐標是（2,0）.

2a

（2）解：y=mx2-4mx-4

=m(x—2)2—4m—4.

???二次函數(shù)的頂點坐標是（2,Tm-4）,

當“2<—2時，-4m>8；

可得：-4m-4>4,

???二次函數(shù)圖象的頂點位于第一象限.

（3）解：???方程如2-4如-4=0（〃存0）有兩個不相等的實數(shù)根，

b2~4ac=16m2+16m>0,解得：m>Q^m<—l,

方程處2—4〃11y一4=。的兩根都在i,3之間，可得二次函數(shù)》=〃認2-4如:-4的圖象與x軸

交點的橫坐標在1,3之間.

4

當相>0時，由題意知相一4加一4>0,解得用<一§,不符題意；

44

當相<一1時.由題意知利—4m一4v0,解得根2—,—<m<-l；

33

4

綜合上述：-

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù),=%2一（〃+2）%+2〃+1,

（1）若。=4,求函數(shù)的對稱軸和頂點坐標.

（2）若函數(shù)圖象向下平移一個單位，恰好與I軸只有一個交點，求。的值.

（3）若拋物線過點（T%）,且對于拋物線上任意一點（入,匕）都有%,若點

是這條拋物線上不同的兩點，求證：〃+p>-8.

【答案】⑴龍=3,（3,0）

⑵a=2

（3）見詳解

【分析】（1）將。=4帶入二次函數(shù)，再將二次函數(shù)化為頂點式即可得到答案;

(2)根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)得到平移后的函數(shù)，再根據(jù)新函數(shù)與無軸只有一個交點建立

方程，解方程即可得到答案；

(3)由題意可得(T,%)為拋物線頂點，從而得到拋物線的對稱軸為》=-1,從而計算出a

的值，再將A(加,*8(2-加,p)帶入如拋物線的解析式得到“+p=2(〃?-l)2-8,即可得到答

案.

【詳解】(1)解：：a=4,

y=%?_(4+2)x+8+1,

y=x2-6x+9,

???y=(%—3)2,???函數(shù)的對稱軸和頂點坐標分別為：直線x=3,(3,0)；

(2)解：函數(shù)圖象向下平移一個單位得y=/—(〃+2)工+2〃+1-1,

y=/—(〃+2)x+2a與x軸只有一個交點，

A=(a+2)2—4x2a—0,

解方程得：a=2；

(3)解：?.?拋物線過點(T%),且對于拋物線上任意一點(知元)都有32%,

A(-1,%)為拋物線的頂點，

二拋物線的對稱軸為工=-1,

2

a=—4,

拋物線為：y=x2+2x-7,

,:A(m,ri),B(2-m,p)在拋物線上,

n=m2+2m—7,p+2（2—m）—7,

n+p=Z7?+2根一7+(m—2)2+2(2—m)—7,

n+p—2(m—l)2—8,

VA(m,*B(2-m,p)是這條拋物線上不同的兩點,

m1

.?.〃+.>—8.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)頂點式以及二次根式

的性質(zhì).

4.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考三模）如圖，已知二次函數(shù)y=-x+c的圖象經(jīng)過點

⑴求該二次函數(shù)的表達式.

（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標.

（3）點0機,〃）在該二次函數(shù)的圖象上，若"N6,試根據(jù)圖象直接寫出，”的取值范圍.

13

【答案】（1）丁=5%2一%一5；

（2）（1,-2）；

⑶m<一3或加25時.

【分析】（1）將點玖-3,6）代入函數(shù)解析式即可求解;

b

（2）由函數(shù)解析式依據(jù)x=-<可求得頂點橫坐標，將橫坐標代入解析式即可求得頂點縱

2a

坐標；

(3)依據(jù)對稱性求得P(-3,6)關(guān)于對稱軸的對稱點為(5,6),點。(孫〃)在二次函數(shù)的圖象上，

S.n>6,故在尸(-3,6)與(5,6)兩側(cè)，即可求解.

【詳解】(1)解：二次函數(shù)-x+c的圖象經(jīng)過點尸(-3,6),

1

.*.6=-x(-3)9-(-3)+c,

3

解得：c=-p

y=-1x2-x——3：

22

(2)由(1)可知，

1Q丫—-1_1

函數(shù)》=5必-x-；對稱軸即頂點橫坐標為：73一，

2

13

當x=l時J=—xl2-1=-2,

'22

故頂點坐標為：(1,-2)；

13

(3)由(2)可知，函數(shù)y=一無一/開口向上，對稱軸為直線彳=1,

產(chǎn)(-3,6)在函數(shù)圖象上，

故尸(-3,6)關(guān)于對稱軸*=1的對稱點為(5,6),

點在二次函數(shù)的圖象上，且〃》6,

故Q(m,n)在尸(-3,6)與(5,6)兩側(cè)，

即當機V-3或機25時，n>6.

【點睛】本題考查了代入法求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)頂點坐標，二次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

5.(2023?浙江湖州?統(tǒng)考一模)為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺相關(guān)政策，本市

企業(yè)提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，政府還給予大學畢業(yè)生一定補貼.已知某種品牌服裝

的成本價為每件io。元，每件政府補貼20元，每月銷售量y(件)與銷售單價%(元)之

間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-3x+9OO.

(1)若第一個月將銷售單價定為160元，政府這個月補貼多少元？

⑵設(shè)獲得的銷售利潤(不含政府補貼)為w(元)，當銷售單價為多少元時，每月可獲得最

大銷售利潤？

(3)若每月獲得的總收益(每月總收益=每月銷售利潤+每月政府補貼)不低于28800元，求

該月銷售單價的最小值.

【答案】⑴8400元

(2)200元

(3)140元

【分析】(1)把x=160代入y=-3x+9OO,求出銷售的件數(shù)，從而得到政府補貼金額；

(2)根據(jù)總利潤=數(shù)量x單件利潤列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值求解；

(3)每月獲得的總收益為列出函數(shù)關(guān)系式，再令M=28800,求出x值，結(jié)合函數(shù)的

性質(zhì)得到最小值.

【詳解】(1)解：在y=-3x+9O。中，令彳=160,則y=420,

/.政府這個月補貼420x20=8400元；

(2)由題意可得：w=(-3x+900)(%-100)=-3(A:-200)2+30000,

V?=-3<0,

...當x=200時,w有最大值30000.即當銷售單價定為200元時，每月可獲得最大利潤30000

元.

(3)設(shè)每月獲得的總收益為

由題意可得：^=(-3%+900)(%-100)+20(-3%+900)=-3(%-190)2+36300,

令M=28800,貝!|-3(x-190y+36300=28800,

解得：x=140或x=240,

?/a=-3<0,則拋物線開口向下，對稱軸為直線x=190,

.?.當1404x4240時，w>28800,

該月銷售單價的最小值為140元.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求解，此題難度不大.

6.(2023?浙江?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)丁=加+2工+1("0).

(1)若a=g,試求該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標.

(2)若該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(sj),求證：r=s+l.

(3)若a<0,且當自變量無滿足OWxW機時，—2WyW2,求機的值.

【答案】⑴卜2+也0),「2-￡0)

(2)見解析

⑶機=3

【分析】(1)將a=g代入y=〃+2x+l(aw0),令y=0,解一元二次方程即可求解；

⑵根據(jù)頂點坐標公式，得出$=-白=」，t==即可得證；

2aa4。a

(3)①當機<-工時，最小值為'=1,不合題意，②當/n>-L最小值為工=利時，，=-2,

aa

根據(jù)題意得出。=-1,進而將點(加,-2)代入得，一2=-蘇+2租+1,解方程即可求解.

【詳解】(1)解：將■代入y=o%2+2x+l(aH。)

10

即y=]%2+2%+1,

當y=。時，0=萬％?+2x+1角牟得：Xy——2+V2,x2=—2—V2

???該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為卜2+后,0),卜2-60)

(2)解：:y=冰2+2%+1(〃。0)圖象的頂點坐標為(s"),

.214。一41I

..s=---=—,t=--------=I—

2aa4aa

，=s+l

(3)解：；a<0,則對稱軸為直線％=-工>0,

a

自變量x滿足O4小時，一2WyW2,

y=m：2+2x+l(awO),當x=0時，y=l,

在對稱軸左側(cè)，y隨工的增大而增大，

①當機<-,時，最小值為y=i,不合題意，

a

②當加〉—工，最小值為％=根時，y=-2,

a

,ll

取a大值為了=—時，y=l—=2,

aa

??ci——I,

???拋物線解析式為：y=~x2+2x+1,

將點(私-2)代入得,—2=-m2+2m+1，

解得：叫=T,嗎=3,

*.*m>—,即力>I,

a

??YYI—3.

【點睛】本題考查了求拋物線與X軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）對于拋物線^=依2-4*+3（。＞0）.

（1）若拋物線過點（4,3）,

①求頂點坐標；

②當ovxv6時，直接寫出y的取值范圍為；

（2）已知當時，lVyV9,求a和加的值.

【答案】⑴①（2，一1）；②一lWyW15（2）a=2,根=3

【分析】（1）①先利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再將解析式化為頂點式即可得出

答案；

②先確定拋物線的對稱軸為直線x=2,y最小=T,再確定當犬=0時，y=3,當x=6時，

y=15,比較函數(shù)值的大小即可得出答案；

（2）先確定拋物線與＞軸交點坐標為（。，3）,而當OWxW機時，y49,從而可得出y最小=1,

利用頂點縱坐標公式可求出此時當工=加時，可得V最大=9,建立方程解之即可.

【詳解】（1）解:?VifeWay=^2-4x+3（a＞0）a：^（4,3）,

.?.0x42-4x4+3=3,

解得:a=l,

y=x2-4x+3=（x-2）--1,

???頂點坐標為（2，-1）；

②???拋物線y=f-4x+3的對稱軸為直線x=2,

當x=2時，y最小=-1,

當x=0時，y=3,

當x=6時，y=62-4x6+3=15,

當0VxV6時，》的取值范圍為TWyW15.

故答案為：-lWyW15.

(2):拋物線y=G?-4x+3(a>0)

當x=0時，y=3,

...拋物線與>軸交于點(0,3),

?當OVxWm時，l<y<9,

，拋物線經(jīng)歷先下降再上升的過程，

4ax3-(-4)2[a=2[a=2

A4a，解得：?；?(舍去)，

cm=3\m=-l

am"-4m+3=9

.,.(7=2,〃z=3.

【點睛】考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解方程組，待定系數(shù)法，掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?浙江?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的二次函數(shù)、=-/+2〃a+/(m,〃為常數(shù)).

(1)若二次函數(shù)圖象經(jīng)過A(l,0),3(2,0)兩點，求二次函數(shù)的表達式；

(2)若機+〃=1,試說明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個不同的交點；

(3)若mTWxW〃?+Mk>°)時，函數(shù)的最大值為P，最小值為4，S.p-q=3k,求人的值.

【答案】⑴y=*+3x-2

(2)見解析

(3次的值為g或3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式；

(2)由m+n=l^n=l-m,代入得函數(shù)解析式為y=+23+1-機,求出判別式即可

判斷;

(3)確定拋物線的對稱軸為直線1=用，開口向下，最大值為小+〃，再分兩種情況當

0(人＜1時，當左＞1時，求出左的值.

【詳解】(1)將A(1,O),5(2,0)代入,=—/+2如+〃，得

—l+2m+n=0

-4+4m+〃=0'

.3

m=一

解得2,

n=-2

???次函數(shù)的表達式是y=-/+3%—2；

(2)Vm+n=1,

n=l—m,

函數(shù)解析式為y=-x2+2mx+1-m,*.*A=(2m)2—4x(—1)(1—m)=(2m—l)2+3,

(2m-l)2+3＞0,即A＞0,

該函數(shù)圖象與x軸必有兩個不同的交點；

(3)y=—x2+2iwc+n——^x—m)"+1T11+n,

...拋物線的對稱軸為直線x=",,開口向下，最大值為M+”，

.?.當0＜左＜1時,

當X=W時有最大值力P+”，即p=〃?2+〃；

當無=加一1時有最〃、值,q=-(利-1)2+2〃z(wt-l)+〃=〃/+M-1,

,:p_q=3k,

m2+n—(/J?+"-1)=34，

解得人=：；

當上＞1時,

當％=根時有最大值療+〃，即〃=療+〃；

當％=m+左時有最小值，q=—(m+^)2+2m(m+^)+n=m2+n—k2,

*.*p-q=3k,

???根2+〃一(根2+〃左2)=3左,

解得左=3或女=0(舍去)

綜上，上的值為g或3.

【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖

象與x軸交點問題，二次函數(shù)的最值問題，正確掌握二次函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?浙江?模擬預(yù)測)在直角坐標系中，設(shè)函數(shù)y=af+fcr+c(a,b,c是常數(shù)，awO).

(1)當。=一1時，

①若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2,且過點(1,4),求該函數(shù)的表達式；

②若該函數(shù)的圖象與無軸有且只有一個交點，求證：b+4c<^

4

⑵己知該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(切，”?)，(?>n)(m^n).若b<0,m+n=3,求a的取值范

圍.

【答案】⑴①y=-f+4x+l；②見解析

(2)o>-

【分析】(1)①根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式即可求出。的值，再將(L4)代入該二次函數(shù)的

解析式即可求出c的值，即得出該函數(shù)的表達式；②根據(jù)該函數(shù)的圖象與無軸有且只有一個

交點，即說明其相關(guān)一元二次方程有且只有一個實數(shù)解，再利用其根的判別式即得出

A=^2-4X(-1)XC=0,整理為4c=一/,進而可求出6+4c=8-再配方，結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)即可求解;

(2)將(加m),(%代入該二次函數(shù)解析式，^m—am2+bm+c,n=an2+bn+c

兩式相減并整理得根-幾=。(m-九)(帆+幾)+。(根-幾).結(jié)合題意可求出

m-n=(?)a+b)(m-n),根據(jù)根說明3a+Z?=l,即Z?=l—3〃.最后利用b<0,求出〃

的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：①???。=—1,

該函數(shù)解析式為y=-x2+bx+c.

V該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2,

bc

,--------=2

*,2x(-1)，

解得：b=4.

??,該函數(shù)圖象過點(1,4),

4=—I2+4+。,

解得：。=1,

該函數(shù)解析式為y=-爐+4x+1；

②;該函數(shù)解析式為y=-/+樂+°,且其圖象與九軸有且只有一個交點，

.??方程一%2+區(qū)+°=o有且只有一個實數(shù)解，

\=廿-4x(-l)xc=0,

整理，得：/?2+4c=0,即4c=—Z?2,「?b+4c=/?—=—(b—g]+；.

..1丫1.1

?—b——+—<—,

I2)44

.*./?+4c<—；

4

(2)解：??,該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(小m),(〃，n),

m—am2+bm+c,n=+c,

整理，得：m—n=a^m2—n2)+Z?(m—n),

:.m—n=a(m—n^{m+ri)+b{m—ri).

m+n=3，

/.根一〃=3a(m—〃)=(3a+b)(機一〃).

又?:m豐n,

；?3a+b=l,即6=1-3〃.

??"vO,

??1—3cl<0,

解得：">g,

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與％軸的交點問題，整式的加減，

分解因式等知識.掌握二次函數(shù)圖象上的點滿足其解析式是解題關(guān)鍵.

10.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=o?+b%+c（QwO）與X軸交于A（1,0）,BO,0）兩

點.

（1）當4=11=2時，求機的值.

（2）當Ova<2,c=2時,

①求證：7Z7>1.

②點C（幣%）,。（%2，%）在該拋物線上，且玉>%2，%+工2<2,試比較M與力的大小.

【答案】（1）—3；

（2）①見解析;（2）【分析]⑴當。=11=2時，y=x2+2x+c,把A（l,0）代入求得

c=-3,得到y(tǒng)=f+2%-3,把5（辦0）代入y=爐+2]—3得，0=療+2機-3,解方程即可

得到答案；

(2)①才巴A(l,0),3(根,0)代入y=Qx2+bx+c(QW0)得〃+b+c=o,〃加2+〃機十o=0,由。=2

得至！Ja+b+2=0,加？+/?帆+2=0進一步得。利之一(。+2)m+2=0,貝IJ

A=(?+2)2-4(7X2=(?-2)2>0,由。<〃<2,解方程求出m,即可判斷.

②由①得人=一〃一2,c=2,貝！Jy=一(〃+2)X+2,把。(玉,兇),。(九2，%)代入得

2

y=axt-(6Z+2)X)+2,y2=ax；-(<2+2)x2+2,貝Ijyx-y2=(無一%2)[〃(%+%2)—(〃+2)],

由%>%,%1+%2<2,得到％-％2>0，,a(%+%2)—(a+2)<0,進一步即可得到答案.

2

【詳解】(1)解：當。=11=2時，y=x+2x+cf

把41,0)代入得，0=1+2+。，

解得c=-3,

y=x2+2x-3,

把5(九0)代入y=f+2%—3得,0=m2+2m-3,

解得機=1或-3；

?.?二次函數(shù)y=a/+加；+或。w0)與x軸交于A(l,0),B(m,0)兩點，

?*.m=—3；

(2)①把A(l,0),3(m,0)代入y=以2+bx+c(〃。0)得，

a+Z?+c=0,am2+bm+c=0,

???c=2,

「?a+h+2=0,am2+bm+2=0,

由人=一1一2得至1」4機2一(&+2)陽+2=0,

貝ljA=(a+2)2-4ax2=(q-2)2N0,二二」°+2)±八"2)_(a+2)±(a-2),

2ala

2

加！=1(舍去)，m=—,

2a

0VQ<2,

ZZ7>1.

②由①得/?=-〃-2,c=2,

y=ax2-(a+2)x+2,

把C(%,y),D(%,為)代入得，

2

yx=axi一(々+2)%]+2,y2=ax^-(tz+2)x2+2,

**.y-%=^X]2_(a+2)M+2_^cix2-(a+2)9+2]

=a(M+%2)_(a+2)(%i-x2)

二(跖+%2)-(a+2)],

玉>々，玉+九2<2,

Xi-x2>O,a(%i+%2)-(a+2)v2a-(a+2),

?.?0va<2,

**.2a—(a+2)=a—2Vo,

**.+w)-(Q+2)<0,

=(尤1-々，[。(為+尤2)-(a+2)]<0,

%<%.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程、比較函數(shù)值大小等知識，讀懂題

意并準確計算是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)烏饅頭是江北慈城地方特色點心，用麥粉發(fā)酵，再摻以白

糖黃糖，蒸制而成.因其用黃糖，顏色暗黃，所以稱之謂“烏饅頭”.某商店銷售烏饅頭，通

過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)，烏饅頭的日銷售量y（盒）是銷售單價x（元/盒）的一次函數(shù)，銷售

單價、日銷售量的部分對應(yīng)值如下表，已知銷售單價不低于成本價且不高于2