2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)2教學(xué)教案新人教A版必修4

PAGE隨意角的三角函數(shù)一、教學(xué)基本信息：⒈授課者：⒉課題：一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書《數(shù)學(xué)（必修4）》第一章“三角函數(shù)”，其次節(jié)“隨意角的三角函數(shù)”其次課時。二、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)⒈指導(dǎo)思想：以問題為引導(dǎo)、以探究為過程、以發(fā)展為目標(biāo)，面對全體、敬重特性。⒉理論依據(jù)：建構(gòu)主義認(rèn)知心理學(xué)原理及單元教學(xué)設(shè)計原理建構(gòu)主義心理學(xué)認(rèn)為，相識并非是主體對于客觀存在的簡潔的、被動的反映，而是一個主動的、不斷深化的建構(gòu)過程，即全部的學(xué)問意義都是通過內(nèi)在表征過程主動建構(gòu)出來的；在學(xué)問意義建構(gòu)過程中，主體已有的學(xué)問、閱歷起著重要的作用，即全部學(xué)問意義是隨著學(xué)習(xí)環(huán)境的改變而處于不斷發(fā)展之中。因此在教學(xué)中必須要讓學(xué)生的學(xué)問建構(gòu)過程處于肯定的學(xué)問體系之中，既要利用已有的相關(guān)學(xué)問幫助學(xué)生對新學(xué)問產(chǎn)生內(nèi)化，有要幫助學(xué)生將內(nèi)化的學(xué)問與原有的學(xué)問融合產(chǎn)生相關(guān)學(xué)問的系統(tǒng)，以幫助他更好地理解學(xué)問。教學(xué)設(shè)計時，要通過單元教學(xué)的設(shè)計原理，將一節(jié)的內(nèi)容納入到某一學(xué)問主題單元中，幫助學(xué)生從某一學(xué)問體系的整體上來相識新學(xué)問，從而有利于學(xué)生更好地對學(xué)問加以建構(gòu)。三、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相像形和圓，探討方法主要是代數(shù)中的圖象分析和代數(shù)變形，三角函數(shù)的探討已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來。它在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)。在前課中，角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°–360°內(nèi)的角，再擴充到隨意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必需有所擴充。隨意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必定結(jié)果。比較銳角三角函數(shù)與隨意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而隨意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”。正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來表示隨意角的三角函數(shù)，這是概念的核心。這樣定義，不僅簡化了隨意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)探討它的性質(zhì)帶來了便利。從銳角三角函數(shù)到隨意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”。因此，學(xué)習(xí)隨意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起隨意角三角函數(shù)的概念。隨意角三角函數(shù)概念的重點是隨意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用。解決這一重點的關(guān)鍵，是學(xué)會用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示三角函數(shù)。因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．隨意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域。隨意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)。各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域。三角函數(shù)線是三角函數(shù)定義的直觀形象，它的產(chǎn)生有利于學(xué)生直觀地感受三角函數(shù)的概念，也有利于學(xué)生視察三角函數(shù)所具有的如周期性、單調(diào)性等一些重要的性質(zhì)。隨意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點。無論是探討三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．在建立隨意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、改變、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法。四、學(xué)生分析：學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，本節(jié)課須要借助這個定義來形成三角函數(shù)線的概念，但是學(xué)生對上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容理解未必深刻，所以本節(jié)課教學(xué)須要進行復(fù)習(xí)。在三角函數(shù)線概念形成之后，還要結(jié)合三角函數(shù)線來引導(dǎo)學(xué)生進一步理解三角函數(shù)的概念，理解三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以深化相識。對于三角函數(shù)線這一概念，須要用到有向線段的概念，但是對這一概念的學(xué)習(xí)是須要肯定的時間與空間，因此“有向線段”概念是干擾學(xué)生獲得新學(xué)問的一個學(xué)問點，這就須要老師在教學(xué)時通過問題的設(shè)計，對學(xué)生進行引導(dǎo)。學(xué)生的思維是有發(fā)展性的，所以在本節(jié)課教學(xué)中，不能以結(jié)論的呈現(xiàn)為教學(xué)方式，而應(yīng)以具有引導(dǎo)性、開放性的問題引發(fā)學(xué)生的思索與探究，這樣才能發(fā)展學(xué)生的思維。所以本節(jié)課概念的形成過程是以問題引導(dǎo)來完成的。五、教學(xué)目標(biāo)分析：本節(jié)課的目標(biāo)是，在上一節(jié)課教學(xué)的基礎(chǔ)之上，進一步理解隨意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。通過對三角函數(shù)定義的思索，通過探究得到三角函數(shù)線這一反映三角函數(shù)定義的幾何形象。并通過三角函數(shù)線進一步從直觀上感受三角函數(shù)的定義域、值域，感受三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性等重要性質(zhì)，通過三角函數(shù)線確定不同象限內(nèi)三角函數(shù)的符號。六、教學(xué)重點分析：三角函數(shù)線的產(chǎn)生是本節(jié)課的一個重點，對學(xué)生而言，三角函數(shù)線的產(chǎn)生并非不言自明，這里哪一個圖形才能表示三角函數(shù)值的兩個方面：一是肯定值，二是符號，這個須要老師設(shè)計相應(yīng)的問題加以引導(dǎo)，所以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺三角函數(shù)線是教學(xué)的一個重點。教學(xué)中的另一個重點是利用三角函數(shù)線來再次感受三角函數(shù)的性質(zhì)。七、教學(xué)難點分析：三角函數(shù)線的產(chǎn)生，特殊是正切線的產(chǎn)生是本節(jié)課學(xué)習(xí)的一個難點，其中產(chǎn)生這一難點的一個重要緣由是“有向線段”這一概念，對學(xué)生而言，“有向線段”、“有向直線”這些概念是生疏的，對它們本質(zhì)屬性的理解須要肯定的時間與空間，所以須要在三角函數(shù)線產(chǎn)生之前對這些概念進行表征。擬實行引導(dǎo)性問題來引導(dǎo)學(xué)生的思維以突破該難點。八、教學(xué)方法：老師問題引導(dǎo)教學(xué)、學(xué)生在問題引導(dǎo)下的探究性學(xué)習(xí)；幾何畫板軟件介入的多媒體協(xié)助教學(xué)。九、教學(xué)流程：復(fù)習(xí)舊知，以舊引新——問題引導(dǎo)，探求新知——直觀感知，深化相識——小結(jié)反思，提升梳理十、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)生活動老師活動設(shè)計意圖一、復(fù)習(xí)舊知，以舊引新：⒈請說說上節(jié)課學(xué)習(xí)的隨意角α的三角函數(shù)概念，作為函數(shù)，能說明它們的三要素嗎？⒉當(dāng)α為銳角(即α∈)時，三角函數(shù)值均為正值，隨意角的三角函數(shù)值的符號如何？學(xué)生回顧；提出問題，并對學(xué)生的回答進行評價；問題一的設(shè)計是通過對舊學(xué)問的回顧，激活學(xué)生的思維，為新學(xué)問的學(xué)習(xí)做打算；通過問題二，可以檢驗學(xué)生是否很好地駕馭了上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，形成學(xué)習(xí)新學(xué)問的先行組織者。二、問題引導(dǎo)，探求新知：三角函數(shù)線的探究：過渡性語句：以上定義是從代數(shù)角度探討三角函數(shù)，下面再從幾何角度來探討三角函數(shù)問題1：如圖，角α的終邊與單位圓交于P(x,y)，則有sinα=y，cosα=x，tanα=(x≠0)，這些三角函數(shù)在各個象限的符號不同的根源是什么？問題2：如何在坐標(biāo)軸上標(biāo)記P點所在的位置與方向？問題3：PM與sinα有關(guān)系嗎？它能表示sinα嗎？為什么？怎樣解決這個問題？問題4：OM與cosα有關(guān)系嗎？它能表示cosα嗎？為什么？怎樣解決這個問題？由于線段PM與OM都規(guī)定了方向，我們稱其為有向線段。問題5：你能借助單位圓找到一條如PM、OM的有向線段表示角α的正切嗎？假如學(xué)生能夠由問題5思索出正切線，那么就須要讓他闡述理由，假如學(xué)生不能由問題5思索出正切線，那么接著提出以下問題問題6：假如不能找到一個線段表示角α的正切，這是因為正切的定義是兩個坐標(biāo)的比值，但你是否想過，角α的正弦其實也是一個比值，是PM與1的比值，而分子PM恰是角α的正弦值，從這個角度考慮，正切定義的比值應(yīng)怎樣轉(zhuǎn)化，就能幫助我們找到表示角α正切的線段了？思索問題，嘗試回答展示課件，提出問題，對學(xué)生的回答進行點拔與指導(dǎo)過渡性語句說明本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容是從幾何的角度來看三角函數(shù)，說明數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想。三角函數(shù)的符號是因為角α的終邊與單位圓交點坐標(biāo)的符號，而這些坐標(biāo)的符號是由平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的方向確定的。由原點動身，與x軸正向同向的橫坐標(biāo)則為正，反之則為負，縱坐標(biāo)亦然。提出問題1、2的目的就是引導(dǎo)學(xué)生意識到三角函數(shù)符號與軸的方向的關(guān)系，為三角函數(shù)線方向的規(guī)定奠定思維基礎(chǔ)。后續(xù)的問題3、4是進一步引導(dǎo)學(xué)生思索哪條線段能夠表示角α的正弦與余弦，引導(dǎo)他們思索線段必需規(guī)定方向以表示角α的正、余弦值的符號。問題5、6的提出，是以一個開放性的問題來引導(dǎo)學(xué)生的思索，其中問題6是通過引導(dǎo)學(xué)生類比正弦，發(fā)覺正切線。三、直觀感知，深化相識：學(xué)生得到三個三角函數(shù)線之后，老師通過多媒體演示當(dāng)角α改變時，三角函數(shù)線的改變，同時提出問題：問題7：如圖，角α的正弦線PM長度為0.7，方向指向下方，由此你可以得到的結(jié)論是什么?問題8：你能夠利用三角函數(shù)線，說明當(dāng)時，sinα、cosα、tanα的大小關(guān)系嗎？問題9：當(dāng)角α的終邊從x軸非負軸起先，逆時針進行旋轉(zhuǎn)，通過視察多媒體課件中正弦函數(shù)線的改變，試說明三角函數(shù)的改變特點。分小組活動，看哪個小組可以獲得更多的性質(zhì)，將獲得的性質(zhì)寫在白紙上。若學(xué)生寫的性質(zhì)不多，可以提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生感受、發(fā)覺。問題10：當(dāng)角α的終邊轉(zhuǎn)過若干圈，回到初始位置時，正弦函數(shù)線發(fā)生了什么現(xiàn)象，這個現(xiàn)象說明白什么？問題11：如圖，當(dāng)角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱時，它們的正弦函數(shù)線有什么關(guān)系？你能獲得什么結(jié)論？問題12：你還能提出類似這樣有關(guān)對稱的問題嗎？說出你的問題，并說明你的結(jié)論。問題13：請推斷下列說法的正誤：①α肯定時，單位圓中的正弦線肯定；②單位圓中，有相同的正弦線的角相等；③α與α+π有相同的正切線；④具有相同正切線的兩個角的終邊在同始終線上；學(xué)生視察多媒體，思索，回答老師展示多媒體課件，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思索問題7幫助學(xué)生理解正弦線就表示角α的正弦值；問題8進一步幫助學(xué)生深化理解三角函數(shù)線即表示三角函數(shù)問題9通過對正弦函數(shù)線的動態(tài)視察，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)正弦函數(shù)的性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)；這里只探討正弦函數(shù)，其余的學(xué)生在課后自行探討。問題10、11、12，其實已經(jīng)涉及了誘導(dǎo)公式，但是此處更多地是讓學(xué)生直觀地感知，并不須要進行理性地說理，這一問題的處理，也為后續(xù)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式奠定基礎(chǔ)，它們與問題8一樣，都體現(xiàn)了單元教學(xué)的整體性。通過問題13的概念推斷，再一次深化學(xué)生對三角函數(shù)線的相識，同時這個問題也是對本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個檢測。四、小結(jié)反思，提升梳理：提出問題：我們今日學(xué)習(xí)了三角函數(shù)線，你認(rèn)為學(xué)習(xí)三角函數(shù)線對相識三角函數(shù)概念有哪些作用？學(xué)生思索，總結(jié)老師提問引導(dǎo)此問題為教科書中P17練習(xí)4，用這個問題做為小結(jié)的問題，可以引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)學(xué)問進行更為深化的思索，同時也幫助學(xué)生梳理三角函數(shù)線與