山東省泰安市2024屆高三上學期期末數(shù)學試題（含答案解析）

高三年級考試數(shù)學試題2024.01注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，若，則實數(shù)（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有，或，或，顯然不成立，當時，，不符合題意；當時，，符合題意故選：C2.設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，且，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，且，所以，所以.故選：A.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可判斷充分性，舉反例即可判定必要性.詳解】若，則,由于，所以，充分性成立，當時，滿足，但是，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要條件故選：A，4.已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量減法的坐標表示公式，結(jié)合投影向量的定義進行求解即可.【詳解】由，向量在向量上的投影向量為，故選：D.5.已知在處的極大值為5，則（）A. B.6 C.或6 D.或2【答案】B【解析】【分析】由題意可得，進而可求得，注意反代檢驗.【詳解】，因為在處的極大值為5，所以，即，解得或，當時，，當或時，，當時，，所以在處取得極小值，不符題意，當時，，當時，，當或時，，所以在處取得極大值，符合題意，綜上所述，，所以.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角差的正弦公式、二倍角公式以及平方關(guān)系化簡求值即可.【詳解】由題意，所以，，解得.故選：B.7.已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的對稱軸為，當時，單調(diào)遞減，將轉(zhuǎn)換成即可判斷.【詳解】由題意，所以，即的對稱軸為，且當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：A.8.設橢圓的左，右焦點分別為，直線過點，若點關(guān)于的對稱點恰好在橢圓上，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓的定義可推得，，然后根據(jù)，求出，最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有，又，所以，在中，由余弦定理可得，，即，即，化簡得，則，所以，解得或（舍去），所以.故選：D.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過定點B.直線與圓相交C.若，直線被圓截得的弦長為D.若直線與直線垂直，則【答案】BC【解析】【分析】分離參數(shù)即可得定點判斷A，根據(jù)定點在圓內(nèi)即可判定B，根據(jù)圓的弦長公式結(jié)合點到線的距離公式即可求解C，根據(jù)直線一般式中垂直滿足的關(guān)系即可求解D.【詳解】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；因，所以定點在圓內(nèi)部，直線與圓相交，故B正確：當時，直線,即圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，故C正確若與直線垂直，故，則或，故D不正確；故選：BC10.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.C.在上單調(diào)遞增D.圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)余弦型對稱性的性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象平移性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，所以函數(shù)圖象向下平移個單位，得到函數(shù)圖象的一個對稱中心為，即的一個對稱中心為，因此，因為，所以令，即.A：的最小正周期為，因此本選項正確；B：，因此本選項正確；C：當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此本選項不正確；D：圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因此本選項正確，故選：ABD11.如圖，在矩形中，，點是的中點，將沿翻折到位置，連接，且為中點，，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）A.平面B.存在某個位置，使得C.當翻折到二面角為直二面角時，到的距離為D.當翻折到二面角為直二面角時，與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面平行即可求證A，根據(jù)即可求解B，建立空間直角坐標系，利用向量法求解點線距離以及線面角即可求解CD.【詳解】取中點，連接，所以又，所以四邊形為平行四邊形，故平面，平面，故平面，平面，平面，故平面，平面，因此平面平面，平面，所以平面，A正確，當時，由于則，此時，故只需要在翻折過程中使得，即可滿足，即，故B正確，對于C，取中點，由于，又，所以，取中點，則，當二面角為直二面角時，則，故以為正方向為，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，則，，，故到的距離為，故C錯誤，，，設平面的法向量為，則，取則，故直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，故選：ABD12.已知曲線在點處的切線與曲線相切于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有2個零點B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點定義、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、對數(shù)的運算逐一判斷即可.【詳解】A：，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，函數(shù)的極大值為，極小值為，因此當時，，當時，，當時，，因此函數(shù)只有一個零點，因此本選項不正確；B：，，當時，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，本選項正確；C：，因此曲線在點處的切線方程為：，，因此曲線相切方程為：，因為曲線在點處的切線與曲線相切于點，所以，因此，所以本選項正確；D：由上可知：，因此有，因此本選項正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的幾何意義求出兩個曲線的切線方程，進而運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行判斷.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正數(shù)滿足，則__________.【答案】5【解析】【分析】由指數(shù)、對數(shù)運算性質(zhì)進行化簡求值即可.【詳解】不妨設，所以，所以.故答案為：5.14.已知正項數(shù)列的前項積為，且滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】由題意首先得，然后由的關(guān)系結(jié)合已知遞推關(guān)系式得數(shù)列是等比數(shù)列，由此即可得解.【詳解】由題意，因為，所以，又因為，且當，所以，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以故答案為：.15.已知球的體積為，其內(nèi)接圓錐與球面交線長為，則該圓錐的側(cè)面積為__________.【答案】或【解析】【分析】先分別求出圓錐的底面半徑和球的半徑，再利用勾股定理求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，高為，母線長為，球的半徑為，則，所以，，解得，如圖，為圓錐的軸截面，由勾股定理得，，即，解得或，當時圓錐的母線，所以圓錐的側(cè)面積為，當時圓錐的母線，所以圓錐的側(cè)面積為，故答案為：或.16.已知橢圓的左，右焦點分別為，點在內(nèi)，點在上，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合橢圓定義、焦半徑范圍即可得解，這個最終的范圍應該是有賴于的，而也可以得到的范圍.【詳解】由題意得，，又因為點在內(nèi)，所以，解得，而，不妨設，則，所以.故答案為：.【點睛】易錯點睛：容易錯的地方是由，誤以為的范圍為，事實上最終的范圍應該是有賴于的，對于具體的，不一定能取到內(nèi)的每一個數(shù).四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且為所在平面內(nèi)一點，且為銳角.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦二倍角公式可得，再由兩角和的余弦公式即可得，所以，可得，再由余弦定理計算可得；（2）設，利用誘導公式可得，在由正弦定理可得，再由余弦定理可得，結(jié)合角的范圍根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得.【小問1詳解】由可得，又因為，所以可得，即，可得；又，所以可得；因此，又，若，可得，可得；又，所以；由余弦定理可得，解得；【小問2詳解】設，則，由可得，在由正弦定理可得，即，可得，利用余弦定理可得，解得；所以可得，又為銳角，所以；可得.18.如圖所示，在直三棱柱中，，為中點，且，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意建立適當?shù)目臻g直角坐標系，要證，只需證明即可.（2）由題意分別求出兩平面的法向量，然后求法向量夾角余弦的絕對值即可得解.【小問1詳解】由題意，為中點，且，所以，所以，解得，所以，所以，即，取中點，則，又面，所以面，又面，所以，所以兩兩互相垂直，故以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：由題意，，，.所以，所以，所以，所以，即.【小問2詳解】由（1）可知，所以，不妨設平面與平面的法向量分別為，所以，不妨取，解得，即可取平面的一個法向量為，同理有，不妨取，解得，即可取平面的一個法向量為，不妨設平面與平面夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足，正項數(shù)列滿足.當時，記.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）由題意可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，從而，，，由等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由題意因式分解得到，再利用錯位相減法求和.【小問1詳解】由數(shù)列的通項公式，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以當時，，，則，因為，又所以是首項為，公比為的等比數(shù)列；【小問2詳解】因為，即，則，或（舍），當時，，①則，②①-②：，所以，，即.20.某果農(nóng)種植了200畝桃，有10多個品種，各品種的成熟期不同，從五月初一直持續(xù)到十月底.根據(jù)以往的經(jīng)驗可知，上市初期和后期會因供不應求使價格連續(xù)上漲，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：①；②；③表示時間，以上三式中均為常數(shù)，且.（1）為準確研究其價格走勢，應選擇哪個價格模擬函數(shù)，并說明理由；（2）若，①求出所選函數(shù)的解析式（注：且，其中表示5月份下半月，表示6月份上半月，表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元銷售，為保證果農(nóng)的收益，計劃價格在7元以下期間進行促銷活動，請你預測該果農(nóng)應在哪個時間段進行促銷活動，并說明理由.【答案】（1）選擇③，理由見解析（2）①，且；②該果農(nóng)應在月初到月底進行促銷活動，理由見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)求出函數(shù)①③的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；（2）①由求出，即可求得函數(shù)解析式；②令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再取值進而可得出結(jié)論.【小問1詳解】對于函數(shù)①，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不具有先升后降再升的特征；對于函數(shù)②，其不具有先升后降再升的特征；對于函數(shù)③，，因為，則，設方程的兩根為，所以，所以，當或時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)③具有先升后降再升的特征，故選③；【小問2詳解】①，由，得，即，所以，解得，所以，且；②令，則，當或時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，，所以當時，，所以該果農(nóng)應在月上半月到月下半月進行促銷活動.21.已知函數(shù).（1）若恒成立，求的范圍；（2）討論的零點個數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解；（2）令，得或，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為恒成立，所以恒成立，令，則，因為，所以，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以；【小問2詳解】令，得，所以，解得或，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當時，且，當時，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，當時，函數(shù)的圖象有個交點，且，當時，函數(shù)的圖象有個交點，當時，函數(shù)的圖象有個交點，綜上所述，當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為；當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合