專題04冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(模擬練)

專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(模擬練)一、填空題1．（2021·上海閔行·一模）函數(shù)的定義域為_________.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.【解析】，，解得所以函數(shù)的定義域為，故答案為：2．（2010·上海嘉定·二模（理））冪函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的反函數(shù)=_____（要求寫明定義域）．【答案】【分析】先用待定系數(shù)法設出其解析式，將點的坐標代入求得冪函數(shù)的解析式，最后根據(jù)反函數(shù)的定義，求出.【解析】設冪函數(shù)，將點代入，得，解得，則，由反函數(shù)的定義可得.故答案為：.3．（2022·上?！とA師大二附中模擬預測）方程的解為__________.【答案】【分析】由題意知，可求出的值，再結合真數(shù)大于零進行檢驗，從而可求出最終的解.【解析】由，得，所以，又因為且，所以；故答案為：.4．（2021·上海楊浦·二模）方程的解為___________．【答案】【分析】結合對數(shù)運算以及指數(shù)運算，解方程求得的值.【解析】依題意，，，，，即或，解得或，當時，，不符合題意，舍去.所以.故答案為：5．（2021·上海虹口·一模）已知是定義域為的奇函數(shù)，且對任意的滿足，若時，有，則______.【答案】【分析】由條件可得，然后可算出答案.【解析】因為，是定義域為的奇函數(shù)，所以因為當時，有，所以所以故答案為：6．（2021·上海金山·二模）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中、，則的最小值為____________.【答案】【分析】求出定點，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【解析】對于函數(shù)，令，可得，則，故函數(shù)的圖象恒過定點，因為點在直線上，則，可得，因為、，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.7．（2021·上海虹口·一模）已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則＝______.【答案】1【分析】根據(jù)冪函數(shù)，當為奇數(shù)時，函數(shù)為奇函數(shù)，時，函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，即可得出答案.【解析】解：∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴可?。?，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上遞減，∴α＜0，故＝－1.故答案為：1.8．（2022·上海·華師大二附中模擬預測）若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最大值是__________.【答案】【分析】由題意列不等式，直接解出m的范圍.【解析】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)單調(diào)遞增，只需，解得：.即實數(shù)m的最大值是.故答案為：9．（2020·上海大學附屬中學三模）若，且函數(shù)與的圖象恰有兩個交點，則滿足條件的不同集合有________個【答案】4【分析】列舉出所有兩個不同函數(shù)的交點個數(shù)，篩選出符合題意的函數(shù)即可得結果.【解析】圖象與、、、的圖象有1個、1個，2個、2個交點；圖象與、、的圖象有1個、1個，1個交點；圖象與、的圖象有2個、2個交點；圖象與的圖象有3個交點，綜上可得，滿足函數(shù)與的圖象恰有兩個交點的集合有4個：，故答案為：4【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.10．（2020·上?！偷└街心M預測）設，若對任意，都存在唯一實數(shù)，滿足，則正數(shù)的最小值為____________【答案】##【分析】由已知函數(shù)解析式得到函數(shù)值域，結合存在唯一的，滿足，可得，即，進一步轉化為，，求解不等式得到的范圍，進一步得到的范圍得答案．【解析】解：函數(shù)的值域為．的值域為；的值域為．的值域為上有兩個解，要想在上只有唯一的滿足，必有．，即，解得：．當時，與存在一一對應的關系．問題轉化為，，且．，解得：或者（舍去）．，解得．故答案為：．11．（2019·上海普陀·二模）設實數(shù)a、b、c滿足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga?blgb?clgc≥10，則a+b+c＝____【答案】12【解析】由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，進而得出lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，從而得到lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，由此得到a，b，c的值，則答案可求．【解析】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1．可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，又由alga?blgb?clgc≥10，可得lg（alga?blgb?clgc）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1又由lgabc＝lga+lgb+lgc=lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，則a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1，由對稱思想，不妨a＝10，則b＝1，c＝1，所以a+b+c＝12．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)及其應用，其中解答中熟記對數(shù)的運算性質(zhì)，準確運算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.12．（2018·上?！偷└街腥＃┮阎瘮?shù)且，其中為奇函數(shù),為偶函數(shù)，若不等式對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】試題分析：∵h（x）為定義在R上的偶函數(shù)，g（x）為定義在R上的奇函數(shù)∴g（x）=g（x），h（x）=h（x）,又∵由h（x）+g（x）=2x，h（x）+g（x）=h（x）g（x）=2x，∴h（x）=(2x+2?x)，g（x）=(2x?2?x),不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化簡為:a(2x?2?x)+(22x+2?2x)≥0，x∈[1，2],∵1≤x≤2∴2x2x＞0,令t=2x2x，整理得：，由t=2x2x得在上單調(diào)遞增，故意當時，即實數(shù)a的取值范圍為.考點：1.函數(shù)不等式的恒成立問題；2.換元法；3.基本不等式二、單選題13．（2021·上海崇明·一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性可得出合適的選項.【解析】函數(shù)、在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào).故選：B.14．（2017·上海奉賢·一模）若方程在內(nèi)有解，則的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程在內(nèi)有解，轉化為函數(shù)的圖象和直線在上有交點，結合選項中的圖象逐一判斷即可.【解析】根據(jù)方程在內(nèi)有解，轉化為函數(shù)的圖象和直線在上有交點．：與直線的交點是，不符合題意，故不正確；：與直線無交點，不符合題意，故不正確；：與直線在區(qū)間上有交點，不符合題意，故不正確；：與直線在上有交點，故正確．故選D．【點睛】函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.15．（2013·上海奉賢·一模（理））已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出、的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性及圖象特征，從而得出結論．【解析】由函數(shù)的圖象可得，，故函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，且過定點.結合所給的圖像可知只有C選項符合題意.故選：C.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及圖象特征，屬于基礎題．16．（2022·上海寶山·二模）關于函數(shù)和實數(shù)的下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，即可得到此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，從而一一判斷即可；【解析】解：因為，所以函數(shù)是一個偶函數(shù)，又時，與是增函數(shù)，且函數(shù)值為正數(shù)，故函數(shù)在上是一個增函數(shù)由偶函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上是一個減函數(shù)，此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，考察四個選項，A選項，由，無法判斷，離原點的遠近，故A錯誤；B選項，，則的絕對值大，故其函數(shù)值也大，故B不對；C選項是正確的，由，一定得出；D選項由，可得出，但不能得出，不成立，故選：C．17．（2021·上海嘉定·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】設函數(shù)，判斷其單調(diào)性與奇偶性；從而得出單調(diào)性與對稱性，將所求不等式化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出結果.【解析】設函數(shù)，則函數(shù)是定義域為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性可得，是增函數(shù)，是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；又，所以是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱；又，即的圖象可由向右平移一個單位，再向上平移兩個單位后得到，所以是定義域為的增函數(shù)，且其圖像關于點對稱，即有，即．由得，即，即，所以，解得．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，進而即可求解不等式.18．（2018·上海市南洋模范中學三模）已知函數(shù)f(x)＝x2＋ex－(x<0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．

B．C．

D．【答案】B【分析】先求得關于軸對稱得到的函數(shù)表達式，根據(jù)與在上有公共點，由變?yōu)閮蓚€函數(shù)圖像在上有交點，來求得的取值范圍.【解析】關于軸對稱得到的函數(shù)為，依題意可知與在上有公共點，由得，.對于函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且.對于函數(shù)，在上單調(diào)遞增.當時，的圖像向右平移個單位得到，與圖像在上必有個交點.當時，的圖像向左平移個單位得到，要使與圖像在上有交點，則需當時（也即軸上），的函數(shù)值小于的函數(shù)值，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：B.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的圖像的對稱關系，考查兩個函數(shù)圖像有交點的問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.三、解答題19．（2017·上海奉賢·一模）已知函數(shù)，且（1）求和的單調(diào)區(qū)間（2）解不等式.【答案】（1），增區(qū)間，無減區(qū)間；（2）．【分析】（1）直接由求得，然后結合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間；（2）代入函數(shù)式，再化不等式為，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)去掉對數(shù)號后再解指數(shù)不等式．【解析】（1），，（舍去），，由得，，，，即定義域是，在上，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)．即的增區(qū)間是，無減區(qū)間．（2），即，即，∴，解得．∴原不等式解集為．【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，考查解對數(shù)與指數(shù)不等式，難度中等．對數(shù)問題中一定要注意對數(shù)函數(shù)的定義域．20．（2021·上海·華師大二附中三模）已知.（1）解不等式：；（2）若在區(qū)間上的最小值為，求實數(shù)a的值.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可；（2）由題意可得在區(qū)間上的最小值，在上的最大值為4，然后分和討論即可得答案【解析】（1）或；（2）令，則在區(qū)間上的最小值，在上的最大值為4，當時，，；當，，.綜上，或21．（2021·上?！じ裰轮袑W三模）“弗格指數(shù)”是用來衡量地區(qū)內(nèi)居民收益差距的一個經(jīng)濟指標，其中b是該地區(qū)的最低保障收入系數(shù)，a是該地區(qū)收入中位系數(shù)，x是該地區(qū)收入均值系數(shù)，經(jīng)換算后，a、b、x都是大于1的實數(shù)，當時，該地區(qū)收入均衡性最為穩(wěn)定.（1）指出函數(shù)的定義域與單調(diào)性（不用證明），并說明其實際意義，經(jīng)測算，某地區(qū)的“弗格指數(shù)”為0.89，收入均值系數(shù)為3.15，收入中位系數(shù)為2.17，則該地區(qū)的最低保障收入系數(shù)為多少（精確到0.01）？（2）要使該地區(qū)收入均衡性最為穩(wěn)定，求該地區(qū)收入均值系數(shù)的取值范圍（用a、b表示）.【答案】（1）定義域為，在上單調(diào)遞減，實際意義見解析，1.04；（2）.【分析】（1）由及且可得函數(shù)的定義域；由復合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性；將，，代入函數(shù)，用計算器可求得；（2）解不等式可得結果.【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則，又且，解得，

所以，函數(shù)的定義域為；

令，則.

因為，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減；

又，所以在上單調(diào)遞增，

故在定義域上是減函數(shù).

其實際意義是：當該地區(qū)收入均值系數(shù)大于該地區(qū)的最低保障收入系數(shù)時，收入均

值系數(shù)越大，弗格指數(shù)越小.

將，，代入函數(shù)得，

所以，用計算器可解得.（2）要使該地區(qū)收入均衡性最為穩(wěn)定，則，

即，又，所以，

即，又，，所以，

解得，

即該地區(qū)收入均值系數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：第（2）問的關鍵點是解不等式.22．（2022·上?！つM預測）(1)若將函數(shù)圖像向下移后，圖像經(jīng)過，求實數(shù)a，m的值.(2)若且，求解不等式.【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）由題知，再根據(jù)題意得，解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，結合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉化為的解集，再分類討論求解即可.(1)解：函數(shù)的定義域滿足，即，所以，要使函數(shù)的定義域非空，則，即.若將函數(shù)圖像向下移后得到的解析式為：，.所以在函數(shù)的圖像上，即，解得：，所以，(2)解：由題知，,,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以等價于，展開整理得：，所以，不等式的解集為的解，所以，當時，不等式的解為；當時，不等式的解為.綜上，當時，不等式的解為；當時，不等式的解為.23．（2019·上海市復興高級中學三模）已知函數(shù)f(x)＝lg(x＋1)．(1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當0≤x≤1時，有g(x)＝f(x)，當x∈[1,2]時，求函數(shù)y＝g(x)的解析式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出對數(shù)函數(shù)的定義域，由對數(shù)的運算性質(zhì)有，則，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象分析可得，從而可得的取值范圍；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與周期性分析可得，代入函數(shù)的解析式即可得答案.【解析】(1)由得－1<x<1.由0<lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg<1，得1<<10.因為x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－<x<.由得－<x<.(2)當x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]，因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象以及對數(shù)不等式的解法，以及根據(jù)函數(shù)周期性與奇偶性求函數(shù)的解析式.已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式，有如下結論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為24．（2021·上海交大附中模擬預測）已知，.（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）當時，當時，當時，.【分析】（1）依題意可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）由得，令，對一切的恒成立，參變分離，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可求出參數(shù)的取值范圍；【解析】（1）因為，，令，∵，∴，所以當，即時取最大值，當或，即或時取最小值，∴函數(shù)的值域為.（2）由得，令，∵，∴，∴對一切的恒成立，①當時，若時，；當時，恒成立，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，于是時取最小值2，此時，于是；②當時，此時時，