2024-2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第11章三角形（一）重難點(diǎn)講解

第11章三角形（1）——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：11.1-11.2

?重難點(diǎn)知識(shí)導(dǎo)航

三角形

?重難點(diǎn)知識(shí)剖析

R點(diǎn)不

知識(shí)點(diǎn)一：三角形的邊

1.三角形三邊的關(guān)系

三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.

2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

應(yīng)用方式解題技巧

判斷三條線段能否構(gòu)成三角

把較短的兩條線段相加，所得的和與第三條線段比較

形

已經(jīng)兩條線段，求第三條線已知線段。涉加，第三條線段X的取值范圍是：

段的取值范圍a-b<x<a+b

解決等腰三角形腰、底邊和

兩腰之和大于底邊

周長(zhǎng)問(wèn)題

利用三角形三條線段的不等關(guān)系判斷絕對(duì)值里面的正負(fù)符

化簡(jiǎn)絕對(duì)值

號(hào)，再利用絕對(duì)值法則化簡(jiǎn)

利用三角形三邊的關(guān)系，結(jié)合等線段的代換和不等式的性質(zhì)，

證明線段間的不等關(guān)系

證明線段間的不等關(guān)系

求線段之和的最小值或線段

構(gòu)造三角形，利用三邊關(guān)系求解

之差的最大值

3.三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是不變的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)

生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀.

典例精講

例1

1.平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d

可能是（）

5

A.1B.2C.7D.8

例2

2.已知VABC的三邊長(zhǎng)為。，b,c,化匍。+方-耳-區(qū)-“-<?|的結(jié)果是.

O變式訓(xùn)練

變式1

3.已知b、c為VABC的三邊長(zhǎng).若VABC為等腰三角形，且周長(zhǎng)為16,已知。=4,

求6、c的值.

變式2

4.已知“，b,c是VABC的三邊長(zhǎng)，6滿足|。一7|+（6-2）2=0,且邊長(zhǎng)c的值為偶數(shù),

則VA3C的周長(zhǎng)為多少？

知識(shí)點(diǎn)二：三角形的主要線段

L三角形的角平分線、中線、高線比較

試卷第2頁(yè)，共16頁(yè)

線端三條

段點(diǎn)線段

定義示圖主要性質(zhì)

名名交占

稱稱名稱

三角形的一個(gè)角的平

角頂/

分線與這個(gè)角的對(duì)邊

平點(diǎn)

相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和內(nèi)心ABAD=ACAD

分交

交點(diǎn)間的線段叫做三

線點(diǎn)BDC

角形的角平分線

在三角形中，連接一個(gè)頂

中頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)點(diǎn)BO=￡>C平分三角形

重心

線的線段叫做三角形的中的面積

BnC

中線點(diǎn)

從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向

頂

它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)A構(gòu)造兩個(gè)直角三角

點(diǎn)

高和垂足之間的線段叫垂心.形，利于計(jì)算三角形

垂

做三角形的高線（簡(jiǎn)稱的面積

足

三角形的高）

2.角平分線與三角形的角平分線的比較

比

較

角平分線三角形的角平分線

項(xiàng)

目

從角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊

定

分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做角的相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三

義

平分線角形的角平分線

圖

示

0ABDC

性

ZAOC=NBOC=-ZAOBZBAD=ZCAD=-ABAC

質(zhì)22

區(qū)

射線線段

別

3.中線平分面積的常見模型

中線數(shù)

圖形數(shù)量關(guān)系

量

一條中

C—C—V

°AABD-°AAC￡>—1°AABC

線

“Dc

q—q-J,v

°4ABD-°AACD_2

二條中

SAACE=SMCE=~^AABC

線

q—q

DABOE~°ACOD

q-V-J-v

24ABD.o4ACD~?2AABC

三條中

c_c—J-q

—°&DBp_2?^ABD

線

q=S=—<

°AACP一°ADCP_2植CD

試卷第4頁(yè)，共16頁(yè)

°4ABD~UAACD_2AABC

c_c_J_Q

四條中D^ABE-^DBE—2?4ABD

線

'△ACE=^/\DCE=5^/\ACD

q-v-J_

BDCQ&BEF-Q^BCF-2ABCE

4.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高比較

比

較

銳角三角形直角三角形鈍角三角形.

項(xiàng)

目

圖

A

示A

C

條BDC碑、

高

條AD,BE,CFAC,BC,CDAD,BF,CE

高

垂

心

三角形內(nèi)部斜邊上三角形外部

位

置

面

積S=-ABCF=-BCAD=-A(：^￡-ABCD=-BC-A6=-ABCE=-BCAD=-A(

22222222

公

式

典例精講

例1

5.如圖，在VABC中，4=N2,G為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于￡點(diǎn)廠為AB上的

一點(diǎn)，下列判斷正確的有（）

（1）A。是VA2C的角平分線；（2）3E是VABC邊AC上的中線；（3）CH為^ACD邊AD

上的高；（4）ATWG和△GBD面積相等.

例2

6.【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在VABC和AAEC'中，AOA'D分別是BC和9C邊上的高線，且AD=A'￡>',

則7ABe和△AB'C'是等高三角形.

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①，用S.ABC，S“，B，c，分別表示VABC和AA'3'C'的面積.

則Ie=gBC-AD,%，B，C，=|B'C-AD',

AD=AD

^AABC：^AA,B'C=BC：B'C'.

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

【性質(zhì)應(yīng)用】

⑴如圖②，。是VABC的邊3c上的一點(diǎn).若比＞=3,OC=4,則以加：SAADC=；

（2）如圖③，在VABC中，D,E分別是和48邊上的點(diǎn).若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,

S/XABC=1，貝IS.BEC=，S&CDE=；

⑶如圖③，在VABC中，O,E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若3E:AB=l:m,CD:BC=l:n,

S“4BC=a，貝[]S&CDE=-

o變式訓(xùn)練

變式1

7.如圖，在VABC中，己知點(diǎn)。、E、下分別是BC、AD.CE的中點(diǎn)，且VABC的面積

是8,則△BKF的面積是（）

A

A.1B.2C.3D.4

變式2

8.（三角形面積）如圖，三角形ABC中，。為BC邊上任一點(diǎn)，旬=3AE,EB=3EF,FG=GC,

三角形EFG的面積為1平方厘米，求三角形ABC的面積.

知識(shí)點(diǎn)三：三角形的內(nèi)角和外角

1.三角形的內(nèi)角和外角比較

比定義圖形性質(zhì)關(guān)系

較

項(xiàng)

目

三

角三角形兩邊所

A

組成的角叫做三

形同一頂點(diǎn)的一對(duì)

/\ZA+Zfi+ZC=180°

的角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)

/\內(nèi)外角是鄰補(bǔ)

內(nèi)稱三角形的角

BC角；三角形的外

角

角等于不相鄰的

三兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的外角大

角三角形的一邊與A

于不相鄰的內(nèi)

形另一邊的線A

N4+N5+N6=360。

/\角；

的組成的角，叫做/\

卜法

外三角形的外角

角

2.直角三角形的性質(zhì)

文字表述圖形表述符號(hào)表述

A

直角三角形的兩個(gè)銳角互余ZC=90°,：.ZA+ZB=90°

C

3.三角形內(nèi)外角常見模型

模型名稱圖示性質(zhì)

“8”字模型ZA+ZB=ZC+ZD

D乙----------

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

A

“A”字模型ZADE+ZAED=NC+NB

飛鏢模型NBDC=ZA+NB+NC

AA

雙內(nèi)角平分線ZBOC=90°+-ZA

A2

A

雙外角平分線ZBOC=90°--ZA

2

A

內(nèi)角平分線+外角平分線v\ZBOC=-ZA

zc2

1

角平分線與高模型ZZM￡=|ZB-ZC

7D/

典例精講

例1

9.如圖，已知3區(qū)CE分別是4BD和ZACD的角平分線，NA=40。，ZD=30°,則NE

的度數(shù)為()

例2

10.如圖①，在VABC中，一ABC與—ACE的平分線相交于點(diǎn)。

⑴若4=60。，則N3PC的度數(shù)是；

(2)如圖②，作VABC外角/MBC,NNCB的角平分線交于點(diǎn)0,試探索N。，/A之間的

數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn)E,在△8QE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，

求—A的度數(shù).

。變式訓(xùn)練

變式1

11.具備下列條件的VABC中，不是直角三角形的是()

A.ZA=2XB=2NCB.NC-NA=/B

C.ZA:ZB:ZC=3:4:7D.ZA=-ZB=-ZC

23

變式2

12.［實(shí)驗(yàn)探究］

(1)將一副三角板如圖1擺放，使三角板DEF的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,點(diǎn)C,且

EF//BC,則NABD+ZACD=；

(2)在圖1的基礎(chǔ)上，三角板ABC保持不動(dòng)，將三角板DEF旋轉(zhuǎn)得到圖2,使三角板。跖

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

的兩條直角邊依然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,點(diǎn)C,則NW+NACD=

圖1圖2

［猜想證明］

如圖3,試猜想NA,NB,NC,NB￡?C之間的關(guān)系，并證明.

［結(jié)論應(yīng)用］

請(qǐng)直接利用以上的結(jié)論，解決問(wèn)題：如圖4,與ZAC。的角平分線交于點(diǎn)E,若

ZA=54°,ZD=98°,求—E的度數(shù).

1.三角板模型

名

圖形關(guān)系

稱

平

行A

線

與/l+/2=/C=90。

疝'N

角

板

角c

板

N1—N2=ZA=3O。

與

直

尺

共

頂

點(diǎn)

E

的

ZBED=ZB-ZD=15°

ZAED=ZAEB+ZBED=900+15°=105°

副

角

板

共

E

頂

N3=N1=NE=6O。

點(diǎn)

N2=NC4B—Nl=30。

的

N4=NC=45。

副

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

角

板

不

共

頂

點(diǎn)

的4z=NA+NO=75。

Zfi=ZF+ZB=135°

副

角

板

不

共

頂

點(diǎn)

的

/APF=NA+/F=105。

副

角

板

2.三角形折疊問(wèn)題

描述圖形關(guān)系

頂點(diǎn)落在三角形內(nèi)部Zcr+Z/?=2Zy

\.

頂點(diǎn)落在三角形的外部Z1-Z2=2ZA

E

E)r

/C、

D/'\

折線過(guò)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)落在三角形外<

六/CDC'=2ZBDC

部

B

拆線過(guò)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)落在三角形邊

ZBDE=ZA-ZB

上

ADB

；Q?典例精講

例1

13.如圖，將7ABe紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處,且AB平分ZABC,AC平分ZACB,

若/B4'C=122。，則N1+N2的度數(shù)為（）

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

A.116°B.100°C.128°D.120°

例2

14.如圖，丫48。中/4=30。，E是AC邊上的點(diǎn)，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后AABE

的AB邊交AC于點(diǎn)。，又將△BCD沿著8。翻折，C點(diǎn)恰好落在BE上，此時(shí)/CD3=82。，

則原三角形的NB=_度.

變式1

15.一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)正〃A8時(shí)，ZEDB

的度數(shù)為（）

變式2

16.將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，PQ//MNZACB=/EDF=90°,

NDEF=NDFE=45°,/CB4=60°,ZCAB=30°.（溫馨提示：三角形的內(nèi)角和為180。）

⑵現(xiàn)固定VA5C的位置不變，將ADEF沿AC方向平移至點(diǎn)E正好落在尸。上，如圖2所示,

。尸與PQ交于點(diǎn)G,作/FG。和NGE4的角平分線交于點(diǎn)H,求NGHF的度數(shù)；

(3)現(xiàn)固定:歷，將VABC繞點(diǎn)A以每秒3度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)

間為/秒(r450),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段BC與4)￡戶的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出/的值.

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】如圖(見解析)，設(shè)這個(gè)凸五邊形為ABCDE,連接AC,CE,并設(shè)AC=“,CE=6,

先在VABC和ACDE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<。<6,0<6<2,從而可得

4<?+&<8,2<a-b<6,再在AACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a-6<d<a+b,

從而可得2<d<8,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)凸五邊形為ABCDE,連接AC,CE,^AC=a,CE=b,

在VABC中，5-l<a<l+5,即4<a<6,

在ACDE中，1一1<6<1+1,即0<6<2,

所以4<a+/?<8,2<a-b<6,

在△ACE中，a-b<d<a+b,

所以2<d<8,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造三個(gè)三角形是解題關(guān)鍵.

2.2b—2c##—2c+2b

【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)三角形中任意兩邊之差

小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊得至!ja+b>c，a+c>6,貝!Ja+6-c>。，b-a-c<0,

據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值求解即可.

【詳解】解：：VABC的三邊長(zhǎng)為。，b,c,

a+b>c,a+c>b,

a+b—c>0,b—a—c<0,

+0-c]—|/7-ci-c|

=a+b-c+(b—a—c)

=a+b—c+b—a—c

=2b-2c,

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

故答案為：2b-2c.

3.b=c=6

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，對(duì)“=4分為。為腰

長(zhǎng)或。為底邊兩種情況進(jìn)行分類討論，即可作答.

【詳解】解：?.?△ABC為等腰三角形，且周長(zhǎng)為16,

分兩種情況：

①當(dāng)a=4為腰長(zhǎng)時(shí)，

底邊=16—4—4=8,

,.-4+4=8,

二不能構(gòu)成三角形，故。=4為腰長(zhǎng)舍去；

②當(dāng)。=4為底邊時(shí)，

?「4為底邊，6為腰長(zhǎng)符合三角形的三邊關(guān)系，

：.b=c=6.

4.AABC的周長(zhǎng)為15或17

【分析】本題考查了絕對(duì)值，偶次塞的非負(fù)性，三角形三邊數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題意，

7=0,6-2=0,求出人的值，根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系，確定。的值，分類討論,

由此即可求解.

【詳解】解：已知|。-7|+0-2)2=0,|a-7|>0,(*-2)2>0,

a—7=0,6—2=0,

解得，a=7,b=2,

，7—2<c<7+2,即5<c<9,

Vc的值為偶數(shù)，

c=6或c=8,

當(dāng)c=6時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為：2,6,7,

...△ABC的周長(zhǎng)為：2+6+7=15；

當(dāng)c=8時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為：2,7,8,

.,.△ABC的周長(zhǎng)為：2+7+8=17；

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

綜上所述，AABC的周長(zhǎng)為15或17.

5.B

【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線的概念，注意：三角形的角平分線、中

線、高都是線段，且都是頂點(diǎn)和對(duì)邊相交的交點(diǎn)之間的線段.正確理解定義是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)三角形的角平分線、中線、高線的概念逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：：N1=N2,

二AO是VA3C的角平分線，故（1）正確.

無(wú)法判斷AE=EC,故BE不是VA2C邊AC邊上的中線，故（2）錯(cuò)誤.

CHLAD,

C”為AACD邊AD上的高，故（3）正確，

：G是AD的中點(diǎn)，

.??△A5G和△G8D面積相等，故（4）正確.

故選：B.

6.（1）3:4

【分析】（1）由圖可知和△ADC是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得

到答案；

（2）根據(jù)8E:AB=1:2,ZMC=1和等高三角形的性質(zhì)可求得“BEC，然后根據(jù)CD：BC=1:3

和等高三角形的性質(zhì)可求得S^CDE;

（3）根據(jù)=5.4比=。和等高三角形的性質(zhì)可求得SABEC,然后根據(jù)

CD:BC=1:〃,和等高三角形的性質(zhì)可求得&CDE.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AELBC,

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

則S4ABD=~BD,AE,$VADC=TDC,AE

9

：AE=AEf

:?SAABD:S.De=BD:DC=3:4.

(2)解：,.?VB￡C和VABC是等高三角形,

**?S^BEC:SMBC=BE:AB=1:2，

S^BEC=]S=5*1=5；

△<%>石和V5EC是等高三角形,

:?S4CDE:S^BEC=CD:BC=1:3，

.s_1._1

??、ACDE_g、ABEC-2^-6,

(3)解：???V3EC和VABC是等高三角形，

,*S&BEC?S.Be=BE\AB=

?$_J_c-1_

mmm

???△<”>石和V5EC是等高三角形，

??SMDE:S^BEC=CD:BC=\:n,

?q

,?%CDE-°ABEC—X一?

nnmmn

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形

的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】此題考查了利用三角形中線求面積，依據(jù)三角形的面積公式及點(diǎn)。、E、歹分別

是BC、AD.CE的中點(diǎn)，推出S^^-SABC,從而求得△班戶的面積.

【詳解】解：,?,點(diǎn)。、E、尸分別是BC、AD,CE的中點(diǎn)，

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

.c_c_lcs-Iss3s-15

,?一°AADC—20AABC，U^BDE~?0^ABD，3CDE—?AADC、。4BEF一1口#EC，

,',=]S?BEC=5（SAM?+S&COE）=DIESAAEO+]S?A0c]=W（SAA&。+S^AOc）=；

：VA5C的面積是8,

?,^ABEF=2.

故選：B

8.9平方厘米

【分析】本題考查三角形的中線，連接CE,根據(jù)三角形的中線平分面積，同高三角形的面

積比等于底邊比，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接CE,

A

?/FG=CG,

?q-7c_0

,?3EFC-4°AEFG一乙，

???EB=3EF,

*e*S&BEC=3S&EFC=6,

9：AD=3AE,

：.DE=2AE,

?c—S——K

,,^AABE_2°ABDE，°AACE_2《DE，

?CIC_XV_1_X——^—2

,?3ABE十MACE~?3BDE十?^^CDE~。&BEC~J，

???三角形A3C的面積=*^AABE+^AACE+S.c=9（平方厘米）

9.B

【分析】本題考查的是角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，先設(shè)

ZABE=ZDBE=x°,ZACE=ZDCE=y°,證明NA-NE=/￡；-N￡）,再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即

可；

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】解：如圖,

rA

,：BE、CE分別是-45。和ZACD的角平分線,

:.設(shè)ZABE=NDBE=x。,ZACE=ZDCE=y°,

,?ZAGB=NCGE,Z.BHE=NCHD,

結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得：

ZA+;r°=NE+y°,x°+ZE-ZD+y°,

：.ZA-ZE=ZE-ZD,

/.ZE=1(ZA+ZD),

VZA=40°,ZD=30°,

ZE=ix70°=35°；

2

故選：B.

10.(1)120°；

(2)Ze=90°-1zA,理由見解答過(guò)程；

(3)45?；?0°或120?；?35°.

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得

ZPBC+ZPCB=1(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA),貝U

NBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=90°+1ZA,再根據(jù)ZA=60°可得ZBPC的度數(shù)；

(2)由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得NMBC+NNCB=180o+NA,再由

角平分線定義得NQBC+NQC2=:(/MBC+NNC2)=90o+g/A,由此得/。，/A之間

的數(shù)量關(guān)系；

(3)先求出NE8Q=90。，根據(jù)/。=90。-；44得NA=2NE,然后分四種情況討論即可；

此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，角平分線定義，熟練掌握三角形

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，理解角平分線定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)在VABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

,/NABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)P，

PBC=-NABC,ZPCB=-ZACB，

22

ZPBC+NPCB=1(NABC+ZACB)=1(180°-ZA),

NBPC=180°-(NPBC+ZPCB)=180°-1(180°-ZA)=90°+1ZA

ZA=60°,

/.NBPC=90°+-ZA=900+-x60°=120。，

22

故答案為：120。；

(2)NQ,/A之間的數(shù)量關(guān)系是/。=90。一;44,理由如下：

ZMBC=ZACB+ZA,ZNCB=ZABC+ZA,ZACB+ZA+ZABC=180°,

：.ZMBC+ZNCB^ZACB+ZA+ZABC+ZA=180°+ZA,

?/點(diǎn)。是NMBC和ZNCB的角平分線的交點(diǎn)，

ZQBC=；ZMBC,NQCB=|ZNCB,

ZQBC+NQCB=1(/MBC+ZNCB)=1(180°+ZA)=90°+1zA,

NQ=180°-(Z0BC+ZQCB)=180°-(90°+1=90°-1-ZA,

；./。，NA之間的數(shù)量關(guān)系是NQ=90。一;乙4；

(3)：尸3平分/ABC,BQ平分/MBC,ZABC+ZMBC=180°,

：.APBC=-ZABC,ZQBC=-ZMBC,

22

/.NPBC+NQBC=1(ZABC+ZMBC)=1x180°=90°,

即NEBQ=90。，

：.ZE+ZQ=90°,

由(2)可知：/。=90。一;NA,

/.ZE+90°--ZA=90°,

2

ZA=2NE,

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

如果在△8QE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況：

①當(dāng)NEBQ=3ZE時(shí)，則3ZE=90°,

/E=30。，

此時(shí)NA=2NE=60。，

②當(dāng)/EBQ=3/。時(shí)，則3NQ=90。，

/.Z(2=30°,貝iJ/E=60。，

此時(shí)NA=2NE=120。，

③當(dāng)NQ=3ZE時(shí)，貝！|ZE+3ZE=90。，

NE=22.5。，

此時(shí)ZA=2NE=45。，

④當(dāng)NE=3/。時(shí)，貝|3NQ+NQ=90。，

/。=22.5。，

/E=67.5°,

此時(shí)NA=2NE=135。，

綜上所述，/A的度數(shù)是45?；?0?；?20?；?35。.

11.A

【分析】分別進(jìn)行變形結(jié)合NA+/B+/C=180。，進(jìn)行逐一求解，即可判斷.

【詳解】解：A；ZA=2NB=3NC,AZB=ZC=|ZA,ZA+ZB+ZC=180°,

.?.ZA+|ZA+1ZA=18O°,解得：4=［寫］。，ZB=(岑>，=：.NABC

不是直角三角形，故符合題意；

B.QZC-ZA=ZB,/.ZC=ZA+ZB,-.?ZA+ZB+ZC=180°,\2?C180?,解得：NC=90°,

VABC是直角三角形，故不符合題意；

C.vZA:ZB:ZC=3:4:7,...設(shè)ZA=3x,NB=4x,/C=7x,ZA+ZB+ZC=180°,

;.3x+4x+7x=180。，解得：x=.?./C=］｝>x7=90。，VABC是直角三角形,

故不符合題意；

D.vZA^-ZB=-ZC,：.ZB=2ZA,NC=3ZA,-.?ZA+ZB+ZC=180°,

23

ZA+2ZA+3ZA=180°,解得：/A=30。，-3=60。，ZC=90°,VABC是直角三角形，

故不符合題意；

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

12.［實(shí)驗(yàn)探究］(1)45°；(2)45。；［猜想證明］ZABD+ZACD^ZBDC-ZA,證明見

解析；［結(jié)論應(yīng)用］76。

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

［實(shí)驗(yàn)探究］(1)根據(jù)直角三角板的性質(zhì)可得/?；?+/皮刀=180。-/瓦2=90。，

ZA3C=90。,ZACB=45。，即可求解；

(2)根據(jù)直角三角板的性質(zhì)可得NCBD+ZBCD=180。-ZBDC=90°,

ZABC=90°,ZACB=45°,即可求解；

［猜想證明］連接BC,在VABC和△D3C中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

ZABC+ZACB^180°-ZA,ZDBC+ZDCB=1800-ZBDC,即可求解；

［結(jié)論應(yīng)用］由［猜想證明］得：ZABD+ZACD=ZBDC-ZA=98°-54°=44°,

NABE+NACE=NBEC—ZA=/BEC—54。,再由角平分線的定義可得

ZABD+ZACD^2(ZABE+ZACE)^2(ZBEC-ZA),即可求解.

【詳解】解：［實(shí)驗(yàn)探究］(1),/ZBDC=90°,

：.Z.CBD+/BCD=180?！猌BDC=90°,

ZABC=90°,ZACB=45°,

/.ZABD+ZACD=ZABC+ZACB-(NCBD+NBCD)=45°；

故答案為：45°

(2),/XBDC=90°,

：.Z.CBD+/BCD=180。—ZBDC=90°,

ZABC=90°,ZACB=45°,

/.ZABD+ZACD=ZABC+ZACB-(NCBD+NBCD)=45°；

故答案為：45°

［猜想證明］ZABD+ZACD=ZBDC-ZA,證明如下：

如圖，連接BC,

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

A

在△D3C中，ZDBC+ZDCB=180°-Z.BDC,

：.ZABD+ZACD=(ZABC+ZACB)-(NCBD+/BCD)

=(180°-ZA)-(180°-NBDC)

=ZBDC-ZA,

即NABD+ZACD=NBDC-ZA；

［結(jié)論應(yīng)用］由［猜想證明］得：ZABD+ZACD=ZBDC-ZA=98°-54°=44°,

/ABE+ZACE=ZBEC-ZA=NBEC-54°,

,//ABD與ZACD的角平分線交于點(diǎn)E,

/.ZABD=2ZABE,ZACD=2.ZACE,

：.ZABD+ZACD=2(ZABE+ZACE)=2(/BEC-ZA),

：.44°=2(ZBEC-54°),

解得：NBEC=76°.

13.C

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，圖形的折疊問(wèn)題.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，

可得NAZC+ZA'CB=58。，再根據(jù)角平分線的定義可得

/ABC+/ACB=2(NA2C+/A'CB)=116。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得-4的度

數(shù)，從而得到/4/汨+乙回=116。，再由折疊的性質(zhì)，可得乙位＞￡=4'。及乙4￡0=4'￡0,

即可求解.

【詳解】解：：/54(=122。，

ZABC+ZACB=180°-ZBAC=58°,

?/A3平分ZABC,AC平分NACB,

/.ZABC+ZACB=2ZABC+2ZA'CB=2(ZA,BC+ZA,CB)=116°,

答案第1