立體幾何中的折疊和探索性問題-高考數(shù)學復習重點題型歸納與方法總結(jié)（原卷版）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展27立體幾何中的折疊和探索性問題（精講+精練）

、知識點梳理

1.折疊問題

解決折疊問題最重要的就是對比折疊前后的圖形，找到哪些線、面的位置關(guān)系和數(shù)學量沒有發(fā)生變化，哪

些發(fā)生了變化，在證明和求解的過程中恰當?shù)丶右岳谩?/p>

一般步驟：

①確定折疊前后的各量之間的關(guān)系，搞清折疊前后的變化量和不變量；

②在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，明確需要用到的線面；

③利用判定定理或性質(zhì)定理進行證明。

2.探索性問題

探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學生

的空間想象能力，又可以考查學生的意志力及探究的能力。對于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析

法、特殊化法和向量法來解決.一般此類立體幾何問題描述的是動態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏

性，往往需要耐心嘗試及等價轉(zhuǎn)化，因此，對于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的。

?

二、題型精講精練

【典例1］如圖所示的五邊形讖M?C中ABCD是矩形，3c=2AB,S3=SC,沿折疊成四棱錐S-ABCD,

點又是3C的中點，SM=2.

⑴在四棱錐S-MCD中，可以滿足條件①&4=n；②cosNSBM=且;@sinZSAM=—,請從中任選

53

兩個作為補充條件，證明：側(cè)面SBC,底面ABCD；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計

分.）

（2）在（1）的條件下求直線SC與平面所成角的正弦值.

【分析】（1）選條件①②，利用勾股定理得到進而得到底面ABCD,利用面面垂直的判定

定理即可得證；

選條件①③,利用正弦定理得到SMLM4,進而得到，底面ABCD,利用面面垂直的判定定理即可得證；

選條件②③，利用余弦定理和勾股定理得到進而得到底面ABCD,利用面面垂直的判定定

理即可得證；

（2）由（1）可得平面A5CD,建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】（1）證明：（1）方案一：選條件①②.

因為在四棱錐S-ABCD中SB=SC,點〃是的中點，SM=2,所以

又因為在RLSBM中，cosNSBM=叵,所以8M=1，

5

又因為ABCD是矩形，BC=2AB,所以==AM=母,

由SA=",AM=夜,SM=2可得ST=AM2+SM2,所以SM_LAM,

則由SM_LBC,SMLAM,AM^\BC=M,AAf,8Cu平面ABC。，所以SM_L平面A5CD,又因為SMu

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC,底面ABCD；

方案二：選條件①③.

因為在四棱錐S-ABCD中SB=SC,點M是BC的中點，SM=2,所以

又因為在中，SA=y/6,sinZSAM=—,SM=2

3f

娓2

所以由正弦定理得：.S）…,BPsinZSMA~1/6<所以sinNSM4=l,BPZSMA=^,所以SM_LM4,

sinZSMAsinZSAM—2

3

則由SMJ.BC,SMLAM,AM^\BC=M,AM,5Cu平面ABC。，所以SM,平面ABCD,又因為SMu

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC_L底面ABC。；

方案三：選條件②③.

因為在四棱錐S-ABCD中SB=SC,點河是BC的中點，SM=2,所以SML3C,

又因為在RtASBM中，cosNSBM=叵,所以8M=1，

5

又因為ABC。是矩形，BC=2AB,所以BM=AB=1,AM=血，

又因為在中，sinZSAM=—,則cos/A4M=3，

33

設(shè)5A=x,SM2=SA2+AM--2SA-AMcosZSAM,

所以有3x?-2#x-6=0,解得玉或％(舍)，所以SA=庭,

由SA=痛,=夜,SM=2可得ST+SM2,所以SM_LAM,

則由SM_LBC,SMLAM,AM^]BC=M,AA/,8Cu平面ABC。，所以SM_L平面A5cD,又因為SMu

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC,底面ABCD；

(2)在(1)條件下知SM，平面ABC。，且也_L4W,

故如圖所示：以/為坐標原點，以M4所在直線為x軸，以MD所在直線為，軸，以MS所在直線為z軸，

建立空間直角坐標系，

則s（o,0,2）,A（忘,0,0）,n（o,V2,o）,c_冬冬°

\7

貝1]麗=（0,0,-2）,麗=（友,0,-2）,

n-SD=y[ly-2z=0-/i~/—\

設(shè)平面SA。的法向量為〃=(x,y,z),貝人一l,貝!）"=忘，忘』,

n-SA=V2x-2z=0'7

叵

SC71

"sc|2

設(shè)直線SC與平面&VD所成角為，，貝!!sine=BZ=w

"?sc5

2

直線sc與平面所成角的正弦值為M.

【典例2】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面平面ABCD,AB//DC,PA=PD,NBAD=45。,

AD=2^2,AB=4,DC=1,PB=2A/3.

p

（2）在線段尸5上是否存在點“，使得ai//平面出。？若存在，求前的值；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）先證明PG，平面ABCD,則PG為四棱錐的高，再應用體積公式VP_ABCD=^PG-SABCD-,

⑵先過點C作。V/MT）交AB于點N,過點N作MW//AP交PB于點M,再證平面PAD〃平面CMN,最

后得出比值成立即可.

【詳解】（1）取AD的中點G,連接PG,GB,如圖所示.

AB

在中，PA^PD,G是AD的中點，所以PGJLAD.

又平面上4￡>_L平面ABCD,平面F4Dc平面=尸Gu平面PAD,

所以PG,平面ABCD,即PG為四棱錐尸-ABCD的高.

又GBu平面ABCD,所以尸G_LG3.

在AAGB中，由余弦定理得

22222

GB=AG+AB-2AG-AB-COSZGAB=（A/2）+4-2X>/2X4X^=10>故68=癡.

在△PGB中，PB=2拒,GB=M，PGLGB,所以尸C=應.

所以吟-ABCD=gPG.SABCD=；*0：（1+；）*2=￥.

⑵過點C作CN/MD交AB于點N,則■j

PM1

過點N作NM//AP交PB于點M,連接CM,則工=二.

MB3

又因為C7V//AD,ADu平面PAD,CNcZ平面PAD,所以C7V//平面PAD.

因為MZV/AR4,PAu平面PAD,平面PAD,所以MN〃平面PAD.

又CNcMN=N,CN,MNu平面CNM,所以平面PAD//平面CMN.

又CMu平面CMN,所以。///平面PAD.

所以在PB上存在點M,使得CM〃平面PAD,且會

【題型訓練-刷模擬】

1.折疊問題

一、解答題

1.（2023?四川瀘州?瀘縣五中?？既＃┤鐖D1,在梯形ABCD中，ABHCD,且AB=2CD=4,"BC是

等腰直角三角形，其中BC為斜邊.若把AACO沿AC邊折疊到△ACP的位置，使平面R4CL平面ABC,如

圖2.

（2）若E為棱BC的中點，求點B到平面R4E的距離.

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四邊形M43c中，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90。,AMAC是邊

長為2的正三角形，以AC為折痕，將4c向一方折疊到AZMC的位置，使。點在平面ABC內(nèi)的射影

在A3上，再將AM4c向另一方折疊到AE4C的位置，使平面出C,平面ABC,形成幾何體ZMBCE.

D

A

（1）若點尸為8C的中點，求證：平面E4C;

（2）求平面ACD與平面3CE所成角的正弦值.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖是矩形A3CD和以邊AB為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿

折疊，使平面ABCD垂直于半圓所在的平面，若點E是折后圖形中半圓。上異于A,B的點

JT

（2）若AB=2">=2,且異面直線AE和DC所成的角為二，求三棱錐ACE的體積.

4.（2023?全國?高三專題練習）如圖1,在邊長為4的正方形ABC。中，點P、。分別是邊A3、BC的中點,

將△枷、ACDQ分別沿。P、。。折疊，使A、C兩點重合于點連PQ,得到圖2所示幾何體.

⑴求證：PM-LDQ.

（2）在線段上是否存在一點R使〃平面PQR如果存在，求二的值，如果不存在，說明理由.

5.(2023?河南濮陽?濮陽一高?？寄M預測)如圖①，在平面四邊形ABCO中，AB=AO=2,BC=CD=y[2,

ABAD=6^.將△■BCD沿著8。折疊，使得點C到達點C'的位置，且二面角A-8D-C'為直二面角，如圖

②.己知P,G,F分別是AC',"),A8的中點，E是棱A3上的點，且C'E與平面4犯所成角的正切值為友.

3

(1)證明：平面尸G5〃平面C'DB；

⑵求四棱錐P-GFED的體積.

6.（2023?全國?高三專題練習）如圖1,在直角梯形EFBC中，BF\\CE,ECA.EF,EF=l,FB=2,EC=3.

現(xiàn)沿平行于的AD折疊，使得ED_LDC且3C4平面8DE,如圖2所示.

圖2

⑴求AB的長度;

(2)求二面角F-EB-C的大小.

7.(2023?新疆阿克蘇根考一模)如圖甲所示的正方形A4AA中，M=12,AB=A與=3,BC=BC=4,

對角線44；分別交2月，CG于點尸，Q,將正方形A4A4沿8月，CQ折疊使得與4%重合，構(gòu)成如圖

乙所示的三棱柱ABC-A4G.

BiC,

(2)求平面APQ與平面人尸。夾角的余弦值.

8.(2023春?四川南充?高三闌中中學?？茧A段練習)如圖甲所示的正方形44AA中，AA=12,AB=AB,=3,

BC=4G=4,對角線AA；分別交BBt,CC于點P,Q,將正方形41AA沿即,CQ折疊使得A4,與A4重合,

構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱ABC-

⑴若點M在棱AC上，且了，證明：〃平面APQ；

(2)求二面角A-尸。-A的余弦值.

9.(2023?上海奉賢??？寄M預測)如圖，將邊長為2的正方形ABCO沿對角線8。折疊，使得平面A3。J_

平面CBD,AE±^ABD,且&￡=不

B

(1)求證：直線EC與平面A3。沒有公共點；

⑵求點C到平面BED的距離.

10.(2023?廣東深圳??？级?如圖1所示，等邊AABC的邊長為2a,CO是48邊上的高，E,尸分別是

AC,3c邊的中點.現(xiàn)將AABC沿8折疊，如圖2所示.

⑴證明：CDLEF-,

⑵折疊后若AB=。，求二面角A-BD-E的余弦值.

11.(2023秋?四川成都?高三?？茧A段練習)在圖1中，AABC為等腰直角三角形，2B90?,AB=2枝,

△ACD為等邊三角形，。為AC邊的中點，E在8C邊上，且EC=2BE,沿AC將AACD進行折疊，使點。

運動到點廠的位置，如圖2,連接BO,FB,FE,使得EB=4.

(1)證明：平面ABC.

(2)求二面角E-E4-C的余弦值.

12.(2023秋?四川成都?高三成都七中?？奸_學考試)已知矩形ABC。中，AB=2,BC=2y/3,M,N分別

為AD,BC中點，。為對角線AC,BD交點,如圖1所示.現(xiàn)將△。由和AOCD剪去，并將剩下的部分按如

下方式折疊：沿將△AOD△BOC折疊，并使。4與02重合，0c與。。重合，連接MN,得到由平面

0AM,OBN,ODM,OCN圍成的無蓋幾何體，如圖2所示.

(1)求證：MN_L平面AOC；

(2)求此多面體體積V的最大值.

13.(2023?全國?高三專題練習)如圖(1)所示，在AABC中，AB=46,BC=20乙5=60。，OE垂直

平分48.現(xiàn)將VADE沿DE折起，使得二面角A-DE-B大小為60。，得到如圖(2)所示的空間幾何體(折

疊后點A記作點尸)

圖⑵

(1)求點。到面PEC的距離;

(2)求四棱錐尸-3CED外接球的體積;

(3)點。為一動點，滿足至=2屋(0<2<1),當直線BQ與平面PEC所成角最大時，試確定點。的位置.

14.(2023?全國?高三專題練習)如圖1所示，在邊長為12的正方形A4AA中，點BC在線段A4'上，且

AB=3,3c=4,作B耳〃A4],分別交人耳、4V于點與、P,作CC"/A41,分別交片可、A4J于點C「Q,

將該正方形沿B片,CG折疊，使得A'4與AA重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC—

(1)在二棱柱A5C—A4G中，求證：AB_Z,平面;

⑵試判斷直線AQ是否與平面AGP平行，并說明理由.

2.探索性問題

一、解答題

1.(2023?全國?高三專題練習)已知正四棱臺A3CD-4耳。■的體積為竺徨，其中48=2其g=4.

3

(1)求側(cè)棱M與底面ABC。所成的角；

(2)在線段cq上是否存在一點P,使得2尸，4。？若存在請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

2.(2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習)如圖，在五棱錐尸-ABCDE中，BE!/CD,

AB=BE=EA=PD+DE=PC+CB,ZDEB=ZCBE=^P.

p

⑴證明：BE.LAP-,

PDPD

⑵若平面PC。，平面ABCDE,平面PCB，平面尸班，探索：丁是否為定值？若為定值，請求出f的值;

AEAE

若不是定值，請說明理由.

3.(2023秋?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習)如圖，在五面體ABCZJEE中，四邊形ABC。是邊長為4

的正方形，EF//AD,平面ADEF_L平面ABC。，且BC=2EF,AE=AF,點G是EF的中點.

(1)證明：AG_L平面ABC。；

MC

(2)線段AC上是否存在一點M,使MG//平面A8P?若存在，求出^的值；若不存在，說明理由.

4.(2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學校聯(lián)考階段練習)已知四棱錐E-ABCD中，四邊形A3CD為等腰梯

形，AB//DC,AB=4,AD=OC=2,BE=4,VADE為等邊三角形.

(1)求證：平面ADE_L平面ABCD；

(2)是否存在一點尸，滿足麗=4麗(0<4<1),使直線反與平面瓦汨所成的角為60。？若存在，求出力的

值；若不存在，請說明理由.

5.(2023秋?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？奸_學考試)如圖，在四棱錐P-MCD中，底面A3CD是菱形,

ZABC=60°,三角形PAB為正三角形，且側(cè)面底面ABCE>.E,M分別為線段A5P。的中點.

⑴求證：尸2〃平面ACM；

(2)在棱CD上是否存在點G,使得平面G4ML平面若存在，請求出息的值；若不存在，請說明

理由.

6.(2023秋?江西吉安?高三吉安三中?？奸_學考試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BDA.PC,ZABC=6&,

四邊形A3CD是菱形，PB=42AB=y[2PA,E是棱尸。上的動點，且屜=2萬.

⑴證明:如，平面ABCD.

(2)是否存在實數(shù)2,使得平面與平面ACE所成銳二面角的余弦值是手？若存在，求出2的值；若不

存在，請說明理由.

7.(2023春?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習)如圖，在等腰梯形ABCD中，

2兀

AB//CD,AD=DC=1,ZBCD=—,四邊形ACFE為矩形，且CFL平面ABCD,CF=L

(1)求證：EF2平面3C/；

(2)在線段所上是否存在點使得平面跖記與平面尸CB所成銳二面角的平面角為凡且滿足cos8=內(nèi).

若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.

8.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐尸-ABC中，平面P3C1平面ABC,APBC為等邊三角形,

D,E分別為PC,尸8的中點，BD±PA,BC=2,AC=1.

⑴求證：ACl^PBC；

（2）在線段AC上是否存在點R使得平面OE尸與平面A3c的夾角為m，若存在，求出C/的長；若不存在,

請說明理由.

9.（2023?陜西安康?陜西省安康中學?？寄M預測）如圖，在四