高考數(shù)學專項復習：指數(shù)與對數(shù)

清單04指數(shù)與對數(shù)

根式n次方根的定義

---------<〔根式考點題型一根式的概念與化簡

指數(shù)分數(shù)指數(shù)幕的意義考點題型二分數(shù)指數(shù)幕與根式互化

X考點題型三指數(shù)幕運算的化簡求值

指數(shù)與對數(shù)指數(shù)累的運算性質(zhì)考點題型四指數(shù)運算條件求值問題

對數(shù)的概念考點題型五指數(shù)式與對數(shù)式互化

對數(shù)考點題型六用已知對數(shù)表示其他對數(shù)

對數(shù)的運算性質(zhì)考點題型七對數(shù)運算的化簡求值

【清單01】根式

1、〃次方根的定義

（1）定義：一般地,如果x"=4（?>1,且〃eN"）,那么X叫做a的〃次方根.

（2）個數(shù):

①當〃是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù),

這時。的〃次方根只有一個，記為x=標；

②當"是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，

這時，正數(shù)。的正的〃次方根用符號正，負的〃次方根用符號-標表示,

它們可以合并寫成土標（a〉0）

2、根式

（1）根式的定義：式子布叫做根式，其中〃叫作根指數(shù)，。叫作被開方數(shù).

（2）根式的性質(zhì)：（〃>1,且〃eN*）

〃為奇數(shù)，

（兩"=a；（布）"=<

時,〃為偶數(shù).

【清單02]

1、分數(shù)指數(shù)塞的意義

（1）正分數(shù)指數(shù)累：規(guī)定：a：=痂（。>0,九

_絲1

（2）負分數(shù)指數(shù)幕：規(guī)定：a〃=—（〃>0,加,〃￡N*,〃>

an

（3）性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

2、指數(shù)塞的運算性質(zhì)

（1）a'as-ar+s（a>0,r,5eR）.

（2）（（/）'=a"（a>0/,seR）.

（3）（aby=arbr（?>0,Z?>0,reR）.

【清單03】對數(shù)

1、對數(shù)的概念

（1）對數(shù)的定義：如果d=N（。>0,且。/1），那么就稱6是以。為底N的對數(shù)，記作b=log〃N,

其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

（2）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，對數(shù)logi°N簡記為IgN；

（3）自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，對數(shù)log,N簡記為InN.

2、對數(shù)的運算性質(zhì)

（1）運算性質(zhì)：a>0,且awl,M>0,N>0

M

@loga（MN）=logflM+logflN；@logfl—=logflM-logflN；=nlogaM

（2）換底公式及推論

lowN

log。N=------（a>0,且aWl；c>0,且cWl；N〉0）.

一iogca

可用換底公式證明以下結論：

①log.6=—；②logQlog//ogca=l；

logba

m

m

③log,"Z?"=log.6；@loga?b=—logflZ>；⑤10glz7=-log“b.

題型儕單

【考點題型一】根式的概念與化簡

方法總結：

（1）解決根式的化簡與求值問題首先要分清根式是奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進行化簡

求值；

（2）注意對方和（布）"進行區(qū)分；

（3）對根式的運算要注意變式，整體代換，以及平方差、立方差、完全平方及完全立方公式的運用，做到

化繁為簡，必要時進行討論.

【例1】（2223高一上?江蘇徐州?月考）下列式子中成立的是（）

A.ayJ-a=y1-a3B.y[—a=-

C.ay^-a--yj-a3D.y/—a=

【答案】C

【解析】由4^a可知a?0,

對于A,a4-a<0，>o>故A錯誤;

對于B,時，4-a>0,而無意義，故B錯誤;

對于C,a4-a<0?—yj—a3<0?-&ay[—a=—yj—a-a2=—yj—a3>故C正確;

對于D,a<0時，4~a>0?而無意義，故D錯誤；故選：C.

【變式11］（2223高一上?江蘇連云港?月考）若x，0,則國-正+4的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

I~2"

【解析】因為XR0,所以國-必+?=卜|-卜|+；=1.故選：C

【變式12】（2324高一上?廣東中山?月考）化簡｛一篇j（其中。>0/>0）的結果是（）

2a2a161

''3bB'~lb081，/口.-8仍94

【答案】C

［解析］=f—f=（-）4=16C.

27刃33b3'3b）81?V

【變式13］（2324高一上?海南?月考）若x<3,則，9-6工+4一丹-6|的值是（）

A.3B.3C.9D.9

【答案】A

【解析】依題意％<3,所以％-6<0,%-3<0,

所以J9_6x+x2_k—6|=-^（3-x）2-|x-6|=|3-乂-卜-6|=3-%+工-6=-3.故選：A.

【變式14］（2324高一上?江蘇宿遷?月考）若x>3,則_6X+9_|2-X|=.

【答案】-1

【解析】因為x>3,^fl>lVx2-6x+9-|2-x|=^（x-3）"+（2-x）=|x-3|+2-x=x-3+2-x=-l.

【考點題型二】分數(shù)指數(shù)易與根式互化

方法總結：（1）根式與分數(shù)指數(shù)塞互化的關鍵是準確把握兩種形式中相關數(shù)值的對應：①根指數(shù)一分數(shù)指

數(shù)的分母；②被開方數(shù)（式）的指數(shù)C分數(shù)指數(shù)的分子.

（2）當根式為多重根式時，要清楚哪個是被開方數(shù)，一般由內(nèi)向外用分數(shù)指數(shù)塞依次寫出.

【例2】（2324高一上?新疆?月考）把根式.夜化成分數(shù)指數(shù)塞是（）

3333

（）

A.-42B,一（一。）2C._a2D,a2

【答案】D

13

【解析】由題意可知。20,._〃/故選：D.

..ClxjCl—CI入LI—14

【變式21］（2324高一上?陜西西安?月考）代數(shù)式藤五（。>。）化簡的結果是（）

A1B113

-a-a，C-滔D.”

【答案】A

【解析】［用/石=心心./=￥&=◎,/=

故選：A

【變式22］（2324高一上.湖南株洲?月考）下列關于廣：，（見〃eN*）的形式的運算正確的是（）

_51_51

A.83=『B.83二-

F

_3］

C./=一海D.（-8盧

而

【答案】A

--11

【解析】由于83=干=而，A正確，B,C錯誤；

83

(-8)4=

河’=k記無意義，D錯誤，故選：A

【變式23］（2324高一上?河南?月考）（多選）下列各式錯誤的是（）

A.H丫2=.B.a3+a4=a1

_1-------3

C.=-yfx^x0）D.=晨

【答案】ABC

,___21

【解析】對于A,當y＜。時，6^7=y6=_y3,故A錯誤；

對于B,〃=1時顯然等式不成立，故B錯誤；

對于C,

313

對于D,=而％=1，故D正確.故選：ABC.

【變式24】（2324高一上?河北石家莊?月考）（多選）下列各式中一定成立的有（）

B.^7二的

D.個出—^3

【解析】對于A,故A錯誤;

對于B,花可=行=正，故B正確;

對于C,當x=l/=2時，軌3+23=%=卜=3“(x+yf=3^f

所以出：3+,3w(%+y/,故C錯誤；

11

I—(「112011J

對于D,京方=93=(3v=3'*2=室=百，故D正確.故選：BD.

【考點題型三】指數(shù)暴運算的化簡求值

方法總結：指數(shù)累運算的四個原則

（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；

（2）先乘除后加減，負指數(shù)塞化成正指數(shù)塞的倒數(shù)；

（3）底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù);

（4）若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)塞，盡可能用事的形式表示，運用指數(shù)塞的運算性質(zhì)來解答

（化簡過程中一定要注意等價性，特別注意開偶次方根時函數(shù)的定義域）

【例3】（2324高一上?江蘇徐州?月考）已知2"=5，8=3,則2"一助的值為（）

255

A.25B.5C.—D.一

93

【答案】D

【解析】?.?8"=3，，（23丫=23〃=3,二2"?故選：D.

1

【變式31]（2324高一上.湖南長沙?月考）計算(-64)5+[(-3)4f-6/2-1)°

【答案】C

[解析](-64P+[(_3)4F-訴-1)°+底=(-43)3+(34)4-l+[^)3P=-4+3-1+1=—.故選：C

【變式32】（2324高一上?江蘇南京?月考）（《J*二鏟+（23向]?]]?4=（）

A.兀B.2+兀C.4—7iD.6—71

【答案】B

_05J_3

【解析】信]+而二不+(2底滬8=/A2+$43r.故選：B

【變式33]（2425高一上?江蘇宿遷?開學考試）下列各式中，計算正確的是（）

44c4T-J425

A?m'm=2mD.m+m=m

C.（-2^7）3=-6x3y3D.（^-ab2^^ab1^=-ab2

【答案】D

【解析】對于A,m4-m4=m4+4=m8，故A錯誤；

對于B,m4+m2m5,故B錯誤；

對于C,（-2盯丫=_8%3艮，故c錯誤;

對于D,（-〃/丫.（〃/了=一（仍2）3+（仍2）2=_融2,故D正確；故選：D.

【變式34］（2324高一上?湖北武漢?月考）求值:

(IV1

⑴(7+46)。+3231-2、\]~~\

<x43

3

81V_/+#(3-Ji)，

(2)2-3+16)

【答案】（1）3；（2）兀

_2

(_iy'

【解析】()A?X

1(7+4/3)°+32-2W\3

私x4

3LL12

533332

=l+(2p-2x(2-p+2x4=1+2-2x2+25x23

12

=1+8-8+2六=1+2=3.

33

43X371=+-+7l-3=71

(2)2、償;+《(3-兀)4=2-3+&-2^+I-!|T1-

【考點題型四】指數(shù)運算條件求值問題

方法總結：條件求值問題的解題思路

1、將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結論；

2、當直接代入不易時，可以從總體上把握已知式和所求式的特點，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立

方和（差）以及完全平方公式對其進行化簡，再用整體代入法來求值；

3、適當應用換元法，能使公式的使用更加清晰，過程更簡潔。

【例4】（2223高一上?廣東惠州?月考）已知a+/=6,貝I/的值為

【答案】±2

<1_1Y11

【解析】a2-a2="2+/=6-2=4,所以.一尸=±2.

【變式41］（2223高一上?廣西南寧?月考）已知則/+十的值為（）

Cl-rLI-J

A.7B.±7C.47D.51

【答案】C

【解析】因為小+“3—3,所以a'+〃5x

LIILI-J=a+cT+2=9,

I7

2

所以a+&T=7,所以（a+/iI=/+32+2=49,所以/+1=47,故選：c.

x—X

【變式42］（2223高一上?河北張家口?月考）已知X+%T=4,（0<X<1）,則1一衛(wèi)的值等于（）

x2+%2

A.V6B.6C.-4-72D.8

【答案】C

【解析】〈x+xT=4,（0<%<1）,則

：.X2+x=ylx+2+%1=J4+2=\/~6，

x-x~x

X2-x-2

則=-4V2,故選：c.

X2+x2

【變式43］（2324高一上?河南漠河?月考）（多選）已知.一代+.心=3下列各式中正確的是（）

A./+i=7B.a^+a3^=18

V3_V3

?Q2+Q2=5/5

【答案】ABCD

【解析】A：。坊+。一2百=卜-62ag百=9-2=7,故A正確;

B：/6+a-36=（/代+°6）（0-2心_々-6+6+/6）=3x（7-1）=18,故B正確;

3君期（也西Y■

22=小+。2扶+川-”下（）

D：=a+a=V5X3-1=2A/5

\八7

故D正確；故選：ABCD.

【考點題型五】指數(shù)式與對數(shù)式互化

方法總結：根據(jù)對數(shù)的定義可得對數(shù)與指數(shù)間的關系：當a＞0,4H0時，/=N=x=log〃N.

【例5】（2223高一上?四川瀘定?月考）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）

,1?11

A.10°=1與lgl=OB.273=§與k）g27§=-]

C.log39=29|=3D.logs5=1與5=5

【答案】C

【解析】由1咤39=2可得32=9,C不正確故選：C

【變式51]若療°24=〃（加＞。且冽wl）,則（）

A.logran=2024B.log“加=2024

n=m

C.log2024m^nD.log2024

【答案】A

【解析】因為/°24="（機＞o且加Hl）,所以log",〃=2024.故選：A.

【變式52】下列對數(shù)式中，與指數(shù)式7、=9等價的是（）.

A.log7x=9B.log9x=7C.log79=xD.logA9=7

【答案】C

【解析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關系,7工=9等價于1。879=乙故選：C

【變式53】（2324高一上?貴州安順?月考）（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（）

A.10°=1與lgl=0B.噬39=2與丁=3

_1111

3

C.27=--^log27j=--D.logs5=1與亍=5

【答案】ACD

【解析】對于選項A,指數(shù)式10°=1化為對數(shù)式為坨1=0,故A正確；

對于選項B,指數(shù)式￡=3化為對數(shù)式為1°g93=；，故B錯誤；

A111

對于選項C,指數(shù)式273="化為對數(shù)式為log27§=-§,故C正確；

對于選項D,指數(shù)式寧=5化為對數(shù)式為logs5=1,故D正確.故選：ACD.

【考點題型六】用已知對數(shù)表示其他對數(shù)

方法總結：觀察已知對數(shù)與所求對數(shù)的關系，通過換底公式以及對數(shù)的運算性質(zhì)建立兩者之間的聯(lián)系.

3

【例6】（2425高一上?四川闿中?開學考）已知1臉3=。，Iog87=b,則1限為的值為（）

-Z）2a

A.a—b2B.a—2bC.—D.—y

ab

【答案】B

3

【解析】logg/ulogsSTogg—ubg83-21og87=a-Z.故選:B

【變式61]（2324高一上?天津?月考）log23=a,log21=b,試用a,6表示Iog4z56（）

3+b3+ba+b+\a+b

A.----B.------D.----

a+ba+b+\■3+63+6

【答案】B

1嗎（2"7）3+噫73+b

【解析】Slog23=a,log2l=b,fjlljlog4256=.故選：B

Iog,（2x3x7）1+log23+log271+a+b

【變式62](2324高一上?江蘇連云港?月考)設Q=lg6,b=lg20,則1(^3=()

a+6-1a—6+1

A.B.C.D.

b+\b-\b+\b-\

【答案】D

a=lg2+Zg3lg2=b-l

【解析】則bg?3=魯="丁.故選D

b=l+lg2lg3=a-b+1lg2b-17

【變式63]（2324高一上?上海?月考）已知log53=a,5"=4,試用。、6表示bg近30=.

【答案】2a+b+2

【解析】由5"=4可得：1嗎4="即b=2k>&2,故

log近30=21og5（3x2x5）=2[log53+log52+l]=2la+|+lj=2a+/j+2.

【考點題型七】對數(shù)運算的化簡求值

方法總結：對數(shù)運算的一般原則

Yl

（l）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)幕形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式log='log。/）化簡合并；

am

（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；

（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、易；

（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然后

進行化簡合并；

（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分數(shù)，分數(shù)一般寫成對數(shù)相減的形式。

【例7】（2324高一上嚀夏吳忠?月考）（多選）以下式子中，計算正確的是（）

log83

A.21+1°825=102=

log242

2

C.flog225+log21log58+log51j=D.

log39+log42=0

【答案】ABC

【解析】對于A,/臉5=>X2臉5=2x5=10,故A正確;

3

log28_log22_31og,2_3

對于B故正確;

2B

log24log22210g222

對于C,(logZ25+log21Jlog58+log5J=log2125x?xlog^8x^

=log25xlog54=log,4=2,故C正確；

對于D,log39+log42—2+—^0，故D錯誤.故選：ABC.

2

2734

【變式71］（2324高一上?浙江?月考）計算:log9

+21og32-log3--5-=

64

【答案】上7

2~~log9

3