2023年高考數(shù)學二輪復習試題匯編：圓錐曲線中的定點與定值問題

專題15圓錐曲線中的定點與定值問題

一、核心先導

二、考點再現(xiàn)

【考點1】、【直線過定點的解題策略】

(1)如果題設條件沒有給出這個定點，那么，我們可以這樣思考：由于這個定點對符合要求的一些特殊情

況必然成立，那么我們根據(jù)特殊情況先找到這個定點，再證明這個點與變量無關.

(2)直接推理、計算，找出參數(shù)之間的關系，并在計算過程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點斜式方程，

從而得到定點.

(3)若直線方程含多個參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的

特征，即可找出直線所過頂點坐標，并帶入直線方程進行檢驗.注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，

設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.

【重要結(jié)論】

1.動直線，過定點問題，設動直線方程(斜率存在)為了=履+力，由題設條件將力用A表示為力=〃"，得y

=k(x+而,故動直線過定點(一如0).

2.動曲線C過定點問題，引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得

出定點.

3.“弦對定點張直角”-圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB,則AB必過定點

2222

x0(g-b)y0(a-Z?)

Va2+b2，a2+b2),

4.只要任意一個限定AP與BP條件(如左AP?左BP=定值，左AP+左8「=定值)，直線AB依然會過定點

【考點2】、【定值問題的常見類型及解題策略】

(1)求代數(shù)式為定值.依題意設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；

(2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形

求得；

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對，解析式進行化簡、變形即可求得.

【知識拓展】

1.設點是橢圓C：^+1=l(a〉Z?〉O)上一定點，點A,B是橢圓C上不同于P的兩點，若

kpA+kpB=入，則2=0時直線AB斜率為定值上;(〃wo),若XHO,則直線AB過定點

2n

m-----,—n—

2

2.設點尸(771,71)是雙曲線C:—~——1(〃>0,b>0)一定點，點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,

若即A+%>B=X，則2=0時直線AB斜率為定值——若義工0，則直線AB過定點

m---，一〃+—%—；

(%)

3.設點是拋物線C：V=22%(〃>0)一定點，點A,B是拋物線C上不同于P的兩點，若

kpA+kpB=入，則4=0時直線AB斜率為定值一二("7°)，若則直線AB過定點

三、解法解密

圓錐曲線的第三定義：

平面內(nèi)的動點到兩定點A(-a，。)&",0)的斜率乘積等于常數(shù)e2-1點的軌跡叫做橢圓或雙曲線，

其中兩個定點為橢圓和雙曲線的兩個頂點.其中如果常數(shù)e2-1>1時，軌跡為雙曲線，如果e2-i?(1,0)

時，軌跡為橢圓。

圓錐曲線的第三定義的有關結(jié)論：

2

1.橢圓方程中有關-彳b的經(jīng)典結(jié)論

Xyh

⑴.AB是橢圓二+2=1的不平行于對稱軸的弦，為AB的中點，則上o/L=—

aba

22

(2).橢圓的方程為0+1=1(a>b>0)，A,4為橢圓的長軸頂點,P點是橢圓上異于長軸頂點的任

ab

b2

一點，則有Kp&K%

a2

22

(3).橢圓的方程為=+與=1(a>b>0),8,3,為橢圓的短軸頂點,P點是橢圓上異于短軸頂點的

ab

b2

任一點，則有Kp81Kp為

22

(4).橢圓的方程為^+%=1(a>b>0),過原點的直線交橢圓于兩點,P點是橢圓上異于

b2

兩點的任一點，則有KK=---

PAPBa

2

2.雙曲線方程中有關b與的經(jīng)典結(jié)論

a

2272

⑴AB是雙曲線0―多=1的不平行于對稱軸的弦，M(Xo，y0)為AB的中點，則上OM此B=F

a廳a~

b2

即K般武x

22

(2)雙曲線的方程為3=1(a>0,b>0),A,雙為雙曲線的實軸頂點,P點是雙曲線上異于實軸

a"b"

b2

頂點的任一點，則有KPAKPA?7

22

⑶雙曲線的方程為二—二=1(a>0,b>0),8,雙為雙曲線的虛軸端點,P點是雙曲線上異于虛軸

ab

b2

端點的任一點，則有K兩K%7

22

(4)雙曲線的方程為j—3=1(a>0,b>0),過原點的直線交雙曲線于A3兩點,P點是雙曲線上

ab

b1

異于A5兩點的任一點，則有KK=—

PAPBa

四、考點解密

題型一:定點問題

例1、（2022?浙江臺州?模擬預測）已知點尸（2,1）是雙曲線:X?-丁=。與橢圓6：；十丁=。的公共點，

直線A5與雙曲線c交于不同的兩點A,B,設直線R4與總的傾斜角分別為a,。，且滿足。+分=?.

（1）求證：直線A3恒過定點，并求出定點坐標；

（2）記（1）中直線A3恒過定點為Q,若直線A3與橢圓C?交于不同兩點E,F,求庇?"的取值范圍.

【變式訓練1-1】、（2022?河南?鶴壁高中模擬預測（理））在平面直角坐標系中，已知等軸雙曲線

22

C1：^--p-=l（tz>0,Z;>0）過點（百，血）

⑴求雙曲線的方程；

⑵已知點斜率為左的直線/與雙曲線交于RQ兩點（不同于點A）,且L+KQ=3,求證直線

/過定點.

【變式訓練1-2】、（2022?湖南永州?一模）點P（4,3）在雙曲線C：W-1=l（a>0,"0）上，離心率e=g.

⑴求雙曲線C的方程；

3

⑵A,B是雙曲線C上的兩個動點（異于點尸），加網(wǎng)分別表示直線尸AP8的斜率，滿足左￡=5,求證：

直線A3恒過一個定點，并求出該定點的坐標.

題型二:定值問題

2222

例2.（2022?江西宜春?模擬預測（理））雙曲線G：與-，=l（a>0,6>0）與橢圓。2：土+工=1的焦點相

ab59

同，且漸近線方程為y=±百x,雙曲線的上下頂點分別為A,B.過橢圓C。上頂點R的直線/與雙曲線

交于點P,Q（P,。不與A,8重合），記直線R4的斜率為％,直線Q8的斜率為心.

⑴求雙曲線G的方程；

⑵證明廣為定值，并求出該定值.

【變式訓練2-1】、（2022?全國?模擬預測）已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=M（-2,0）,N（2,0）

分別為雙曲線的左、右焦點.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）P為雙曲線C上任意一點，連接直線PM,PN分別交C于點A,B,且兩=2涼，PN=]nNB,求證:

幾+〃為定值，并求出該定值.

【變式訓練2-2】、（2021?上海閔行?一模）如圖，在平面直角坐標系中，0耳分別為雙曲線八X2-/=2

的左、右焦點，點。為線段4。的中點，直線過點F?且與雙曲線右支交于兩點，延

長MD、ND,分別與雙曲線「交于P、Q兩點.

⑴己知點M（3,x/7）,求點D到直線的距離；

（2）求證:xly2-x2yl=2（y2-yl）i

（3）若直線MN、PQ的斜率都存在，且依次設為此匕試判斷由是否為定值，如果是，請求出勺的值；如果

不是，請說明理由.

五、分層訓練

A組基礎鞏固

22

1、（2021?全國）已知橢圓C：T+2=l（a>b>0）,M,N分別為橢圓C的左、右頂點，若在橢圓C上存

ab

在一點a,使得“。｛-川，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）

22

2、（2021?全國高二課時練習）已知A,B,尸是雙曲線谷=1上不同的三點，且點A,8連線經(jīng)過坐

ab

4

標原點，若直線出，PB的斜率乘積為則該雙曲線的離心率為（）

A.巫B.也C.0D.叵

223

3.（中學生標準學術能力診斷性測試2022-2023學年高三上學期11月測試文科數(shù)學試題）己知點尸，。在

丫21_.

橢圓?+y2=1上，。為坐標原點,記直線OP,。。的斜率分別為kop，及。，若kop.%=則|。葉+QQ「=

（）

A.2B.3C.4D.5

22

4.（2021?河南高二期中（理））已知平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓O：\+2=1（。>6>0）,且A3,

斜率之積的取值范圍為-則橢圓。的離心率的取值范圍為（）

5.（百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆高三三月聯(lián)考）已知平行四邊形A6CD內(nèi)接于橢圓

Q：W+/=l（a〉6〉0）,且A3,A。斜率之積的范圍為g],則橢圓.Q離心率的取值范圍是

_9_

22

6.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學高二階段練習（理））已知橢圓C：二+[=1（。>b>0）的兩個頂點在直

ab

線x-后y-應=0上，匕，用分別是橢圓的左、右焦點，點尸是橢圓上異于長軸兩個端點的任一點，過點尸

作橢圓C的切線/與直線x=-2交于點設直線尸身，班的斜率分別為匕，k2,則上色的值為。

22

7.（2022?新疆實驗高二期中）已知橢圓E:二+匕=1,尸為橢圓E的右頂點，直線/交E于兩點，且

164

PA,PB,貝!]/恒過除尸點以外的定點（）

A.r0?件。）C.唱D.1

22

8.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學高二期中）已知橢圓點+方=l（a>b>0）,兩條直線4：x-3y=0；l2：x+3y=0,

過橢圓上一點尸作幾4的平行線，分別交4，4于M，N,若|肱V|為定值，則:=（）

b

A.9B.4C.3D.2

9.（2022?吉林吉林?模擬預測（文））已知直線/：y=辰（女中。）與雙曲線C：3-丁=1交于「，。兩點，

。以，X軸于點反，直線尸8與雙曲線C的另一個交點為T,貝U的2r=（）

A.-B.4c.ID.2

42

10.（2021?江西省豐城中學高三階段練習（理））已知尸是雙曲線氏二-七=1上任意一點，是雙曲

4m

線上關于坐標原點對稱的兩點，且直線的斜率分別為勺&（柩2N0）,若同+網(wǎng)的最小值為1,則

實數(shù)加的值為（）

A.16B.2C.1或16D.2或8

11.（2022?江蘇泰州?高二期中）已知橢圓+V=1,點尸為直線x+y=2上一動點，過點尸向橢圓作兩

條切線上4、PB,A、8為切點，則直線AB過定點.

22

12.（2022?全國?高三專題練習）定義：若點尸（尤。,%）在橢圓1r+方=1（a>6>0）上，則以P為切點的切線

方程為：號+咨=1,已知橢圓C：X+￡=l,點M為直線尤-2卜6=0上一個動點，過點〃作橢圓C的

ab-32

兩條切線MB,切點分別為A,B,則直線AB恒過定點.

13.（2022?全國?高三專題練習）因為正三角形內(nèi)角余弦值為所以有人將離心率為3的橢圓稱為“正橢

22

圓”.已知“正橢圓”C：與+當=1（。>6>0）的上下頂點分別為且“正橢圓”C上有一動點P（異于橢圓

ab

的上下頂點），若直線尸4,尸2的斜率分別為勺，月，則上此為.

22

14.（2022?河北南宮中學高三階段練習）已知雙曲線G：.-需=1的左、右頂點分別為A,2,拋物線

C?:y2=4x與雙曲線G交于兩點，記直線AC,8。的斜率分別為勺,則尤履為.

22

15.（2021?湖南師大附中高二階段練習）設直線y=尤與雙曲線C：，-與=1（。>0,6>0）相交于A,

ab

8兩點，P為C上不同于A,8的一點，直線上4,PB的斜率分別為《，k2,若C的離心率為2,則

k、.k?—.

16.（2022?安徽?合肥一六八中學模擬預測（理））已知圓M：尤?+丁+4尤=0上動點Q,若N（2,0）,線段

QV的中垂線與直線交點為尸.

⑴求交點P的軌跡C的方程；

（2）若A,B分別軌C與龍軸的兩個交點，。為直線x=-2上一動點，DA,與曲線C的另一個交點分別是

E、F、證明：直線EF過一定點.

22

17.（2021?江蘇蘇州?三模）在平面直角坐標系尤Ov中，已知雙曲線C:?-忘=l（a>0,b>0）的左、右頂

點分別為A、B,其圖象經(jīng)過點（也」），漸近線方程為1=±了.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設點E、尸是雙曲線C上位于第一象限的任意兩點，求證：ZEAF=ZEBF.

B組能力提升

22

18、（2022?山東?青島二中高三期中）已知橢圓C:J+2=Ka>6>0）,過橢圓中心的一條直線與橢圓相交

ab

于A,B兩點，尸是橢圓上不同于4B的一點，設直線AP,BP的斜率分別為相，小則當

:^-1一］+亙+g（ln|〃z|+lnM|）取最小值時，橢圓C的離心率為（）

bv3mnJmn2/

A.-B.-C.逑D.B

5532

22

19.（2022?全國?高三專題練習）已知1<%<4,耳，B為曲線c：L+3一=1的左、右焦點，點尸為曲線

44-m

2

C與曲線E:尤2一工=1在第一象限的交點，直線/為曲線C在點尸處的切線，若三角形月尸8的內(nèi)心為點

m-1

M,直線4M與直線/交于N點，則點N橫坐標之差為.

20.（2022?全國?模擬預測）已知雙曲線CJ嘖=l（a>0,b>0）的離心率為2,C的右焦點尸與點河（0,2）

的連線與C的一條漸近線垂直.

（1）求C的標準方程.

（2）經(jīng)過點M且斜率不為零的直線I與C的兩支分別交于點A,B.

①若。為坐標原點，求市?礪的取值范圍；

②若。是點8關于y軸的對稱點，證明：直線AD過定點.

21.（2022?重慶?三模）平面直角坐標系xOy中，點片（一叢,0）,乙（G，0），點M滿足附居卜附閭=±2，

點M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）已知A（1,0）,過點A的直線AP,AQ與曲線C分別交于點尸和。（點P和。都異于點A）,若滿足

AP.LAQ,求證：直線尸。過定點.

22

22.（2022?山西朔州?三模（理））已知雙曲線C:二-與=l（a>0力>0）經(jīng)過點4（2,0）,4（4,0）,

ab

A（2厄布）,4（2應，一百），A（G,⑹中的3個點.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）已知點N是雙曲線C上與其頂點不重合的兩個動點，過點N的直線乙，4都經(jīng)過雙曲線C的右頂

點，若直線乙，4的斜率分別為K，右,且勺+魚=1,判斷直線是否過定點，若過定點，求出該點的坐

標；若不過定點，請說明理由

22

23.(2021?廣東汕頭?二模)已知雙曲線方程為二-2=1,Fi,尸2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2,

ab

點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足麗?%=0,|PF/||PF2|=6.

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)過點尸2作直線/交雙曲線于A、8兩點，則在x軸上是否存在定點0(機，0)使得遨?歷為定值，若存在，

請求出山的值和該定值，若不存在，請說明理由.

24.(2021?江蘇徐州?二模)已知雙曲線C：W-《=l(a>08>0)的左、右焦點分別為月,￡,點P(3,l)在C上,

ab

且|尸7訃|尸閱=10.

(1)求C的方程；

(2)斜率為-3的直線/與C交于A,2兩點，點B關于原點的對稱點為D若直線尸AP。的斜率存在且分

別為勺，左2，證明：尤?m為定值.

2

25.(2020?上海楊浦?二模)已知雙曲線2r=1仍>0),經(jīng)過點0(2,0)的直線/與該雙曲線交于“、N

b

兩點.

(1)若/與無軸垂直，且I政V|=6,求6的值；

(2)若》=應