華師大版-解直角三角形教案

解直角三角形測量教學目標：利用前面學習的相似三角形的有關(guān)知識，探索測量距離的幾種方法，初步接觸直角三角形的邊角關(guān)系。教學重點：探索測量距離的幾種方法。教學難點：選擇適當?shù)姆椒y量物體的高度或長度。教學過程：一。復習引入：當你走進學校，仰頭望著操場旗桿上高高飄揚的五星紅旗時，你也許想知道操場旗桿有多高？我們知道可以利用相似三角形的對應邊，首先請同學量出太陽下自己的影子長度，旗桿的影子長度，再根據(jù)自己的身高，計算出旗桿的高度。如果在陰天，你一個人能測量出旗桿的高度嗎？二。新課探究：書.P.98試一試.如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC=34°，并已知目高AD為1米?，F(xiàn)在請你按1：500的比例得△ABC畫在紙上，并記為△A1B1C1,用刻度尺量出紙上B1C1解：∵△ABC∽△A1B2C3,∴AC:A1C1=BC:B1∴只要用刻度尺量出紙上B1C1的長度，就可以計算出BC的長度，加上AD長即為旗桿的高度。若量得B1C1=a㎝，則BC=500a㎝=5a㎝。故旗桿高(1+說明：利用相似三角形的性質(zhì)測量物體高度或?qū)挾葧r，關(guān)鍵是構(gòu)造和實物相似的三角形，且能直接測量出這個三角形各條線段的長，再列式計算出實物的高或?qū)挼?。?.為了測出旗桿的高度，設(shè)計了如圖所示的三種方案，并測得圖(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m圖(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m圖(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂長為0.6m。說明其中運用的主要知識；（2）分別計算出旗桿的高度。（a）（b）（c）分析：圖(a)和圖(c)都運用了相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，圖(b)運用了同一時刻的物高與影長成正比的性質(zhì)。解：（1）∵△AOB∽△COD,∴即∴AB=3(m).（2）∵同一時刻物高與影長成正比，∴即∴AB=3(m).（3）∵△CEF∽△CAB∴即∴AB=3(m).方法技巧：測量物體的高度可利用自己的身高、臂長等長度結(jié)合相似形的性質(zhì)求出物高，也可以運用同一時刻的物高與影長成正比的性質(zhì)測量物體的高度。三、引申提高：例3。設(shè)計一種方案，測量學?？萍紭堑母叨取Ｕ垖懗鰷y量的過程，并簡要說明這樣做的理由。分析：測量大樓的高度的方法很多，現(xiàn)采用一種方法，利用人的身高和標桿，依據(jù)相似三角形三角對應成比例和平行線的性質(zhì)，可測出大樓的高度。解答：測量過程如下：1、在地面上立一個標桿，使人眼、桿頂、樓頂在一條直線上。2、測出CF、CH的距離。大樓3、算出KE的長度。4、用標桿長度減去人的身高，即DE的長度。標桿5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因為相似三角形三邊對應成比例，∴。6、再將剛才測量的數(shù)值代入比例式中，計算出AB的長度。7、用AB加上人的身高即得出大樓的高度。探究點拔：1.選擇測量的方法應是切實可行的。如本題中人眼、桿頂、樓頂在一條直線上（人是站立的）。2．大樓的高度=AB+人高。3．測量的過程要清楚，力求每步都有根有據(jù)，達到學以至用。四．鞏固練習：1.如圖1，要測量A、B兩點間距離，在O點設(shè)樁，取OA中點C，OB中點D，測得CD=31.4m求AB長。(AB=62.8m)(1)(2)2.如圖2,為了測量河的寬度，可以先在河對岸找到一個具有明顯標志的點A，再在所在的一邊找到兩點B、C，使△ABC構(gòu)成Rt△。如果測得BC=50米，∠ABC=73°，試設(shè)計一種方法求河的寬度AC。(在地面上另作Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°,測得A’C’=16.35米，得AC=16.35米).五課時小結(jié)：選擇適當?shù)姆椒y量物體的高度或長度等是新時期素質(zhì)教育的要求，運用所學相似三角形知識設(shè)計測量方案時一定要考慮可行性，力求操作簡便，計算簡潔，同時注意分析環(huán)境、天氣等要素。六．課堂作業(yè)：《教科書》87－1、2、3銳角三角函數(shù)（1）教學目標：1.直角三角形可簡記為Rt△ABC2.理解Rt△中銳角的正弦、余弦、正切、余切的概念。教學重點：四種銳角三角函數(shù)的定義。教學難點：理解銳角三角函數(shù)的定義。教學過程：一．復習提問：什么叫Rt△？它的三邊有何關(guān)系？2.Rt△中角、邊之間的關(guān)系是：①∠A+∠B=90°②二．新課探究：1.Rt△ABC中，某個角的對邊、鄰邊的介紹。2.如圖，由Rt△ABC∽Rt△ABC∽Rt△ABC得可見，在Rt△ABC中，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與鄰邊的比值是惟一確定的。同樣，其對邊與斜邊，鄰邊與斜邊，鄰邊與對邊的比值也是惟一確定的。3.四種銳角三角函數(shù)。分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切、余切，統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數(shù).顯然，銳角三角函數(shù)值都是正實數(shù)，并且0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0.4.四種三角函數(shù)的關(guān)系。三．四種三角函數(shù)值例1.①求出如圖所示的Rt△ABC中，∠A的四個三角函數(shù)值。解：Rt△ABC中，AB===17∴sinA=，cosA=tanA=，cotA=8②若圖中AC︰BC=4︰3呢？15解：設(shè)AC=4，BC=3，則AB=5∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=③若圖中tanA=呢？（解法同上）例2.△ABC中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A的四個三角函數(shù)值。解：Rt△ABC中，c===12∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=注意：解Rt△，如無圖，應根據(jù)題意自己畫圖，尋找線段比值也應根據(jù)定義，不能死記公式。四．鞏固練習：書P1-3五．引申提高：例3．如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，BD=8。求cosB。你還能求什么？法一：Rt△BCD,法二：Rt△ABC中，變式：若AD:BD=9:16,求∠A的四個三角函數(shù)值。()六．課時小結(jié)：靈活運用四個三角函數(shù)求值。七．課堂作業(yè)：教科書：P.91。1—4銳角三角函數(shù)（2）--------特殊值教學目標：1、使學生熟記30°、45°、60°的三角函數(shù)值2、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。教學重點：特殊角的三角函數(shù)值。教學過程：復習：1.什么叫銳角A的正弦、余弦、正切、余切？2.如圖，∠C=90°，AC=7，BC=2求∠A和∠B的四個三角函數(shù)值（∠A：∠B：）比較求值結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？（sinA=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,cotA=tanB）得出：如果兩個銳角互余，則有sin(90°－A)=cosA,cos(90°－A)=sinA,tan(90°－A)=cotA,cot(90°－A)=tanA新授1.推導特殊角的三角函數(shù)值例1、直角△ABC中，∠A=30°，求sinA、cosA、tanA、cotA由sin30°=得出：在直角三角形中如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。練習：∠A=45°、∠A=60°呢？歸納特殊角的三角函數(shù)值：sincostancot30°45°1160°2.已知特殊角的三角函值求銳角例2.①已知sinA=,則∠A=30°;②已知tanA=1,則∠A=45°;③已知cosB=,則∠B=60°;④已知sinB=,則∠B=60°;⑤已知則∠=60°;⑥已知則∠75°;⑦已知,A,B為△ABC的內(nèi)角，則∠C=75°；⑧已知，則45°或60°；3.計算：例3.①（）②（）③（1）④（）引申提高：()注意:①②0＜＜1,0＜＜1鞏固練習計算①（）②（0）③（）④（1）課時小結(jié)1.特殊角30°45°60°的四種三角函數(shù)值，2.注意30°、60°角的函數(shù)值的區(qū)別六、課作教科書P93－3；《學習指導》銳角三角形函數(shù)（4）—復習教學目標：熟練運用三角函數(shù)知識解題教學重點：銳角三角函數(shù)教學難點：銳角三角函數(shù)的運用教學過程：復習直角三角形中四個銳角三角函數(shù)的求法特殊三角的三角函數(shù)值新授例1.如圖，菱形ABCD中，對角線AC=16，BD=30，求:①∠ABD的四個三角函數(shù)值。②sin∠ABC解：①在菱形ABCD中，AO=CO=8，BO=DO=15，AC⊥BD，∴AB===17在Rt△ABO中，sin∠ABD=，cos∠ABD=，tan∠ABD=，cot∠ABD=②過C作CE⊥AB于E，菱形ABCD中，AB=BC=17，S=∴×16×30=，∴CE=Rt△BCE中，sin∠ABC=例2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA的值分析：本題可有兩種方法求解利用∠A的正弦、余弦的定義來解利用同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系式解法一：設(shè)a=，c=，則b=，∴cosA=解法二：∵sinA+cosA=1，sinA=，∴cosA=三。引申提高：例3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一點，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9，求BE、CE的長。分析：由sinB=，可設(shè)DE=CD=，DB=，則BC=8，AC=6，AB=10，再由AC+CD=9，可求出各邊長。在Rt△BDE中，由勾股定理求BE長，過C作CF⊥AB，再用勾股定理求解。解：∵sinB=，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴sinB=，設(shè)DE=CD=3，則DB=5又CD=DE=3，∴CB=8，∴AC=6，AB=10，∵AC+CD=9，∴6，∴∴DE=3，DB=5，∴BE=過C作CF⊥AB于F，則CF∥DE，∴，求得CF=，BF=∴EF=，在Rt△CEF中，四、鞏固練習△ABC中，∠C=90°，a=40,c=41.求的值。(0)2.計算①()②(1)3.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,求cosB。（）五、課時小結(jié)．熟記銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值。三角函數(shù)定義的理解在復雜圖形中求某角的三角函數(shù)值。通過作垂線構(gòu)造Rt△，運用勾股定理列方程求解。六、課作：△ABC中,,∠C=60°2.△ABC中,∠C=90°,斜邊上的中線長為m,且，求最小角的余弦值。()△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一點，且DC=2BD，DE⊥AB于E，求sin∠AEC的值。（）△ABC中，∠C=30°，D為AC上一點，DB⊥BC，已知AD︰DC=1︰2，求tan∠ABD的值。（）△ABC中，∠C=90°，D為BC中點，DE⊥AB于E，tanB=，AE=7，求DE長。（）解直角三角形（1）教學目標：利用直角三角形邊角之間的關(guān)系，解決與直角三角形有關(guān)的實際問題教學重點：解直角三角形的有關(guān)知識教學難點：運用所學知識解決實際問題教學過程：復習提問Rt△中的關(guān)系式.（∠C=90°）角：∠A﹢∠B=90°邊；a﹢b=c邊角關(guān)系：sinA=coA=tanA=cotA=△ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10㎝,則a=c=5㎝,b=a=5㎝；若∠A=40°,c=10㎝,則由sinA=,∴,由cosA=,∴由已知的邊角關(guān)系，求得未知的邊與角，叫做解直角三角形。新授看書P例1、例2得出：1.解Rt△的定義；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形。2.解Rt△，只有下面兩種情況：1）已知兩條邊2）已知一條邊和一個銳角3.在解Rt△的過程中，常會遇到近似計算，本書除特別說明外，邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到1′。例3.某施工人員在離地面高度為5米的C處引拉電線桿，若固定點離電線桿3米，如圖所示，則至少需要多長的纜線AC才能拉住電線桿？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）分析：由圖可知，AC是Rt△ABC的斜邊，利用勾股定理就可求出。解：在Rt△ABC中，AC===≈5.83（米）答：至少需要5.83米的纜線AC才能拉住電線桿。三、引申提高：例4.如圖，上午8時，小明從電視轉(zhuǎn)播塔C的正北方向B處以15千米/時的速度沿著筆直的公路出發(fā)，2小時后到達A處，測得電視轉(zhuǎn)播塔在他的南偏東50°的方向，試求出發(fā)前小明與電視轉(zhuǎn)播塔之間的距離，并求出此時距電視轉(zhuǎn)播塔有多遠？（精確到1千米）解：在RtABC中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），∵tan∠CAB=，∴≈25（千米），∵cos∠CAB=，∴AC=≈39（千米）答：出發(fā)前小明與電視轉(zhuǎn)播塔的距離約25千米，此時距電視塔39千米。變式：若已知敵艦與A炮臺的距離及∠DAC的讀書分，如何求兩炮臺間的距離？測量中能應用解直角三角形的知識嗎？四。鞏固練習課內(nèi)練習1-5五．課時小結(jié)：本節(jié)的重要內(nèi)容是解Rt△的有關(guān)知識，解Rt△的依據(jù)是勾股定理.兩銳角互余和邊角之間的關(guān)系,一般有兩種類型：已知兩邊，已知一邊和一銳角，解題時要選擇適當?shù)年P(guān)系式，盡可能使用原題數(shù)據(jù)和避免做除法運算。解Rt△（2）教學目標：分清仰角、俯角等概念的意義，準確把握這些概念解決一些實際問題教學重點：仰角、俯角、等位角等概念教學難點：解與此有關(guān)的問題教學過程：仰角、俯角的概念鉛垂線幾個概念1.鉛垂線2.水平線仰角3.視線俯角4.仰角：視線在水平線的上方，視線與水平線的夾角。5.俯角：視線在水平線的下方，視線與水平線的夾角。練習：1.由A測得B的仰角為36°，由B去測A時的俯角為。2.一棵樹AC在地面上的影子BC為10米，在樹影一端B測得樹頂A的俯角為45°，則樹高米；若仰角為60°，樹高米。（精確到1米）應用例1．書P114例4例2.如圖，線段AB、CD分別表示甲、乙兩幢樓，AB⊥CD，CD⊥BD，從甲樓頂A測乙樓頂C的仰角=30°，已知甲樓高15米，兩樓水平距離為24米解：Rt△ACE中，CE==8m，答：乙樓高為（8+15）米。三、引申提高：例3.如圖，為了測量頂部不能達到的建筑物AB的高度，現(xiàn)在地平面上取一點C，用測量儀測得A點的仰角為45°，再向前進20米取一點D，使點D在BC延長線上，此時測得A的仰角為30°，已知測量儀的高為1.5米，求建筑物AB的高度。解：在Rt△AEG中，EG==AG，在Rt△AFG中，F(xiàn)G==AG∴EF=FE－EG=（－1）AG=20，∴AG=+11.5（米）答：建筑物AB的高度為（+11.5）米。說明：解此類問題的關(guān)鍵是建立實際問題的數(shù)學模型，即構(gòu)建Rt△。必要時可添加適當?shù)妮o助線，解題時應選擇適當?shù)年P(guān)系式進行解題，并按照題目中的要求進行近似計算。變式：若點E在FG的延長線上，且∠AEG=45°，已知FE的長度，其他條件不變，如何求建筑物AB的高度？例4.如圖，在一座山的山頂處用高為1米的測頂器望地面C、D兩點，測得俯角分別為60°和45°，若已知DC長為20㎝，求山高。分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE。解；設(shè)AE=，在Rt△ADE中，，在R△ACE中，，DC=DE－CE==20，∴，∴BE=AE－AB=29＋10，∴山高為（29+10）米。四．鞏固練習。了解仰角、俯角的概念。學會幾何建模，通過解Rt△求解。五．課作。1—5解直角三角形（3）教學目標：弄清鉛垂高度、水平長度、坡高（或坡比）、坡角等概念；教學重點：理解坡度和坡角的概念教學難點：利用坡度和坡角等條件，解決有關(guān)的實際問題教學過程：一、復習提問：什么叫仰角、俯角？二、坡度、坡角的概念幾個概念：1、鉛垂高度2、水平長度3、坡度（坡比）:坡面的鉛垂高度和水平長度的比4、坡角：坡面與水平面的夾角.顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。練習：1、沿山坡前進10米，相應升高5米，則山坡坡度，坡角30°，2、若一斜坡的坡面的余弦為，則坡度,3、堤壩橫斷面是等腰梯形，（如圖所示）若AB=10,CD=4,高h=4，則坡度=,AD=5②若AB=10,CD=4,,則2，例1、書P115例4例2、如圖，水庫堤壩的橫斷面成梯形ABCD,DC∥AB,迎水坡AD長為米，上底DC長為2米，背水坡BC長也為2米，又測得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的長.解：過D、C分別作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,在直角△ADE中,∠A=30°，AD=∴DE=ADsin30°=,AE=ADcos30°=3.30°60°在直角△CBF中,BF=BCcos60°=1∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6答：下底的長為6米。思考：延長兩腰或平移一腰能求出下底的長嗎？說明：以上解法體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”思想，把梯形的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形可多角度的分析，添加輔助線，靈活、恰當?shù)貥?gòu)造直角三角形，使解法合理化。例3.鐵道路基的橫斷面是等腰梯形,其尺寸如圖所示,其中=1:1.5是坡度每修1m長的這種路基,需要土石多少立方?解:過A、D分別作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.則AE=DF=1.2m.∵=1:1.5.ABCD為等腰梯形.∴BE=CF=1.8m∴BC=1.8+10+1.8=13.6m∴SABCD=㎡∴V=1×14.16=14.16答:需要土面14.16立方米。三、引申提高：例4.沿水庫攔水壩的背水坡,將壩頂加寬2m,坡度由原來的1:2改為1:2.5,已知壩高6m,壩長50m,求：加寬部分橫斷面的面積完成這一工程需要的土方是多少？分析：加寬部分的橫斷面AFEB為梯形，故通過作梯形的高構(gòu)造直角三角形，利用坡度的變化求解。解：①設(shè)梯形ABCD為原大壩的橫截面圖，梯形AFEB為加寬部分，過A、F分別作AG⊥BC于G，F(xiàn)H⊥BC于H，在直角△ABG中，由AG=6,得BG=12在直角△EFH中,由FH=6,得EH=15∴EB=EH-BH=EH－(BG－HG)=15－(12－2)=5∴SAFEB=㎡②V=50×SAFEB=21×50=1050四、鞏固練習P102課內(nèi)練習123五、課時小結(jié)理解坡度、坡角的概念在復雜圖形中求解時要結(jié)合圖形，理解題意，運用所學知識通過構(gòu)造直角三角形求解。六、作業(yè)A、B組1—6解Rt△（4）教學目標：綜合運用前面所學的知識，通過添加適當?shù)妮o助線來構(gòu)造Rt△,從而解決較復雜的實際問題。教學重點難點:利用前面所學知識，解決教復雜的實際問題教學過程：一、復習、練習1.Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD=2，CD=4,則tanB=2.Rt△ABC中，∠A=90°,sinB=,c=2,則b=3.Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊上中線CD=3，AC=3.6，tan∠DCB=二、應用如圖△ABC中，∠B=45°，∠C=60，AD⊥BC于D，AD=2，求：（1）BC的長（2）S解：（1）∵AD⊥BC，∠B=45°，∠C=60°，AD=2∴BD=2，CD=∴BC=2+（2）∴S=×2×（2+）=2+如圖，為調(diào)整數(shù)學格局，充分發(fā)揮資源優(yōu)勢，現(xiàn)將地處A、B兩地的兩所技校合并成職業(yè)技術(shù)教育中心，為方便A、B兩校師生的交往，學校準備在相距5千米的A、B兩地修筑一條筆直公路AB，經(jīng)測量，在A地的北偏東60°方向，B地的西偏北45°方向的C處有一半徑為1.8千米的湖泊，問計劃修筑的這條公路會不會穿過湖泊？分析：要想知道公路會不會穿過湖泊，就必須知道點C到AB的距離是否大于1.8千米。解：過C作CD⊥AB于D由題意知∠CAD=30°，在Rt△ACD中，AD=，在Rt△BCD中，同理可得CD=DB，∴AB=AD+BD=（+1）CD=5，∴CD≈1.84（千米）＞1.8千米答：計劃修筑的這條公路不會穿過湖泊。如圖，河對岸有一電線桿CD，從A點測得電線桿頂端的仰角為18°，前進30米，到B處測得D點的仰角為36°，求電線桿的高度（精確到0.1米）解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A，∴DB=AB=30，在Rt△ABC中，CD=≈17.6（米）答：電線桿的高度約為17.6米。三、引申提高：如圖，A城氣象部門測得今年第9號臺風上午8時在A城南偏東30°的海面生成，并以每小時40海里的速度向正北方向移動，上午10時測得臺風中心移到了A城南偏東45°的方向，若臺風中心120海里的范圍內(nèi)將受臺風影響，問A城是否會受9號臺風影響？分析：A城是否會受臺風影響，就是A城到臺風移動路線BC的距離是否大于120千米。解：過A作AE⊥BC于E，設(shè)AE=EC=，則BE=，∵BC=2×40=80，∴BC=BE-CE=（-1）=80，∴≈109.2＜120，∴A城會受臺風影響。三、鞏固練習課內(nèi)練習1，2，3四、課時小結(jié)運用所學知識解決實際問題，學會幾何建模，通過解Rt△求解小結(jié)與復習(1)數(shù)學目標：1、正確運用勾股定理2、掌握三角函數(shù)定義，正確運用直角三角形邊角關(guān)系3、理解實際問題的相關(guān)概念教學過程：一、復習知識結(jié)構(gòu)與學習要點；書P.118二、練習：（一）.1.Rt△中一直角邊為7，三邊長都為正整數(shù)，則周長為532.Rt△中，斜邊上中線為1，周長為，則面積為3.Rt△中，兩邊長為2，4.則第三邊長為或（二）1.一Rt△被斜邊上的高分得的兩個三角形面積之比為4：9，則Rt△中最小角的正切為，2.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=則4，6，3.如圖△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD；解；S△ADC=∴Rt△AED中，Rt△ABE中，∴4.△ABC中.AD⊥BC，M為BA中點，∠B=30°，cos∠ACD=，求tan∠BCM。解：設(shè)則，∵為中點∴5.計算或化簡：①