福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷含答案

福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知等差數(shù)列滿足，則（）A． B．1 C．0 D．2．已知直線與直線間的距離為2，則（

）A．或4 B．4 C．或6 D．或163．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則（

）A．5 B．6 C．9 D．115．等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．6．用，，，，，這六個數(shù)字可以組成（

）個無重復(fù)數(shù)字，符合“小于4310的四位偶數(shù)”A．108 B． C． D．7．從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個寢室6位同學(xué)慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．二、多選題9．下列說法中錯誤的是（

）A．不過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．若直線，則兩直線的斜率相等C．過兩點(diǎn)的直線都可用方程表示D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直10．若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線C圍成的圖形的周長是；②曲線C圍成的圖形的面積是2π；③曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過2；④若P（m，n）是曲線C上任意一點(diǎn)，的最小值是其中正確的結(jié)論為（

）A．① B．② C．③ D．④三、填空題12．已知直線過點(diǎn)且與以為方向向量的直線平行，則的方程為.13．曲線與直線l：y＝k（x－2）＋4有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．14．將正整數(shù)分解成兩個正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.四、解答題15．若圓C經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在x軸上，則：(1)求圓C的方程．(2)直線與圓C交于E、F兩點(diǎn)，求線段的長度．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，條件①，且；條件②為等比數(shù)列，且滿足；解答下列問題．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，若對任意正整數(shù)n，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為4096．(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)．18．已知過原點(diǎn)的動直線與圓．(1)求直線與圓相交時(shí)，它的斜率的取值范圍；(2)當(dāng)與圓相交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．19．出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的．在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)定義它們之間的一種“距離”（“直角距離”）：．請解決以下問題：(1)求線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“距離”；(2)求所有到定點(diǎn)的“距離”均為2的動點(diǎn)圍成的圖形的周長；(3)在“歐式幾何學(xué)”中有如下兩個與“距離”有關(guān)的正確結(jié)論：①平面上任意三點(diǎn)A，B，C，；②平面上不在一直線上任意三點(diǎn)A，B，C，若；則是以為直角三角形.上述結(jié)論對于“出租車幾何學(xué)”中的直角距離是否還正確，并說明理由．參考答案：題號12345678910答案CDACCBCBABDBC題號11答案AD1．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由可得：，所以，故選：C2．D【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由題意可知，直線與直線平行，所以，因?yàn)橹本€與直線間的距離為2，所以，解得或.故選：D.3．A【分析】根據(jù)直線平行的條件，判斷“”和“直線與直線平行”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與平行；當(dāng)直線與直線平行時(shí)，有且，解得，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A.4．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，所以.故選：C5．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可根據(jù)基本不等式求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故選：C.6．B【分析】根據(jù)題意，分千位小于，千位為，百位小于，千位為，百位等于，當(dāng)十位小于時(shí)，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．【詳解】當(dāng)千位小于時(shí)，有種，當(dāng)千位是，百位小于時(shí)，有種，當(dāng)千位是，百位是，十位小于時(shí)，有種，由分類計(jì)數(shù)原理，可得小于的四位偶數(shù)共有，故選：B.7．C【分析】結(jié)合捆綁法與全排列，并消除和的順序即可求解.【詳解】站在一起有種，將看成一個整體與進(jìn)行全排列，共有種，同時(shí)要求在的左邊，共有種．故選：.8．B【分析】設(shè)Px,y為圓上的任意一點(diǎn)，構(gòu)造直線，過點(diǎn)p作，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p到直線的距離和到原點(diǎn)的距離的比，即，然后利用數(shù)形結(jié)合法求得的范圍求解.【詳解】如圖所示：設(shè)Px,y為圓上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離為，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，所以，設(shè)圓與直線相切則圓心到直線的距離：，解得，所以的最小值為，最大值為，所以，即故的最大值為，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9．ABD【分析】根據(jù)對直線的截距式、兩點(diǎn)式的理解即可判斷AC；根據(jù)兩直線的位置關(guān)系即可判斷BD.【詳解】A：直線的截距式方程不能表示過原點(diǎn)和垂直于坐標(biāo)軸的直線，故A錯誤；B：和的斜率有可能不存在，故B錯誤；C：選項(xiàng)中的方程是直線的兩點(diǎn)式方程化為整式后的結(jié)果，直線的兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，但化為整式后就可以表示任意直線，故C正確；D：直線斜率不存在，則直線垂直于x軸；直線斜率存在，但不一定為0，所以兩直線不一定垂直，故D錯誤.故選：ABD.10．BC【分析】根據(jù)給定的條件，把寫成，再利用二項(xiàng)式定理結(jié)合賦值法，逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，令，對于A，，A錯誤；對于B，是按展開的第4項(xiàng)系數(shù)，因此，B正確；對于C，，，所以，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC11．AD【分析】對絕對值里面的進(jìn)行分類討論，去掉絕對值；根據(jù)圖象曲線C是四個半徑為的半圓圍成的圖形，求出周長判斷①正確；可以知道曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，判斷②錯誤；由曲線C的圖象可知，曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，判斷③錯誤；利用點(diǎn)到直線距離判斷④正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個半徑為的半圓圍成的圖形，即曲線C圍成的圖形的周長是，故①正確；曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線C所圍成圖形的面積為，故②錯誤；由曲線C的圖象可知，曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故③錯誤；因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)d最小時(shí)，易知在曲線C的第一象限內(nèi)的圖象上，因?yàn)榍€C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故④正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】絕對值問題的處理思路：對絕對值里面的數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類討論，去掉絕對值，從而確定方程，確定圖象.12．【分析】根據(jù)直線的方向向量求斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：直線的方向向量為，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.故答案為：.13．【分析】首先畫出曲線表示的半圓，再判斷直線是過定點(diǎn)的直線，利用數(shù)形結(jié)合判斷的取值范圍.【詳解】直線l過點(diǎn)A（2，4），又曲線的圖象是以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，如圖，當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，

即，解得.當(dāng)直線l過點(diǎn)B（－2，1）時(shí)，直線l的斜率為，則直線l與半圓有兩個不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：14．/【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)，按照最優(yōu)分解定義，求數(shù)列的通項(xiàng)，再求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對新概念的理解，并對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.15．(1)(2)【分析】（1）由圓心既在線段的垂直平分線上，又在x軸上，可聯(lián)立直線方程求圓心，進(jìn)而得半徑與圓的方程；（2）利用幾何法，先求圓心到直線的距離，再利用勾股定理求半弦長即可得.【詳解】（1）因?yàn)楹?，線段的中點(diǎn)為0,2，且，則的垂直平分線方程為，由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，又已知圓心在軸上，令，得，故圓心為，半徑，則圓圓C的方程為.（2）由圓心2,0到直線的距離，.故線段的長度為.

16．(1)(2)【分析】（1）若選擇①得到，得到等比數(shù)列公比為，計(jì)算得到，若選擇②，計(jì)算，得到公比，計(jì)算得到通項(xiàng)公式.（2）確定，，利用裂項(xiàng)相消法得到，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）若選擇條件①：且，則，兩式相減，，又，，解得，則an為公比的等比數(shù)列，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：；若選擇條件②：an為等比數(shù)列，且滿足，則，，因此可得，則.（2）由（1）知，，則，，又，則，故，要使不等式恒成立，則，即.17．(1)(2)【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)可得，求得，進(jìn)而求得展開式的通項(xiàng)為，根據(jù)題意得，可求得展開式的常數(shù)項(xiàng)；（2）設(shè)展開式第項(xiàng)的系數(shù)最大，得出不等式組，可求得系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為4096．所以，解得，所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（2）設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，可得，解得，因?yàn)?，所以，所以系?shù)最大的項(xiàng)為.18．(1)(2)，【分析】（1）利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可；（2）設(shè)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理用坐標(biāo)表示M坐標(biāo)，消參化簡即可.【詳解】（1）圓，整理可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2．設(shè)直線的方程為，即，直線與圓相交，圓心到直線的距離，解得，即的取值范圍是；（2）由（1）知直線的方程為，．設(shè),將直線與圓的方程聯(lián)立，可得．由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以．線段的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為，其中，則，即消去得，線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為，其中．19．(1)2(2)(3)①正確，②錯誤；理由見解析【分析】（1）根據(jù)“直角距離”的定義直接求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)到定點(diǎn)的“距離”為2，再根據(jù)定義：任意兩點(diǎn)間的“距離”，分四種情況求解即可；（3）直接證明或舉出反例判斷即可.【詳解】（1）易得線段上一點(diǎn)Mx,y到原點(diǎn)O0,0.（2）設(shè)點(diǎn)到定點(diǎn)的“距離”為2，則①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為線段，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為線段，③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為線段，④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為線段，易得圍成的圖形的形狀為以，為頂點(diǎn)的正方形，故周長為.（3）①設(shè)，則