基于問題解決的學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算思維培養(yǎng)策略

摘要：計(jì)算思維是明確問題及其解決方案的思維方式。計(jì)算思維與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的密切關(guān)聯(lián)為計(jì)算思維融入數(shù)學(xué)課堂提供了可能。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為中心，設(shè)計(jì)指向計(jì)算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)流程，通過問題發(fā)現(xiàn)、問題分析、問題解決、方法反思與方法總結(jié)五個(gè)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)抽象、分解、算法、評(píng)價(jià)與概括五個(gè)思維過程，進(jìn)而落實(shí)計(jì)算思維的培養(yǎng)。關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；課堂教學(xué)；高中數(shù)學(xué)隨著信息化社會(huì)的深入發(fā)展與數(shù)字技術(shù)的快速變革，計(jì)算思維越來越廣泛地得到關(guān)注。當(dāng)數(shù)字化和計(jì)算化逐漸成為現(xiàn)代社會(huì)的基本形態(tài)特征，計(jì)算思維就會(huì)像閱讀、寫作、算數(shù)一樣普及，成為每個(gè)合格公民的必備素質(zhì)。計(jì)算思維與以數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的中學(xué)數(shù)學(xué)教育密切相關(guān)。計(jì)算思維應(yīng)當(dāng)作為核心素養(yǎng)的內(nèi)容而走進(jìn)數(shù)學(xué)教育。PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評(píng)框架中首次引入計(jì)算思維，標(biāo)志著計(jì)算思維開始和數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)推理共同組成21世紀(jì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在核心素養(yǎng)內(nèi)涵的表述中也首次提到了計(jì)算思維，要求學(xué)生“能夠通過計(jì)算思維將各種信息簡約和形式化，進(jìn)行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計(jì)”。計(jì)算思維與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合，不僅有助于學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念，還對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維概念和技能至關(guān)重要。一、計(jì)算思維的概念及其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)計(jì)算思維指的是將現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)換為可運(yùn)算的問題，進(jìn)而通過計(jì)算機(jī)或其他工具進(jìn)行求解。因此，計(jì)算思維的本質(zhì)就是用數(shù)學(xué)語言去解決實(shí)際問題。計(jì)算思維主要涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算，新課標(biāo)中提到，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的形成需要經(jīng)歷理解運(yùn)算對(duì)象、形成運(yùn)算法則、理解算理、選擇和設(shè)計(jì)算法、求得運(yùn)算結(jié)果全過程。在這個(gè)過程中，教師需要著力培養(yǎng)學(xué)生的歸納與算法思維。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中多次提及算法思想、程序框圖與算法程序，如在利用二分法求方程近似解時(shí)，要求學(xué)生探索該方法的思路并會(huì)畫程序框圖。在新加入的“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”中，鼓勵(lì)學(xué)生采用算法程序等形式呈現(xiàn)研究報(bào)告。可見，算法作為解決問題的一種工具和手段已經(jīng)融入高中數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生計(jì)算思維關(guān)鍵在于教會(huì)其分析、分解、量化問題，再進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與處理，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算推理。在這一系列的過程中，涵蓋了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。計(jì)算思維作為一種高階思維，有助于豐富學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決手段和工具，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)。計(jì)算思維的思維過程構(gòu)成如圖1所示。通過對(duì)計(jì)算思維研究成果的歸納可以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算思維圍繞問題，指向問題解決的過程。而數(shù)學(xué)知識(shí)技能的學(xué)習(xí)也是以問題作為載體，這為兩者的有機(jī)融合提供了有利條件。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決教學(xué)模式一般包括創(chuàng)設(shè)情境、引入問題，分析問題、收集信息，尋找方法、設(shè)計(jì)方案，評(píng)價(jià)方法、得出結(jié)論，應(yīng)用新知、產(chǎn)生遷移。這正好與計(jì)算思維所強(qiáng)調(diào)的抽象、分解、算法、評(píng)估與概括五個(gè)思維過程相匹配。也就是說，以數(shù)學(xué)問題為抓手，將計(jì)算思維融入高中數(shù)學(xué)課堂具備可行性。二、指向計(jì)算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施流程依據(jù)前文的分析，結(jié)合問題解決教學(xué)模式的一般流程，筆者嘗試將計(jì)算思維有機(jī)融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，構(gòu)建指向計(jì)算思維培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)施流程（見圖2）。教師完成課前準(zhǔn)備，并作為引導(dǎo)者參與課堂教學(xué)。課堂教學(xué)以問題為中心，分為問題發(fā)現(xiàn)、問題分析、問題解決、方法反思與方法總結(jié)五個(gè)環(huán)節(jié)，分別對(duì)應(yīng)計(jì)算思維的五個(gè)思維過程。在整個(gè)教學(xué)過程中，教師需要根據(jù)課堂反饋及時(shí)優(yōu)化、調(diào)整課堂教學(xué)，在計(jì)算思維理念指導(dǎo)下，及時(shí)糾正學(xué)生出現(xiàn)的認(rèn)知偏差。（一）課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備時(shí)，教師需要明確教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)大致擬定課堂教學(xué)活動(dòng)。同時(shí)，教師要對(duì)本節(jié)課所需要運(yùn)用的知識(shí)進(jìn)行概括梳理，提取核心教學(xué)內(nèi)容，并形成中心、輔助與拓展三類問題。教師要認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)教材與新課標(biāo)，明確教材編排與設(shè)計(jì)意圖，依據(jù)本堂課的重點(diǎn)設(shè)置若干個(gè)中心問題。中心問題需指向課堂教學(xué)的核心內(nèi)容，其設(shè)置應(yīng)有利于學(xué)生明確研究方向，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握。輔助問題是解決中心問題的基礎(chǔ)，是將中心問題進(jìn)一步分解后所產(chǎn)生的鋪墊性問題。輔助問題的設(shè)置需要結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，不宜設(shè)置過難。最后，拓展問題的設(shè)置是在解決中心問題后對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的遷移應(yīng)用。一般而言，拓展問題需要教師從教材的練習(xí)題、復(fù)習(xí)題或課外習(xí)題中歸納分析得到。教師可以按照課堂教學(xué)情況合理設(shè)置一至兩個(gè)拓展問題，為學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。（二）課堂教學(xué)1.問題發(fā)現(xiàn)教師需要設(shè)置情境化問題。情境化問題可依據(jù)教材的例題和習(xí)題改編，也可結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化等素材加以設(shè)計(jì)。情境化問題的設(shè)置一方面可以激發(fā)學(xué)生的探究興趣，使他們感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性；另一方面，學(xué)生可以從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)抽象思維。在問題發(fā)現(xiàn)的過程中，教師需要組織學(xué)生開展合理討論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使他們從情境化問題中提取、抽象出數(shù)學(xué)問題。2.問題分析在問題分析階段，教師需要結(jié)合課前準(zhǔn)備的三大類問題，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化。學(xué)生可以將暫時(shí)無法解決的中心問題分解為依靠已有知識(shí)可以解決或者暫時(shí)還無法解決的子問題。在中心問題逐步分解為若干個(gè)輔助問題的過程中，能夠培養(yǎng)學(xué)生的分解思維。3.問題解決問題解決階段需要以學(xué)生為主體，學(xué)生應(yīng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)，在教師的指導(dǎo)下探求各個(gè)數(shù)學(xué)問題的具體解決步驟或流程，形成對(duì)問題解決過程清晰的認(rèn)識(shí)與理解。在此過程中，學(xué)生逐步嘗試，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的掌握。教師應(yīng)讓學(xué)生對(duì)所形成的解題步驟進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，落實(shí)算法思維的培養(yǎng)。4.方法反思很多數(shù)學(xué)問題都存在一題多解的情況，教師需要引導(dǎo)學(xué)生探索較優(yōu)的解決方法。在問題得到解決之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生評(píng)估解題的方法，比較多種方法之間的優(yōu)劣勢，明確不同方法更適用的數(shù)學(xué)問題類型。同時(shí)，教師要讓學(xué)生針對(duì)已經(jīng)形成的問題解決步驟進(jìn)行完善與優(yōu)化，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的評(píng)估思維。5.方法總結(jié)在課堂教學(xué)的最后，教師要和學(xué)生共同總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，并在具體問題解決的基礎(chǔ)上，從中提取出一般化的解決方案，以便將其遷移到其他類似題目的解決中。教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問題解決的模式化方法，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的概括思維。（三）課堂反饋教師在課前需要預(yù)設(shè)教學(xué)流程，設(shè)想課堂教學(xué)過程中學(xué)生容易出現(xiàn)的問題。在課堂教學(xué)中，教師需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生解決問題，并及時(shí)通過學(xué)生的反饋調(diào)整課堂教學(xué)。課后，教師要通過反思教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況、學(xué)生課堂表現(xiàn)情況，改進(jìn)自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)整中心、輔助以及拓展問題的設(shè)置，將計(jì)算思維理念更好地融入課堂教學(xué)過程。三、指向計(jì)算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐下面以人教A版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊“直線與圓的位置關(guān)系”為例，論述如何設(shè)計(jì)指向計(jì)算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)如下：掌握判斷圓與直線位置關(guān)系的幾何方法與代數(shù)方法，體會(huì)代數(shù)方法的算法性、普適性以及幾何方法的簡潔性；掌握并會(huì)計(jì)算與圓的弦長相關(guān)的問題；了解直線與圓在解決實(shí)際問題中的作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。教師可以圍繞問題依次開展如下五個(gè)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)。（一）從情境中抽象問題【問題一】一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)。已知小島中心位于輪船正西24km處，港口位于小島中心正北30km處。如果輪船沿直線返航，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？【問題二】若輪船有觸礁的危險(xiǎn)，那么它受到環(huán)島暗礁影響的距離有多長？教師創(chuàng)設(shè)以上兩個(gè)問題情境，問題由教材例題改編形成。其中，問題一對(duì)應(yīng)本節(jié)課的中心問題，問題二作為問題一的延伸拓展，應(yīng)在問題一解決后再予以呈現(xiàn)。教師在呈現(xiàn)問題情境后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從中提煉關(guān)鍵信息，明確要解決的具體問題。學(xué)生將環(huán)島暗礁的分布區(qū)域抽象為圓，將輪船的航線抽象為直線，進(jìn)而從中抽象出本節(jié)課的核心內(nèi)容：確定直線與圓的位置關(guān)系。（二）通過分解分析問題教師可根據(jù)學(xué)生初中所學(xué)知識(shí)以及教材呈現(xiàn)內(nèi)容，將本節(jié)課教學(xué)任務(wù)分解為四個(gè)教學(xué)問題（見圖3）。解決四個(gè)問題的過程，就是完成本課教學(xué)任務(wù)的過程。通過初中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握了用直觀定性的方式描述直線與圓的位置關(guān)系，即通過直線與圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)加以判斷。而在高中階段，需要讓學(xué)生掌握用嚴(yán)格定量刻畫的方式判斷直線與圓的位置關(guān)系。因此，教師確定本堂課的中心問題為問題一。而問題二與問題三作為輔助問題，為問題一服務(wù)。問題四是在問題一基礎(chǔ)上的延伸拓展問題，這四個(gè)問題構(gòu)成了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生一步步將中心問題進(jìn)行分解，從而便于問題的解決。判斷直線與圓的位置關(guān)系需要讓學(xué)生回憶初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)，明確有哪些位置關(guān)系（即問題二的解決）。其中，半徑與圓心到直線的距離關(guān)系為幾何法的判斷方式，而直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以延伸出代數(shù)法的判斷方式。在判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，教師要讓學(xué)生思考如何從已知的直線與圓的方程中得出結(jié)果（即問題三的解決）。這樣，就讓學(xué)生在問題分析中逐漸形成分解思維。（三）建立算法解決問題在解決問題的過程中，教師需要滲透算法思想，此處的算法側(cè)重于問題解決的過程與步驟。在求解過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰解題步驟，讓學(xué)生掌握規(guī)范的解題流程，進(jìn)而在答案書寫中有邏輯地予以呈現(xiàn)。以情境問題一的解決為例，可以用代數(shù)法和幾何法分別呈現(xiàn)其解題步驟。1.代數(shù)法步驟一：用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎境鲋本€與圓的方程。以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系。取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（[125]，0）。則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2]+[y2]=4，直線的方程用截距式表示為[5x12]+[y3]=1。步驟二：聯(lián)立直線與圓的方程，將所得到的方程組化簡為一元二次方程。聯(lián)立圓與直線的方程[x2+y2=45x12+y3=1]，化簡得到關(guān)于y的一元二次方程41[y2]-96y+44=0。步驟三：計(jì)算上述一元二次方程的根的判別式，將結(jié)果與零進(jìn)行比較。若△=[b2]-4ac>0，則直線與圓存在兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓相交；若△=[b2]-4ac=0，則直線與圓存在一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓相切；若△=[b2]-4ac<0，則直線與圓沒有交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓相離。上述關(guān)于y的一元二次方程的根的判別式△=2000>0，故此直線與圓相交，所以輪船有觸礁風(fēng)險(xiǎn)。2.幾何法步驟一：計(jì)算圓心坐標(biāo)、半徑以及直線的方程。以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系。取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（[125]，0）。則圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，直線的方程用一般式表示為5x+4y-12=0。步驟二：利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算圓心到直線的距離。步驟三：比較圓心到直線的距離與半徑的大小。圓心到直線的距離d<半徑r，故此直線與圓相交，所以輪船有觸礁風(fēng)險(xiǎn)。流程圖作為計(jì)算思維加工過程的可視化承載工具，可以將學(xué)生隱性的思維過程清晰地呈現(xiàn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生算法思維乃至計(jì)算思維都非常重要。而偽代碼作為一種描述算法的語言，能以更易于閱讀的形式創(chuàng)建算法。教師可以讓學(xué)生用流程圖或偽代碼形式呈現(xiàn)直線與圓位置關(guān)系的判斷過程，引導(dǎo)學(xué)生明晰流程圖或偽代碼與上述建立的解題步驟之間相對(duì)應(yīng)的關(guān)系。以流程圖為例，其中圓心坐標(biāo)（m，n）、圓心半徑r以及直線方程的系數(shù)A、B、C作為輸入數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)步驟一中計(jì)算圓心坐標(biāo)、半徑以及直線方程的過程。流程圖中變量d賦值的過程就是步驟二中利用距離公式計(jì)算圓心到直線的距離過程，而流程圖中依靠選擇結(jié)構(gòu)進(jìn)行判斷并輸出結(jié)果的過程對(duì)應(yīng)步驟三判斷距離與半徑大小的過程。建議此環(huán)節(jié)讓學(xué)生分小組相互討論，在紙上采用流程圖、偽代碼或其他熟悉的方式來呈現(xiàn)直線與圓的判斷過程，表達(dá)清楚該過程中的關(guān)鍵步驟。最后，教師將討論結(jié)果向全班學(xué)生展示，進(jìn)行分享與交流。有興趣的學(xué)生可以在課后嘗試用Python、C語言等程序語言在計(jì)算機(jī)上編寫該判斷程序。這些形式能夠有效促進(jìn)學(xué)生理解判斷過程中的邏輯關(guān)系，從而掌握解題步驟。（四）優(yōu)化解決問題方案教師對(duì)學(xué)生經(jīng)過思考得出的幾何法與代數(shù)法加以介紹，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種方法進(jìn)行評(píng)估，學(xué)會(huì)針對(duì)不同的問題采用較為簡便、快捷的一種方法。教師可以用表格的方式呈現(xiàn)圓和直線的位置關(guān)系以及兩種判斷方式，強(qiáng)調(diào)幾何法和代數(shù)法雖然最終都能判斷出結(jié)果，但兩種方式的思路截然不同。代數(shù)法側(cè)重于數(shù)，更多傾向于坐標(biāo)與方程；而幾何法則側(cè)重于形，結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)。教師需要讓學(xué)生思考兩種方法的優(yōu)劣勢，如幾何法方法簡單、計(jì)算較為簡便，而代數(shù)法雖然計(jì)算復(fù)雜，但方法更具有普遍性，是后續(xù)解決直線與圓錐曲線相交問題的一般解法。同時(shí)，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生從設(shè)問的角度，選擇更優(yōu)的方法。例如，題目在判斷直線與圓的位置關(guān)系后仍需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，那么此時(shí)采用代數(shù)法更為便捷。除了比較不同解題方法外，針對(duì)一種方法進(jìn)行優(yōu)化也有利于培養(yǎng)學(xué)生的評(píng)估思維。例如，在采用代數(shù)法聯(lián)立圓與直線的方程后，究竟將方程組化簡為關(guān)于x的還是關(guān)于y的一元二次方程，便需要學(xué)生針對(duì)題目進(jìn)行優(yōu)化選擇。（五）歸納總結(jié)解題模式在本節(jié)課問題解決后，教師需要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂總結(jié)，將本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行歸納梳理，同時(shí)需要形成一般化的方法。例如，從輪船是否具有觸礁危險(xiǎn)的情境問題中，抽象出解決一般性圓和直線位置判斷方法。學(xué)生將直線表示為A[x]+B[y]+C=0（A，B不全為零），將圓表示為[x2]+[y2]+D[x]+E[y]+F=0（[D2]+[E2]-4F>0），通過代數(shù)法和幾何