黑龍江省雞西市2024−2025學年高三上學期期中考試數(shù)學試題含答案

黑龍江省雞西市2024?2025學年高三上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知是第四象限角，若，則（

）A． B． C． D．4．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．9 B．18 C．27 D．365．已知函數(shù)，則其在區(qū)間上的極大值點與極小值點之差為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在R上存在極大值的充分條件是：（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（），若時，在處取得最大值，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的最大值為 D．既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法錯誤的是（

）A．命題，的否定為，B．已知扇形的圓心角為2弧度，面積為1，則扇形的弧長等于2C．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為D．已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．B．直線是曲線的對稱軸C．在區(qū)間有兩個極值點D．在區(qū)間單調(diào)遞增11．設(shè)，則（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為13．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是14．已知，則四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知，，.(1)求c的值；(2)求的值；16．已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；若，，求的值.17．已知函數(shù)(1)當時，求該曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的周期和對稱中心；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當時，求函數(shù)的值域.19．凸函數(shù)是數(shù)學中一個值得研究的分支，它包括數(shù)學中大多數(shù)重要的函數(shù)，如，等．記為的導數(shù)．現(xiàn)有如下定理：在區(qū)間I上為凸函數(shù)的充要條件為．(1)證明：函數(shù)為上的凸函數(shù)；(2)已知函數(shù)．①若為上的凸函數(shù)，求的最小值；②在①的條件下，當取最小值時，證明：，在上恒成立．

參考答案1．【答案】C【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計算得出結(jié)果.【詳解】解不等式可得，又可得只有當時，的取值分別為在集合中，所以.故選C.2．【答案】B【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即可.【詳解】.故選B.3．【答案】D【分析】通過同角三角函數(shù)關(guān)系，求出，再求.【詳解】∵，，∴，是第四象限角，，則，∴.故選D.4．【答案】C【分析】利用，結(jié)合基本不等式求和的最小值.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號.故的最小值為27.故選C.5．【答案】D【分析】求出導函數(shù)，解出的解.然后根據(jù)導函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的極值點，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.解可得，或.因為，所以，，.當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，所以，在區(qū)間上的極大值點與極小值點之差為.故選D.6．【答案】A【分析】求導，利用判別式求出的范圍，然后由包含關(guān)系可得.【詳解】要使在R上存在極大值，只需有兩個異號零點，所以，即，記集合，則在R上存在極大值的充分條件是的子集.故選A.7．【答案】A【分析】利用多次求導及分類討論判定函數(shù)的單調(diào)性及最值即可.【詳解】∵，令，∴，當時，此時在上單調(diào)遞增；當時，此時在上單調(diào)遞減.由，故可大致作出的圖象如下，∴，∴當時，，f'x≥0，在R上單調(diào)遞增，不成立；當時，，在0,2上單調(diào)遞減，成立；當時，有兩個根（），當時，，f'x>0當時，，f'x<0當時，，f'x>0∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然不成立.綜上.故選A．8．【答案】C【詳解】對于選項，只需考慮即可，而，故正確；對于B選項，只需考慮是否成立即可，而，故B正確；對于D選項，，故是奇函數(shù)，有，故周期是，故D正確；對于C選項，，令，則，求導，令解得，故在上單增，在與上單減，又當時；又當時，故C錯誤.故選C.9．【答案】AD【分析】由含有一個量詞命題的否定可判斷A錯誤；由扇形面積公式計算可得B正確；由抽象函數(shù)定義域求法計算可得C正確；根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象及其值域解不等式可得，即D錯誤.【詳解】命題，的否定為，，故A說法錯誤；由，解得，所以扇形的弧長，故B說法正確；由，得，所以的定義域為，故C說法正確；因為的值域為R，所以函數(shù)的值域滿足，所以，解得，故D說法錯誤.故選AD.10．【答案】AD【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)極值的定義逐一判斷即可.【詳解】代入點，得，∴，，∴，故A正確．B選項：代入，，故B錯誤．由，，顯然時，函數(shù)單調(diào)遞減，當，函數(shù)單調(diào)遞增，，所以該函數(shù)在區(qū)間有且僅有一個極值點，C錯誤．，處于正弦函數(shù)的遞增區(qū)間內(nèi)，D正確．故選AD.11．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用導數(shù)分析其單調(diào)性，比較大小進而求解即可.【詳解】，設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以時，，所以，即，所以，所以,A正確；令，則，當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，,B錯誤；令，則,單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減,,即，,C正確；令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，,D正確.故選ACD.【方法總結(jié)】比較大小問題，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析單調(diào)性，進而判斷大小.12．【答案】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性求出，然后可得.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.13．【答案】【分析】采用整體代換的方式，結(jié)合的單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)，所以，由得：，∴fx的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.14．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式、二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】由，得.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理即可求解.【詳解】（1）因為，，，由余弦定理得，，解得；（2）由，，得，由正弦定理，得，解得；又，由正弦定理得.16．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)圖象得振幅和周期并求出，再根據(jù)最大值點求出，即可得函數(shù)解析式.（2）根據(jù)圖象變換得的解析式，再利用同角公式及兩角和的余弦公式求值.【詳解】（1）由圖得，函數(shù)的最小正周期，解得，即，而，則，又，于是，所以的解析式為.（2）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得的圖象，因此，當時，，則，即，，所以.17．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由題意求出導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得切線方程.（2）討論的正負求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當時，，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為R，且，當時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當時，由，解得，由，解得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.18．【答案】(1)最小正周期，對稱中心為(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式與輔助角公式，化簡得，再利用最小正周期公式與對稱中心公式運算求解即可；（2）先求得的單調(diào)遞增區(qū)間，再賦值即可得到在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當時，令，則，代入化簡得，再利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】（1），所以的最小正周期；令，得，即的對稱中心為.（2）令，得，令，得；令，得，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（3）當時，，，令，則，，對稱軸方程為，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，；當時，，所以函數(shù)的值域為.19．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【詳解】（1）因為，則，，因為，又，所以，故在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)為上的凸函數(shù).（2）①因為，所以，，由題知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則在區(qū)間