北京市西城區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月一模試題 數(shù)學(xué) 含答案

西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷數(shù)學(xué)2024.4本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.3.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.60B.15C.-60D.-154.已知拋物線與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，則的準(zhǔn)線方程是（）A.B.C.D.5.設(shè)，其中，則（）A.B.C.D.6.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（）A.-1B.1C.-7D.77.已知函數(shù)若存在最小值，則的最大值為（）A.B.C.D.8.在等比數(shù)列中，.則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9.關(guān)于函數(shù)，給出下列三個(gè)命題：①是周期函數(shù)；②曲線關(guān)于直線對(duì)稱；③在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.310.德國(guó)心理學(xué)家艾·賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線”.“遺忘曲線”中記憶率隨時(shí)間（小時(shí)）變化的趨勢(shì)可由函數(shù)近似描述，則記憶率為時(shí)經(jīng)過的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.2小時(shí)B.0.8小時(shí)C.0.5小時(shí)D.0.2小時(shí)第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.12.已知.使成立的一組的值為__________；__________.13.雙曲線的漸近線方程為__________；若與圓交于四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則__________.14.在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為__________，的最小值為__________.15.如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直.點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使；②存在點(diǎn)，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；④若，則四面體體積的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題14分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.17.（本小題13分）在中，.（1）求的大小；（2）若，再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求的面積.條件①：邊上中線的長(zhǎng)為；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（本小題13分）10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲?乙?丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦拢涵h(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲的射出頻數(shù)11102424乙的射出頻數(shù)32103015丙的射出頻數(shù)24101826假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲?乙?丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.（1）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由；（2）若甲?乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；（3）甲?乙?丙各射擊10次，用分別表示甲?乙?丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中.寫出一個(gè)的值，使.（結(jié)論不要求證明）19.（本小題15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn).直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)），與直線交于點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn).求證：.20.（本小題15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的斜率；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.21.（本小題15分）對(duì)正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是行列的數(shù)陣，表示中第行第列的數(shù)，，且同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①每行恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同.記集合或中元素的個(gè)數(shù)為.（1）若，求的值；（2）若對(duì)任意中都恰有行滿足第列和第列的數(shù)均為1.（i）能否滿足？說明理由；（ii）證明：.西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考2024.4一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.B2.D3.A4.C5.C6.A7.A8.B9.D10.C二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.12.；（答案不唯一）13.；14.；15.①③④三?解答題（共6小題，共85分）16.（共14分）解：（1）連接，設(shè)，連接.因?yàn)樵谌庵校倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）因?yàn)?，所以平?所以.又，所以兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則.所以.設(shè)平面的法間量為，則即令，則，于是.因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量.所以.由題設(shè)，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.17.（共13分）解：（1）由，得.在中，由正弦定理得.因?yàn)?，所?又，所以.（2）選條件①：邊上中線的長(zhǎng)為.設(shè)邊中點(diǎn)為，連接，則.在中，由余弦定理得，即.整理得.解得或（舍）.所以的面積為.選條件③：.在中，由余弦定理得，即.整理得.解得或.當(dāng)時(shí)，的面積為.當(dāng)時(shí)，的面積為.18.（共13分）解：（1）甲進(jìn)入決賽，理由如下：丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為，甲射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為.因?yàn)椋约走M(jìn)入決賽.（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為；“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為.所以這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率可估計(jì)為：（3）和8.（寫出一個(gè)即可）19.（共15分）解：（1）由題設(shè)，.解得.所以橢圓的方程為.（2）由題設(shè)，直線的斜率存在，設(shè)其方程為.則，直線的方程為.由得.由，得.設(shè)，則.直線的方程為.聯(lián)立直線和得.解得.同理可得.所以.因?yàn)樗?，即點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以.20.（共15分）解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以.所以.所以曲線在點(diǎn)（1，處切線的斜率為.（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?.因?yàn)?，所以時(shí)，時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）.當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以不合題意.當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.所以.設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以.所以集合有且只有一個(gè)元素時(shí).21.（共15分）解：（1）記.因?yàn)椋?（2）（i）不滿足，理由如下：假設(shè)滿足.因?yàn)榈拿啃星∮腥齻€(gè)1，故中滿足的的個(gè)數(shù)共有個(gè).號(hào)一方面，從中任選