浙江省寧波市2024屆高三上學期期末數(shù)學試題 含解析

寧波市2023學年第一學期期末考試高三數(shù)學試卷全卷共4頁，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.【詳解】由題意知集合，則，故選：C2.設為虛數(shù)單位，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求，進而可得共軛復數(shù).【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.3.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量可得，再結合向量夾角公式運算求解.【詳解】因為向量在向量方向上的投影向量是，可知，即，且可得，所以與夾角的余弦值為.故選：A.4.體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學生不同的排法共有（）A.24種 B.36種 C.72種 D.96種【答案】C【解析】【分析】利用間接法，先讓5名學生排成一排，再讓2名女生相鄰，即可得結果.【詳解】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設的不同的排法共有種.故選：C.5.已知是奇函數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,得到,即可求出的值,求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質,求出的值,即可得到結果?！驹斀狻恳驗槭瞧婧瘮?shù)，可知定義域關于原點對稱，由，可得，顯然，則且，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為，則，解得,此時,且，即，符合題意，所以.故選：D.6.已知，則下列選項中，能使取得最小值25的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式“1”的妙用求解；C選項，可以舉出反例；D選項，設，，利用三角恒等變換得到.【詳解】A選項，，當且僅當，即時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，故，當且僅當，即時，等號成立，B正確；C選項，當時，滿足，此時，C錯誤；D選項，，設，其中，則，因為，所以，故，顯然取不到最小值25，D錯誤.故選：B7.已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓的上頂點，線段的延長線交橢圓于點．若，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得點B的坐標，再根據(jù)求解.【詳解】由題意得，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，所以，因為，則，因為，化簡得，即，可得，所以.故選：B.8.在平行四邊形中，已知，將沿翻折得四面體．作一平面分別與交于點．若四邊形是邊長為的正方形，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先得均為各邊的中點，所以，進一步由，由此即可將四面體放入長方體中，即可順利的外接球半徑，進而求解.【詳解】因為為正方形，則且，又面，面，所以面，又因為面面，所以，同理可知，所以，且均為各邊的中點，所以，因為四邊形是邊長為的正方形，所以，首先求對棱四面體的外接球的半徑，將其放在長方體內(nèi)，如圖所示：，所以四面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是發(fā)現(xiàn)此題是對棱相等模型，由此可將該四面體放入長方體中，由此即可順利得解.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.數(shù)字經(jīng)濟是繼農(nóng)業(yè)經(jīng)濟、工業(yè)經(jīng)濟之后的主要經(jīng)濟形態(tài)．近年來，在國家的大力推動下，我國數(shù)字經(jīng)濟規(guī)模增長迅猛，《“十四五”數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃》更是將數(shù)字經(jīng)濟上升到了國家戰(zhàn)略的層面．某地區(qū)2023年上半年月份與對應數(shù)字經(jīng)濟的生產(chǎn)總值（即GDP）（單位：億元）如下表所示．月份123456生產(chǎn)總值303335384145根據(jù)上表可得到回歸方程，則（）A.B.與正相關C.若表示變量與之間的相關系數(shù)，則D.若該地區(qū)對數(shù)字經(jīng)濟的相關政策保持不變，則該地區(qū)7月份的生產(chǎn)總值約為億元【答案】ABD【解析】【分析】對于A，先算出代入驗算即可；對于B，由判斷即可；對于C，由的公式對比即可求解；對于D，代入預測模型表達式驗算即可.【詳解】對于A，，，所以，故A正確；對于B，因為，所以與正相關，故B正確；對于C，相關系數(shù)，故C錯誤；對于D，當時，，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則（）A.B.在區(qū)間上單調遞增C.在區(qū)間上既有極大值又有極小值D.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位【答案】AB【解析】【分析】由題意根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律，即正弦函數(shù)的圖象和性質，逐一判斷每一選項即可得解.【詳解】由題意在函數(shù)的部分圖象上，所以，即，所以，再根據(jù)，即，結合圖象可得，所以，，對于A，由于為函數(shù)的最大值，所以，故A正確；對于B，當時，，由復合函數(shù)單調性可知在區(qū)間上單調遞增，故B正確；對于C，當時，，所以沒有極大值，故C錯誤；對于D，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位，故D錯誤.故選：AB.11.已知圓，拋物線的焦點為為拋物線上一點，則（）A.以點為直徑端點的圓與軸相切B.當最小時，C.當時，直線與圓相切D.當時，以為圓心，線段長為半徑圓與圓相交公共弦長為【答案】AD【解析】【分析】選項A，求出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標和半徑即可知是否與軸相切；選項B，根據(jù)條件得，從而得出時，最小，即可求出結果；選項C，根據(jù)條件，得到，再利用直線與圓的位置關系的判斷方法，即可判斷出選項C的正誤；選項D，先求以為圓心，線段長為半徑的圓，再求出兩圓的公共弦，再利用弦長公式即可求出結果.【詳解】如圖，設，中點為，又，所以，由拋物線定義知，又到軸的距離為，所以選項A正確，對于選項B，因為，則，當時，取到最小值，此時，所以選項B錯誤，對于選項C，當時，，，不妨取，則，直線，所以圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，所以，即直線與圓相離，所以選項C錯誤，對于選項D，當時，，，不妨取，故以為圓心，線段長為半徑的圓為①，又圓②，由①②得兩圓的共公弦方程，到的距離為，故公共弦長為，所以選項D正確，故選：AD.12.已知函數(shù)滿足：對，都有，且，則以下選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A:進行三次賦值;;;即可判斷；對于選項B:討論，，結合條件，即可判斷；對于選項C:分別令即可判斷；對于選項D:由的奇偶性和對稱性進行賦值，可得周期性，即可判斷.【詳解】對于選項A:令，則令，則所以因為，所以，令，則，故選項A正確；對于選項B:結合選項A可得，所以或，若，則，所以，此時與矛盾，舍去；若，則，解得，因為，所以，故選項B錯誤；對于選項C:令則，因為，，所以，所以為偶函數(shù)，令則，所以，令，則，即，故選項C正確；對于選項D:由為偶函數(shù)，所以，令,則，令,則,所以，故選項D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)求值問題，一般是通過賦值法，即在已知等式中讓自變量取特殊值求得一些特殊的函數(shù)值，解題時注意所要求函數(shù)值的變量值與已知的量之間的關系，通過賦值還可能得出函數(shù)的奇偶性、周期性，這樣對規(guī)律性求值起到?jīng)Q定性的作用．三、填空題：本題共4小題.13.的展開式中的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）．【答案】40【解析】【分析】運用二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】展開式的通項，令，得.所以的系數(shù)為.故答案為：4014.某校元旦文藝匯演中，有八位評委對一舞蹈節(jié)目評分，該節(jié)目得分依次為，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為____________．【答案】92【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義規(guī)則計算.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，即92.故答案為：9215.“PVC”材質的交通路障因其便攜、耐用、易塑形等優(yōu)點被廣泛應用于實際生活中．某廠家設計的一款實心交通路障模型如下圖所示，該幾何體的底部是一個正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一個圓臺，結合圖中所給的數(shù)據(jù)（單位：），則該幾何體的體積為____________．【答案】【解析】【分析】分別求正四棱柱和圓臺的體積，即可求解.【詳解】由圖可知，底部正四棱柱底面正方形的對角線長為，高為，所以正四棱柱的體積為，圓臺上底面的直徑為，下底面的直徑為，高為，所以圓臺的體積為，所以該幾何體的體積為.故答案為：16.已知成公比為2的等比數(shù)列，且．若成等比數(shù)列，則所有滿足條件的的和為____________．【答案】【解析】【分析】由題意首先得，利用二倍角公式將方程轉換為，進一步通過換元法以及三角函數(shù)的對稱性即可求解.詳解】由已知得，由成等比數(shù)列，且成公比為2的等比數(shù)列，得，所以，所以，令，得到，恰好有兩個根，而滿足的的值有，滿足的的值之和為，故所有滿足條件的的和為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：關鍵是首先得到，進一步通過換元即可順利得解.四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知．（1）求A的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）由同角三角函數(shù)關系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面積公式求出答案.【小問1詳解】由，結合正弦定理，得，即，即，即，因為，所以，即．【小問2詳解】因為，所以．利用正弦定理得．而，故的面積為．18.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）記為的導函數(shù)，若對，都有，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出表達式，當時代入即可求解；（2）原不等式等價于，據(jù)此分情況利用導數(shù)求解即可.【小問1詳解】由題知，，當時，，所以曲線在處的切線方程為；【小問2詳解】由題意，原不等式等價于，即，當時，對任意，不等式恒成立，當時，原不等式等價于，設，則，設，因為，所以存在唯一，使得，即，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故，即．綜上所述，的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐中，底面，，點在上，，過點作的垂線交于點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結合線面垂直的判定定理和性質定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【小問1詳解】因為平面平面，所以．又因為，且，所以平面，且平面，所以，而，且，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，以為原點，方向分別為軸正向，建立空間直角坐標系，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，因為，則，令，可得，可得，設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角余弦值為．20.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為．問：是否存在，使得，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意求出等差數(shù)列的首項和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得的表達式，利用錯位相減法求出的表達式，由此可得到的表達式，結合二項式定理說明，即可得結論.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由，取，得，即，由，得，即，解得，則．【小問2詳解】由（1）得，故，即，則，兩式相減，得到，即．則，因為，，即，所以，故不存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.21.某次高三數(shù)學測試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個選項，有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，多選題每題四個選項，有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯誤選擇或不選擇得0分．（1）若小明對其中5道單選題完全沒有答題思路，只能隨機選擇一個選項作答，每題選到正確選項的概率均為，且每題的解答相互獨立，記小明在這5道單選題中答對的題數(shù)為隨機變量．（i）求；（ii）求使得取最大值時的整數(shù)；（2）若小明在解答最后一道多選題時，除發(fā)現(xiàn)A，C選項不能同時選擇外，沒有答題思路，只能隨機選擇若干選項作答．已知此題正確答案是兩選項與三選項的概率均為，問：小明應如何作答才能使該題得分的期望最大（寫出小明得分的最大期望及作答方式）．【答案】21.（i）；（ii）22.小明選擇單選B或單選D的得分期望最大，最大值為分.【解析】【分析】（1）（i）易知X服從二項分布，據(jù)此計算；（ii）結合先增大后減少的性質，列出不等式解得k的值或范圍；（2）算出單選、雙選和三選條件下的數(shù)學期望，比較大小即可.【小問1詳解】（i）因為，所以．（ii）因為．．令，解得，所以當時，最大，此時．【小問2詳解】由題知，選項不能同時選擇，故小明可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項的可