2024-2025學(xué)年天津市南開區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市南開區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．與向量平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．已知向量，分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若，則l與α所成的角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°4．在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．5．設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點(diǎn)和，在軸上求一點(diǎn)，使最小，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．8．已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線與線段的延長(zhǎng)線相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的有（

）①若直線的方向向量，平面的法向量，則②若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面③設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底④若空間四個(gè)點(diǎn)滿足，則三點(diǎn)共線A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6小題）10．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù).11．已知直線的方程為，若直線的斜率為1，則的值為.12．無論為何值，直線恒過一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.13．已知，，，若三向量共面，則實(shí)數(shù).14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則的面積的最小值為.15．直線l：ax+（a+1）y+2=0的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是．三、解答題（本大題共5小題）16．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過，兩點(diǎn)；(3)在軸、軸上的截距分別為；(4)經(jīng)過點(diǎn)，且平行于軸.17．已知直線垂直于直線，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形周長(zhǎng)為5，求直線的方程.18．直線l過點(diǎn)(2,2)，且與x軸和直線y＝x圍成的三角形的面積為2，求直線l的方程．19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)求與平面所成角的余弦值.20．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)棱上是否存在點(diǎn)，使其到平面的距離為？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】對(duì)于A，由于，所以與向量不共線，故A不正確；對(duì)于B，由題意得向量，則其與向量共線，故B正確；對(duì)于C，由于，所以與向量不共線，故C不正確．對(duì)于D，由題意得向量，則其與向量不共線，故D不正確．故選：B．2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)榈男甭剩云鋬A斜角為30°.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】解：設(shè)l與α所成的角為θ，則sinθ＝，∴θ＝60°，故選：B．4．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，：，：，，可得兩直線平行；若與平行，則，解得或舍，故為充要條件，故選：C.6．【正確答案】D【詳解】對(duì)于點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.已知，那么關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)直線的方程為.根據(jù)兩點(diǎn)求斜率公式，可得.把和代入得，解得.所以直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，令，代入得，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.7．【正確答案】C【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：C.8．【正確答案】A【詳解】如下圖所示，

由題知，直線過點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線化為，一定與相交，所以，當(dāng)時(shí)，，考慮直線的兩個(gè)極限位置.（1）經(jīng)過，即直線，則；（2）與直線平行，即直線，則，因?yàn)橹本€與的延長(zhǎng)線相交，所以，即，故選；A.9．【正確答案】B【詳解】對(duì)于①，，則.線面垂直的向量法判定或,故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，故②正確；對(duì)于③，由向量的加法法則可知：，所以不能構(gòu)成空間的一組基底，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若空間四個(gè)點(diǎn)，由共線向量定理可知:三點(diǎn)共線，故④正確.故選：B.10．【正確答案】1或【詳解】依題意，，令，則，令，則，因此直線在軸上的截距分別為，于是，解得或，所以實(shí)數(shù)或，故1或.11．【正確答案】【詳解】由直線的斜率為1，得，解得，所以的值為.故12．【正確答案】2,3【詳解】化簡(jiǎn)直線方程為關(guān)于的方程，因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，所以，解得，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，，且三向量共面，設(shè)，即.根據(jù)向量相等的條件，對(duì)于向量，則，，.所以可得方程組.由可得，將代入中，得到，即，解得.因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?故答案為.14．【正確答案】【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為1，以A為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)，，由與共線，可得，所以，所以，其中，因?yàn)?，，所以，所以，即是?dòng)點(diǎn)到直線的距離，由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為線段的中點(diǎn)，由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，為線段的中點(diǎn).此時(shí).故答案為.15．【正確答案】【詳解】當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當(dāng)a≠－1時(shí)，直線l的斜率為，只要>1或者<0即可，解得－1<a<－或者a<－1或者a>0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－)∪(0，＋∞)．16．【正確答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）若直線的斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式，則該直線的方程為，即.若直線斜率為（2）若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式，則該直線的方程為，即.（3）若直線在x，y軸上的截距分別是，，由截距式，則該直線的方程為，即.（4）若經(jīng)過點(diǎn)，且平行于x軸，則，即.17．【正確答案】或.【詳解】由直線垂直于直線，設(shè)直線的方程為，則直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，，依題意，，解得，所以直線的方程為或.18．【正確答案】或．【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題目的要求．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，當(dāng)時(shí)，l的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，令y＝0得，x＝，由三角形的面積為2，得，解得，可得直線l的方程為，即；綜上可知，直線l的方程為或．19．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，平面平面，，平面，則平面，由正方形，得，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而分別為的中點(diǎn)，則，于是，，則，而平面，所以平面.（2）由（1）知，所以異面直線與所成角的余弦值為.（3）由（1）知，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的余弦值.20．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，與重合時(shí).【詳解】（1）四棱柱中，取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則、，于是四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，則